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习题解答1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。解 汽车行驶的总路程为；汽车的总位移的大小为Dr = 位移的方向沿东北方向，与 方向一致。1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问 与 在一般情况下是否相等？为什么？解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的单位分别是m和s。求：(1)第二秒内的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度；(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解 取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。(1)第二秒内的平均速度ms-1；(2)第三秒末的速度因为 ，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为v3 = - 18 ms-1；用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为v4 = - 48 ms-1；(3)第三秒末的加速度因为 ，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为a3 = - 24 ms-2；用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为v4 = - 36 ms-2 .1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为 和 ，试证明：(1) vdv = ads；(2)当a为常量时，式v 2 = v 02 + 2a (s -s0 )成立。解 (1)；(2)对上式积分，等号左边为,等号右边为,于是得,即.1-7 质点沿直线运动，在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式：s = (t -1)2 (t -2)，s和t的单位分别是m和s。求：(1)当质点经过O点时的速度和加速度；(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离；(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离；(4)当质点的速度为12 ms-1 时它的加速度。解 ：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。(1)质点经过O点时，即s = 0，由式,可以解得t = 1.0 s，t = 2.0 s .当t = 1 s时，. 当t = 2 s时，v = 1.0 ms-2 ，a = 4.0 ms-2 .(2)质点的速度为零，即上式可化为,解得t = 1.0 s和 t = 1.7 s .当t = 1 s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0 m；当t = 5/3 s时，质点离开O点的距离为 -0.15 m 。(3)质点的加速度为零，即,上式可化为3t-4=0,解得t = 1.3 s .这时离开O点的距离为 -0.074 m。(4)质点的速度为12 ms-1，即,由此解得将t值代入加速度的表示式,求得的加速度分别为a = 12.4 ms-2和 a = - 12.2 ms-2 . 1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a = -Cv2，C是常量。若t = 0时质点的速度为v0 ，并处于s0 的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。解 以t = 0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。因为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。,于是有.两边分别积分，得.因为t0 = 0，所以上是变为,即, (1)上式就是任意时刻质点的速度表达式。因为， dx= v dt ,将式(1)代入上式，得,两边分别积分，得.于是，任意时刻质点的位置表达式为.1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0 ，质点出发后每经过t时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后质点的速度和加速度。解 可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意，质点运动的加速度应该表示为.由速度公式可以求得经过t时间质点的速度.另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移.1-10 质点沿直线y = 2x + 1 m 运动，某时刻位于x1 = 1.51 m处，经过了1.20 s到达x2 = 3.15 m处。求质点在此过程中的平均速度。解 根据定义，平均速度应表示为,其中.由已知条件找出Dx和Dy，就可以求得平均速度 。.根据直线方程y = 2x + 1，可求得y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m， y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m .所以.平均速度为.也可以用下面的方式表示；与x轴的夹角为.1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5 + t 2 ，y = 3 + 5t - t 2 ，z = 1+ 2t 2, 求第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位分别是米和秒。解 已知质点运动轨道的参量方程为.质点任意时刻的速度和加速度分别为和.质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t = 2 s代入上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为和 .1-12 设质点的位置与时间的关系为x = x(t)，y = y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出 ，然后根据 和 求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得到的结果为v = 和 。你认为哪一组结果正确？为什么？解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下.速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0 s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间？解 设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足.(1)前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3，并可列出下面两个方程式, (2) (3)由式(1)得.将上式代入式(2)和式(3)，分别得到,.第九节车厢通过观察者身边所需时间为Dt = t3 - t2 =15.00 s - 14.14 s = 0.86 s .1-14 一架开始静止的升降机以加速度1.22 ms-2 上升，当上升速度达到2.44 ms-1 时，有一螺帽自升降机的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距2.74 m。计算：(1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间；(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。解 设螺帽落到升降机地面所需时间为t，在这段时间内螺帽下落的距离为h1，同时升降机上升的距离为h2。(1)若以螺帽为研究对象， 可取y轴竖直向下，t = 0时，螺帽的速度为v0 = -2.24 ms-1，加速度为g，则有(1)若以升降机为研究对象， 可取y轴竖直向上，t = 0时，升降机的速度为v0 = 2.44 ms-1，加速度为a = 1.22 ms-2，这时应有(2)显然h = h1 + h2就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于2.74 m。于是(3)有式(3)解得.(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离，就是上面所说的h1，将上面所求得的t代入式(1)，可以得到.1-15 设火箭引信的燃烧时间为6.0 s，今在与水平面成45角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发射火箭？解 以火箭发射点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。设发射火箭的初速度为v0 ，则其竖直向上的分量为,竖直向上的速度为.火箭到达最高点时，vy= 0，由此可以求得初速度为.1-16 倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成60角，1.00秒钟后小球仍然斜向上升，但飞行方向与水平面成45角。试求：(1)小球到达最高点的时间；(2)小球在最高点的速度。解 以抛设点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。(1)为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度v0 。因为v0与水平方向成60角，所以可列出下面的方程式.当t = 1 s 时，速度v与水平方向成45，必定有 ，所以,由此解得.如果小球到达最高点的时间为t，则有,由此解得.(2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为. 1-17 质点作曲线运动，其角速度 w为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为 ，其中r0和a都是常量。求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。解 质点的径向速度为,横向速度为.质点的径向加速度为,横向加速度为.(计算过程用到了 为常量的条件。)1-18 质点沿任意曲线运动, t时刻质点的极坐标为 ,，试求此时刻质点的速度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。解 t时刻质点的速度为,此时刻质点的加速度为.题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t，就可以得到质点运动的轨道方程。由轨道的参量方程的第二式得,将上式代入轨道的参量方程的第一式，得,这就是质点运动的轨道方程。1-19 质点沿半径为R的圆周运动，角速度为w = ct，其中c是常量。试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。解 建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系, (1)图1-12式中r= R ，就是圆周的半径。相反的关系可以表示为. (2) 设t = 0时，质点处于圆周与x轴的交点上。由题已知,所以(3)将式(3)代入式(1)，得,. 于是质点的位置矢量可以表示为；质点的运动速度可以表示为；质点的运动加速度可以表示为在极坐标中质点的位置矢量可以表示为；质点的速度为；质点的加速度为.1-20 质点按照s = bt - 的规律沿半径为R的圆周运动，其中s是质点运动的路程，b、c是常量，并且b2 cR。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？解 质点运动的速率为,切向加速度为,切向加速度的大小可以写为at = c。法向加速度可以表示为.切向加速度与法向加速度大小相等，即,由此解得.讨论：因为v = b - ct ,所以，当t = 0时，v = b ，当t = b/c时，v = 0 。这表示在0到b/c时间内，质点作减速运动。而在t = b/c之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为c，速率不断增大。可见质点有两个机会满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。一个机会是在0到b/c之间，即,为什么t = t1是处于0到b/c之间呢？根据已知条件b2 cR，也就是b ，所以必定有b/c t1 0。另一个机会是在t = b/c之后，即.图1-13a1-21 质点从倾角为a =30 的斜面上的O点被抛出，初速度的方向与水平线的夹角为q = 30， 如图1-13a所示，初速度的大小为v0 = 9.8 ms-1 。若忽略空气的阻力，试求：(1)质点落在斜面上的B点离开O点的距离；(2)在t = 1.5 s时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。解 建立如图所示的坐标系：以抛射点O为坐标原点，x轴沿水平向右，y轴竖直向上。这时质点的抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动的合成，并且有, .(1)设B点到O点的距离为l，则B点的坐标可以表示为如果质点到达B点的时间为t，则可以列出下面的方程式(1)(2)以上两式联立，可解得(3)将式(3)代入式(1)，得.(2)设在t = 1.5 s 时质点到达C点，此时,.所以速度的大小为图1-13b.速度与y轴负方向的夹角为.现在求C点的切向加速度at和法向加速度an 。由图1-13b可见，质点的总加速度就是重力加速度g，方向与vy一致，而at和an则是它的两个分矢量。并且由于at与v的方向一致，所以at与g之间的夹角就是v与vy之间的夹角，即b角。于是可以得到,. 图1-141-23 用绳子系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。问物体在什么位置上绳子的张力最大？在什么位置上张力最小？解 ：设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为q，如图1-14所示。 这时物体受到两个力的作用，即绳子的张力T和重力mg，并且下面的关系成立.所以可把绳子张力的大小表示为. 由上式可以得到：当物体处于最低点时，q = p，张力为最大；当物体处于最高点时，q= 0 ，张力为最小。1-24 质量为m的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，角速度为w。求细绳与竖直方向的夹角j。图1-15解 小球受到绳子的张力T和重力mg的作用，并且在竖直方向上无加速度，所以有 (1)在水平方向上，小球有向心加速度,张力T的水平分量提供了小球的向心力，故有(2)由式(1)和式(2)可以解得,.1-25 在光滑的水平桌面上并排放置两个物体A和B，它们互相接触，质量分别为mA = 2.0 kg，mB = 3.0 kg。今用F = 5.0 N的水平力按图1-16所示的方向作用于物体A，并通过物体A作用于物体B。求：图1-16(1)两物体的加速度；(2) A对B的作用力；(3) B对A的作用力。解 取水平向右为x轴。(1)以两物体A和B为研究对象，它们在水平方向上受到力F的作用， 所以在该方向上应有,.(2)设A对B的作用力为F1 ，沿x轴的正方向，物体B沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式.(3)设B对A的作用力为F2，沿x轴的反方向，物体A沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式,.图1-17a1-26 有A和B两个物体，质量分别为mA = 100 kg，mB = 60 kg，放置于如图1-17a所示的装置上。如果斜面与物体之间无摩擦，滑轮和绳子的质量都可以忽略，问：(1)物体如何运动？(2)物体运动的加速度多大？(3)绳子的张力为多大？解 物体A的受力情况如图1-17b所示：张力T；重力mAg图1-17c支撑力NA。图1-17b物体B的受力情况如图1-17c所示：张力T；重力mAg；支撑力NA。(1)我们可以假定物体B向下滑，物体A向上滑，加速度为a。若解得a 0，物体确实按所假定的方向滑动；若解得a 0，物体实际上是沿与假定方向相反的方向滑动。对物体B：, (1)对物体A：(2)将以上两式相加，得,解得所以，系统中的物体A沿斜面向上滑动，物体B沿斜面向下滑动。(2)物体运动的加速度为.(3)由式(2)可以解得. 图1-18a1-27 在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木块A和B，它们的质量分别是mA和mB。今以水平恒力F作用于木块B上，并使它们一起向右运动，如题1-18a图所示。求连接体的加速度和绳子的张力。解 木块A受三个力的作用：图1-18b重力mAg，竖直向下；支撑力NA，竖直向上；绳子拉力T，水平向右。木块B共受四个力的作用：重力mBg，竖直向下；支撑力NB，竖直向上；恒力F，水平向右；绳子拉力T ，水平向左。上述各力都表示在图1-18b中。建立坐标系O - xy，取x轴水平向右，y竖直向上。沿x轴向右的力为正，向左的力为负；沿y轴向上的力为正，向下的力为负。设木块A和B沿水平方向的加速度分别为a和a，于是可以列出下面的运动方程：A：,；B：,. 另外,.由以上方程可解得,.绳子的拉力就是绳子的张力。如果水平恒力F作用于木块A并拉着A、B连接体一起向左运动，这时解得的加速度大小不变，但绳子的张力变为.可见，由于 ，则 。图1-191-28 质量为m的物体放于斜面上，当斜面的倾角为a时，物体刚好匀速下滑。当斜面的倾角增至b时，让物体从高度为h处由静止下滑，求物体滑到底部所需要的时间。解 物体受力情形如图1-19所示。当斜面倾角为a时，物体刚好匀速下滑，这时物体在运动方向上所受合力为零，即,. 由此解得,.当斜面倾角变为b时，让物体从斜面顶端自由下滑，这时,.于是可解得.如果斜面长度l所对应的高度正好是h，物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为t，可列出下面的方程.所以.讨论：从上面的结果看，下式必须成立. (1)因为,(2)将式(2)代入式(1)，得,即,所以必定有.图1-20a1-29 用力F去推一个放置在水平地面上质量为M的物体，如果力与水平面的夹角为a，如图1-20a所示，物体与地面的摩擦系数为m，试问：(1)要使物体匀速运动，F应为多大？(2)为什么当a角过大时，无论F多大物体都不能运动？(3)当物体刚好不能运动时，a角的临界值为多大？解 物体受力情形如图1-20b所示。(1)物体作匀速运动时所受合力为零，于是有,图1-20b.由以上三式可解得.(2)在一般情况下，水平方向上的运动方程可以表示为,于是可以解得物体的加速度为.可见，推动物体前进的力是 ，随a的增加而减小；阻碍物体前进的力是摩擦力 ，随a的增加而增大。所以，当 a值过大时，推动力 就不足以克服作用于物体的最大静摩擦力，物体就不能运动。(3)设物体刚好不能运动时的临界角为a0，下面的关系成立， .因为在a等于这个临界角a0时，无论F为多大，物体都刚好不能运动，这就是说，当F沿着这个临界角的方向时，物体运动与否都与F无关。用F除以上式，并令F，可得,解得.图1-211-32 车厢在地面上作匀加速直线运动，加速度为5.0 ms-2 。车厢的天花板下用细线悬挂一小球，求小球悬线与竖直方向的夹角。解 设悬挂小球的细线与竖直方向成a角，如图1-21所示。若取地面为参考系，可列出下面的方程,.解得,a= 272 . 1-33 汽车以2.50 ms-1 的速率经过公路弯道时，发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为1。求公路弯道处的半径。解 设小球悬线与竖直方向的夹角为a，可以列出下面的方程,.可以解得. 1-34 设地球是半径为R、质量为M的均匀球体，自转角速度为w，求重力加速度g的数值与纬度j的关系。(提示：先求出质量为m的物体处于地面上纬度为j的地方的重量，然后根据重量求出重力加速度与纬度的关系。)解 地面上物体的受力情况如图1-22所示。由图可见.利用余弦定理，得,因为w很小，w4项可以略去，所以上式可化为图1-22于是可得,也就是.上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度j的关系。
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