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第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:X0 1 2 3 P0.4 0.3 0.2 0.1Y0 1 2 3 P0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的最大编号，求E(X).解：X的可能取值为3,4,5.因为；所以 4.3 设随机变量X 的概率分布其中是个常数，求解: ，下面求幂级数的和函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有根据已知条件，因此，所以有.4.4 某人每次射击命中目标的概率为, 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.解：因为的可能取值为1,2,。依题意，知的分布律为 所以4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则XB(4,0.6)因为 所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分为 = 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为说明的期望不存在。解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X，依题意，知XB(3,0.4) 故 4.8 设随机变量X的概率密度函数为, 求解：4.9设随机变量X的概率密度函数为又,求常数的值.解： 由，得 因为 所以，由，得 又 由 ，得 解联立方程，得，4.10 设随机变量X的概率密度函数为说明的期望不存在.解:积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义, 的期望不存在.4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解：设，依题意得，又 ，则即有 所以 得 所以 故所求的概率为 4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算.解：4.13 设随机变量X的概率密度函数为, 分别计算的期望和的期望解：因为 ，其中 ，所以 故 4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间内, 求球体积的均值.解：设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为因此,球体积的均值为.4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且, 求该游客等候时间的期望.解: 用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为 由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 4.16设二维随机向量的概率密度函数为, 求.解：因为，当时，当时，所以，又 故 4.17 设随机变量X 与Y 相互独立, 概率密度函数分别为和求.解： ， 因为X和Y相互独立，所以 .4.18 设二维随机向量服从圆域上的均匀分布,求 .解: 根据二维随机向量的计算公式：此积分用极坐标计算较为方便，于是有4.19 设随机变量X 与Y 相互独立,并且均服从,求.解：由于X 服从，故其分布函数为同理，Y服从，故其分布函数为于是根据公式3.7.5，的分布函数为求到后得密度函数因此4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记显然，均服从两点分布，且，于是有由此求得.4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.解：设Xi表示第i次掷出的点数(i =1,2,10)，则掷10次骰子的点数之和为。因为Xi的分布律为 (k =1,2,6)，所以 故 .4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标次为止, 求射击次数的期望.解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为 记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此4.23求习题4.1 中随机变量的方差.解：由T4.1知 ，由T4.12知又 故 .4.24 求习题4.9 中随机变量X 的方差解: 由T4.1知 ，故 4.25 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：因为，当时，即 所以 ，由对称性得 ，4.26 设随机变量,并且X 与Y 相互独立,求和.解：因为， 所以 ，又X和Y相互独立，故 .4.27 设二维随机向量的概率分布如下表:XY-101010.10.30.10.10.10.3求解容易求得的概率分布为：的概率分布为：的概率分布为：，于是有，4.28设二维正态随机向量的概率密度函数为问与是否互不相关?解：二维随机变量具有概率密度的标准形式为：其中均为常数,且,由此得到：因为所以与互不相关。4.29设二维随机向量的概率密度函数为, 求.解：因为，当时，所以 于是 由对称性得 ，又因为 所以 故 .4.30 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：，显然，所以与相互独立，从而互不相关。4.31 设,求和.解：由 得因为 所以 4.32 设服从求.解：因服从所以.于是有是关于随机变量的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积分为0,于是=0.第四章 定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设是离散型随机变量， （要求绝对收敛）设是连续型随机变量，其概率密度为，（要求绝对收敛）函数的期望 方差，标准差， 矩定义 设和为随机变量, 为正整数, 称 为阶原点矩(简称阶矩阵); 为阶中心矩;为阶绝对原点矩;为阶绝对中心矩; 为和的阶混合矩;由左边定义可知:(1) 的数学期望是的一阶原点矩;(2) 的方差是的二阶中心矩;(3)协方差是和的二阶混合中心矩.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质1. 设是常数, 则 2若是常数，则3. 4. 设独立, 则;（3）方差的性质1. 设常数, 则;2. 若是随机变量, 若是常数, 则3. 设是两个随机向量,则特别地, 若相互独立, 则注: 对维情形, 有: 若相互独立, 则（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。|1，当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关1. 2. 若和相互独立, 则.3. 若,则当且仅当存在常数 使, 而且当时, ;当时, .注: 相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.当时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.当时, Y与X之间不是线性关系.协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质,其中是常数;为任意常数;(6) 若与相互独立时,则（7）独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
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