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第十四章 14-1.如题图141所示，一束平行光线以入射角射入折射率为，置于空气中的透明圆柱棒的端面试求光线在圆柱棒内发生全反射时，折射率应满足的条件分析：一次折射，一次反射；利用端面折射角与内侧面入射角互余及全反射条件即可求解。解：设光线在圆柱棒端面的折射角为，在内侧面的入射角为，根据折射定律，有光线在界面上发生全反射的条件为发生全反射时，必须满足14-2.远处有一物点发出的平行光束，投射到一个空气中的实心玻璃球上设玻璃的折射率为，球的半径为求像的位置分析：利用逐步成像法，对玻璃球的前后两个球面逐一成像，即可求得最后像的位置用高斯成像公式时，应注意两个球面的顶点位置是不同的解：或用对玻璃球前表面所成的像，对后表面而言是物，所以或用像在球的右侧，离球的右边2cm处14-3.如题图143所示的一凹球面镜，曲率半径为40cm，一小物体放在离镜面顶点10cm处试作图表示像的位置、虚实和正倒，并计算出像的位置和垂轴放大率分析：利用凹面镜的半径可确定焦距，以知物距，由球面镜的物像公式和横向放大率公式可求解。解：像的位置如图所示，为正立、放大的虚像 14-4.高为的物体，在焦距的薄透镜左侧，置于的位置。试用作图法表示像的位置，实、虚，放大还是缩小，正立还是倒立并用文字指明分析：，利用过凸透镜光心的光线方向不变，平行主光轴的入射光线折射后过像方焦点画图。 解：成像光线如题14-4解图所示，所成之像是：放大、正立的虚像14-5高为的物体，在焦距的薄透镜左侧，放置在的位置，试用作图法表示像的位置，实、虚，放大还是缩小，正立还是倒立。并用文字指明分析：，利用过凹透镜光心的光线方向不变，平行主光轴的入射光线折射后的反向延长线过像方焦点。解：成像光线如题14-5解图所示所成之像是：缩小、正立的虚像14-6.一竖立玻璃板的折射率为1.5，厚度为10cm，观察者在玻璃板后10cm处，沿板的法线方向观察置于同一法线上10cm处的一个小物体时，它距离观察者有多远？分析：两次平面折射。解：由平面折射公式，利用逐步成像法，即可求得物体的像根据距观察者距离 14-7为下列情况选择光焦度合适的眼镜（1）一位远视者的近点为80.0cm;(2 ) 一位近视者的远点为60.0cm（1）分析：远视眼应配凸透镜眼镜，配上眼镜后，相当于物体在离明视距离（）处，而所成虚像在近点处（）解：由透镜成像公式 可得 解得镜片焦距，其光焦度为应配眼镜度数为度（2）分析：近视者应配凹透镜眼镜，配上眼镜后，从无穷远处（物体发出的光看似从远点处发出，即虚像成在远点处（）解：由透镜成像公式 可得 解得镜片焦距，其光焦度为应配眼镜度数为度14-8.一双凸薄透镜的两表面半径均为50mm，透镜材料折射率n=1.5，求该透镜位于空气中的焦距为多少？分析：将已知条件代入薄透镜在空气中的焦距公式。解 位于空气中时， 即 14-9一玻璃棒(n=1.5)，长50cm，两端面为半球面，半径分别为5cm和10cm，一小物高0.1厘米，垂直位于左端球面顶点之前20厘米处的轴线上求：(1)小物经玻璃棒成像在何处?(2)整个玻璃棒的横向放大率为多少?分析：光线经过凸球面折射，再经过凹球面折射，利用球面折射成像公式逐次成像求像的位置。整个横向放大率为每次横向放大率的乘积。注意每次成像的顶点位置不同。解：小物经第一个球面折射成像。由球面折射成像公式 有得 横向放大率: 再经第二个球面折射成像由 有 得 即小物经玻璃棒成像于距第二个球面顶点处水平向左40cm处横向放大率: （2）整个玻璃棒的横向放大率 第十五章15-1.在双缝干涉实验中，两缝的间距为0.6mm,照亮狭缝的光源是汞弧灯加上绿色滤光片在2.5m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm试计算入射光的波长，如果所用仪器只能测量的距离，则对此双缝的间距有何要求？分析：由明纹位置公式求解。解：在屏幕上取坐标轴，坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第级明纹中心的距坐标原点距离：可知 代入已知数据，得 对于所用仪器只能测量的距离时 15-2.在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm在距双缝1m远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400nm至760nm的白光，问屏上离零级明纹20mm处，哪些波长的光最大限度地加强？(1nm10-9m)分析：由双缝干涉屏上明纹位置公式，求K取整数时对应的可见光的波长。解：已知：d0.2mm，D1m，x20mm 依公式： 410-3 mm4000nm 故 k10 l1400nm k9 2444.4nm k8 3500nm k7 4571.4nm k6 5666.7nm这五种波长的光在所给观察点最大限度地加强 15-3.如图15-3所示，在杨氏双缝干涉实验中，若，求P点的强度I与干涉加强时最大强度Imax的比值分析：已知光程差，求出相位差利用频率相同、振动方向相同的两列波叠加的合振幅公式求出P点合振幅。杨氏双缝干涉最大合振幅为2A。解：设S1、S2分别在P点引起振动的振幅为A，干涉加强时，合振幅为2A，所以 因为 所以S2到P点的光束比S1到P点的光束相位落后 P点合振动振幅的平方为： IA2 I/Imax=A2/4A2=1/4 15-4.用图所示的瑞得干涉仪可以测定气体在各种温度和压力下的折射率，干涉仪的光路原理与杨氏双缝类似单色平行光入射于双缝后，经两个长为的相同的玻璃管，再由透镜会聚于观察屏上测量时，可先将两管抽成真空，然后将待测气体徐徐导入一管中，在观察屏上关于两管的对称位置处观察干涉条纹的变化即可求出待测气体的折射率某次测量，在将气体徐徐导入下管的过程中，观察到有98条干涉条纹移动，所用的黄光波长为589.3nm（真空中），求该气体的折射率分析：当气体慢慢导入管内，由于两束相干光的光程差改变了，从而引起干涉条纹发生移动解：气体导入一管过程中，光程差从零变为：，有98条干涉条纹移动即可k=98所以，15-5.在图所示的洛埃德镜实验装置中，距平面镜垂距为1mm的狭缝光源发出波长为680nm的红光求平面反射镜在右边缘的观察屏上第一条明条纹中心的距离已知，光源至平面镜一端的距离为20cm分析：洛埃德镜可看作双缝干涉，光源S0和虚光源S0是相干光源但是洛埃德镜的反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，即屏上的明暗位置互换解：由明纹条件：代入，15-6.在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为和，并且，为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D(Dd)，如图15-6求： (1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离 (2) 相邻明条纹间的距离 解：(1) 如图，设P0为零级明纹中心 则 又 (2) 在屏上距O点为x处, 光程差 明纹条件 (k1，2，.) 在此处令k0，即为(1)的结果相邻明条纹间距题图15-715-7.在Si的平表面上氧化了一层厚度均匀的SiO2薄膜为了测量薄膜厚度，将它的一部分磨成劈形(示意图中的AB段，平面图)现用波长为600nm的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹在图中AB段共有8条暗纹，且B处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度(Si折射率为3.42，SiO2折射率为1.50) 分析：上下表面反射都有相位突变p，计算光程差时不必考虑附加的半波长.解：设膜厚为e， A处为明纹， B处为暗纹，2ne(2k1)，(k0，1，2，)，第8个暗纹对应上式k7,1.510-3mm15-8.在折射率n1.50的玻璃上，镀上1.35的透明介质薄膜入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对1600nm的光波干涉相消，对2700nm的光波干涉相长且在600nm到700nm之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情形求所镀介质膜的厚度(1nm=10-9m) 分析：上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加光程差光程差为解：当光垂直入射时，i =0 对1（干涉相消）： 对2（干涉相长）： 由 解得： 将k、2、代入式得 7.7810-4mm 15-9.白光垂直照射在空气中厚度为的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50试问在可见光范围内，哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强？分析：当光垂直入射到玻璃片时，由于玻璃的折射率大于空气的折射率因此，反射光在玻璃表面上存在半波损失所以，反射光干涉时光程差，透射光干涉时光程差解：玻璃片上下表面的反射光加强时，应满足 即 在可见光范围内，只能取（其它值均在可见光范围外），代入上式，得 玻璃片上下表面的透射光加强时，应满足 或，反射光应满足干涉减弱条件（与透射光互补）即 都有：时，时，15-10.波长为的单色光垂直照射到折射率为n2的劈形膜上，如图所示，图中n1n2n3，观察反射光形成的干涉条纹 (1) 从劈形膜顶部O开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e5是多少？ (2) 相邻的二明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？分析：因为 n1n2n3 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以二反射光之间没有附加相位差，光程差为2n2e解：第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e5， 2n2e5 =(2k+1)/2 k = 4明纹的条件是 2n2ek =kl相邻二明纹所对应的膜厚度之差e=ek+1ek=/(2n2) 15-11.如图所示，是用来检验加工件质量的标准件是待测的加工件。它们的端面都经过磨平抛光处理将和放置在平台上，用一光学平板玻璃盖住设垂直入射的波长，与相隔，与以及与间的干涉条纹的间隔都是0.5mm.求与的高度差分析：出现干涉条纹，说明两物体不等高；干涉条纹间隔相等，说明两物体的端面平行，此干涉为劈尖干涉解：设劈尖角为，相邻两干涉条纹间隔为，空气劈相邻两明（暗）干涉条纹的间距为：两物体端面的高度差为：得 15-12.当用波长为1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为，求未知单色光的波长2分析：用牛顿环暗环半径公式 ，计算。 解：根据题意可得 *15-13.如题图所示，曲率半径为和的两个平凸透镜对靠在一起，中间形成一个空气薄层用波长为的单色平行光垂直照射此空气层，测得反射光中第级的暗环直径为（1）说明此暗环的空气层厚度应满足：（2）已知求.分析：本题是等厚干涉问题，关键是要确定各处空气膜的厚度对于上面是平凸透镜，下面是平板玻璃的一般牛顿环装置，在某处空气厚度为；现用平凸透镜代替平板玻璃，该处空气膜的厚度要增加。解法一：某处空气膜的厚度为解法二：作与两凸透镜公切的水平面，用表示第级暗环到切平面的距离，用表示此暗环半径。则可利用牛顿环的关系式表示：有：（2）又得 由（1）可得：代入数据，有 得 15-14.用迈克耳孙干涉仪可测量单色光的波长。当移动距离时，测得某单色的干涉条纹移过条，求该单色光的波长分析：迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜移动，则在该臂上的光程将改变一个波长，由此将引起一条条纹的移动。解：由得15-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长分析：由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求波长。解：设第三级暗纹在j3方向上，则有 asinj3=3l 此暗纹到中心的距离为 x3=ftgj3因为j3很小，可认为tgj3sinj3，所以 x33f/a两侧第三级暗纹的距离是 2x3=6f/a=8.0mm =(2x3)a/6f =500nm 15-16.在单缝夫琅禾费衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角再讨论计算结果说明了什么问题分析：用单缝衍射中央主极大的半角宽度sinj=/a讨论。解： (1) a/=1，sinj=/a=1, j =90(2)a/=10，sinj=/a =0.1 j =544(3) a/=100，sinj=/a =0.01 j =34这说明，比值/a越小的时候，衍射角越小，中央明纹越窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显(/a)0的极限情形即几何光学的情形:光沿直线传播.15-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为，由题意的第三级明纹与波长的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角。解：设未知波长为 由单缝衍射明纹条件：可有： 和 可得15-18.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，1=440 nm，2=660 nm(1nm=10-9m)实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角j=60的方向上求此光栅的光栅常数d分析：光栅衍射主极大公式即光栅方程，两种波长的谱线重叠时，具有相同的衍射角。解：由光栅衍射主极大公式得 当两谱线重合时有j1=j2,即 两谱线第二次重合即是 ， k1=6， k2=4由光栅公式可知dsin60=61 =3.0510-3mm15-19.波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大在处，第四级缺级，试问：（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？（2）光栅上狭缝可能的最小宽度有多大？（3）按上述选定的、值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？分析：（1）将已知条件代入光栅方程可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距；（2）用缺级公式，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度；（3）以为限先确定干涉条纹的级数，等于时对应的级次看不见，扣除缺级，最后算出条纹数。解：（1）由光栅方程 （k=2） 得 （2）根据缺级条件，有 取,得 （3）由光栅方程 令,解得: 即时出现主极大，缺级,级主极大在处,实际不可见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条.15-20.汽车的两盏前灯相距1.2m，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，车灯发光波长为.分析：两个物体能否分辨，取决于仪器的最小分辨角解：设为两灯距离，为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为 由瑞利准则 得 15-21.已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为，由它们发出的光波波长。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？分析：物镜的口径对两颗星的张角等于分辨极限角时，则能分辨出这两颗星。解：由 得 15-22.一直径为2mm的氦氖激光束射向月球表面，其波长为632.8nm.月球和地面的距离为试求：（1）在月球上得到的光斑的直径有多大？（2）如果这束激光经扩束器扩展成直径2m的光束，在月球表面得到的光斑的直径将为多大？在激光测距仪中，通常都采用激光扩束器，这是为什么？分析：由瑞利判据讨论。解：（1）设在月球上的爱里斑直径为，激光束直径为，地球至月球距离为。由瑞利准则 （2）若将激光束的直径扩为，则月球表面爱里斑的直径为： 可见， 所以，使用激光扩束器可减小光束的发散，使光能集中，方向性更好，从而提高测距精度.15-23.如果图中入射X射线束不是单色的，而是含有由0.095nm到0.130nm这一波带中的各种波长。晶体的晶格常量，问：与图中所示的晶面族相联系的衍射的X射线束是否会产生？分析：由布拉格公式，把波带端的波长代入，求出的取值范围。当取整数时，求出的在波带中即可产生X射线衍射。解：由布拉格公式级次的取值范围在 即 只能取整数，所以，时, 时, 可产生衍射。15-24. 将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45和90角 (1) 强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态 (2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？分析：强度为的自然光通过偏振片后，变为光强为的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角，根据马吕斯定律可进行求解。解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I1=I0/2通过第二偏振片后，I2I1cos245I0/ 4通过第三偏振片后，I3I2cos245I0/8通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行(2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时I3=0, I1仍不变15-25.如果起偏振器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为.（1）假定偏振器是理想的，则非偏振光通过起偏振器和检偏器后，其出射光强与原来光强之比是多少？（2）如果起偏振器和检偏器分别吸收了10%的可通过光线，则出射光强与原来光强之比是多少？分析：与15-24同。解：非偏振光即自然光，设光强为（1）通过理想的起偏振器的光强为 通过理想的检偏器后的透射光强为 所以 （2）通过可吸收光的起偏振器后，光强为 通过有吸收的检偏器后，光强为 得 15-26.一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上 (1) 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，并且入射光中两种成分的光的出射光强相等，至少需要几个偏振片？它们的偏振化方向应如何放置？ (2) 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少？ 分析：强度为的自然光通过偏振片后，变为强度为I0 /2的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度可由马吕斯定律求出，最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，最后通过的那块偏振片的偏振化方向必须垂直于入射线偏振光的振动方向。解：设入射光中两种成分的强度都是I0，总强度为2I0 (1) 通过第一个偏振片后，原自然光变为线偏振光，强度为I0 /2，原线偏振光部分强度变为I0 cos2，其中为入射线偏振光振动方向与偏振片偏振化方向P1的夹角以上两部分透射光的振动方向都与P1一致如果二者相等，则以后不论再穿过几个偏振片，都维持强度相等(如果二者强度不相等，则以后出射强度也不相等)因此，必须有 I0/2I0cos2，得45 为了满足线偏振部分振动方向在出射后“转过”90，只要最后一个偏振片偏振化方向与入射线偏振光方向夹角为90就行了 综上所述，只要两个偏振片就行了(只有一个偏振片不可能将振动方向“转过”90) 如图，表示入射光中线偏振部分的振动方向. P1、P2分别是第一、第二偏振片的偏振化方向 (2) 出射强度I2(1/2)I0cos245I0cos445 I0(1/4)+(1/4)=I0/2比值 I2/(2I0)1/4 15-27.水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50.当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面而反射时，起偏振角又为多少？分析：由布儒斯特定律求解。解：由布儒斯特定律设玻璃折射率为，水的折射率为当光从水中射向玻璃反射时：当光从玻璃射向水中反射时：15-28测得不透明釉质（珐琅）的起偏振角为，它的折射率为多少？分析：由布儒斯特定律求解。解：由布儒斯特定律，15-29.如图所示，三种透明介质、的折射率分别为，和。、和、的界面互相平行一束自然光由介质射入，若在两界面上的反射光都是线偏振光，则(1)入射角是多大?(2)折射率n3是多大?分析：由布儒斯特定律可知：自然光只有以布儒斯特角入射时，反射光才是线偏振光。解: (1) 由布儒斯特定律 所以 (2) 令在介质中的折射角为,则 此在数值上等于介质、界面上的入射角, 由布儒斯特定律得 15-30一束平行的自然光从空气中垂直入射到石英上，石英（正晶体）的光轴在纸面内，方向如图15-29所示，试用惠更斯作图法示意地画出折射线的方向，并标明o光和e光及其光矢量振动方向分析：正晶体沿光轴方向o光e光传播速度相等，其它方向。解：用惠更斯作图法作图：题15-30解图15-31用方解石制作对钠黄光（波长l = 589.310-9 m）适用的四分之一波片 (1)请指出应如何选取该波片的光轴方向； (2)对于钠黄光，方解石的主折射率分别为no = 1.658、ne = 1.486，求此四分之一波片的最小厚度d.分析：波晶片的的光轴应与晶体表面平行，经片后，o光e光光程差为。解：(1)制作方解石晶片时，应使晶体光轴与晶片表面平行 (2) = m
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