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质点动力学习题答案2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-1.图2-1 方向： 方向： 时 由、式消去，得2-2 质量为的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值为，为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.解：研究对象：受力分析：受两个力，重力及空气阻力 牛顿第二定律：合力：y分量：即 时，物体达到了最高点，可有为 时，2-3 一条质量为，长为的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为，根据牛顿定律，有通过变量替换有 ，积分由上式可得链条刚离开桌面时的速度为2-5 升降机内有两物体，质量分别为和，且2用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速上升时，求：(1) 和相对升降机的加速度(2)在地面上观察和的加速度各为多少?解: 分别以,为研究对象，其受力图如图所示(1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为，则对地加速度；因绳不可伸长，故对滑轮的加速度亦为，又在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有题2-5图联立，解得方向向下(2) 对地加速度为 方向向上在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 ，左偏上2-6 一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x方向运动，NS（沿方向）NS（沿方向）2-7 一弹性球，质量为kg，速率m/s，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为，求碰撞过程中小球受到的冲量设碰撞时间为s，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力解:NS2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得(2)子弹所受的冲量将代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-10 木块B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示. 已知kg，0.75kg，小木块A与木块B之间的摩擦因数0.5，木板B与台面间的摩擦因数0.1. 现在给小木块A一向右的水平初速度40m/s，问经过多长时间A、B恰好具有相同的速度？（设B板足够长）图2-10解：当小木块A以初速度向右开始运动时，它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B与小木块A视为一个系统，A、B之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过时间，A、B具有相同的速度，根据质点系的动量定理 再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予的摩擦阻力，应用质点的动量定理 以及 解得 代入数据得 m/s =7.65s图2-112-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为和，子弹穿过两木块的时间各为和，设子弹在木块中所受的阻力为恒力，求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动. 解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为，初始两木块静止， 由动量定理，于是有设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为，对第二块木块，由动量定理有 解以上方程可得 2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解：设开始下落时，在任意时刻落到桌面上的链长为，链未接触桌面的部分下落速度为，在时间内又有质量（为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予的冲量等于的动量增量，即 所以 由自由落体的速度得这是时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力，方向向下，时刻桌面受的总压力等于冲力和时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以 所以即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13一质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上，船长为5m，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离. 解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为，船的质量为，应用动量守恒得 其中，分别为人和小船相对于静水的速度， 可得人相对于船的速度为 设人在时间内走完船长，则有 在这段时间内，人相对于地面走了 所以 船头移动的距离为2-14质量为的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为，速度的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动.求：(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；(2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；(3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为，子弹和木块组成系统动量守恒（1） 所以 （2）子弹的动量（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为2-15质量均为的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为的人自一辆车跳入另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解： 质量为的人，以相对于地面的速度从车A跳到车B，此时车A得到速度，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得人到达车B时，共同得速度为，由动量守恒得人再由车B以相对于地面的速度跳回到车A，则车B的速度为，而车A与人的共同速度为，如图所示，由动量守恒得联立方程解得： 所以车B和车A得速率之比为2-16体重为的人拿着重为的物体跳远，起跳仰角为，初速度为. 到达最高点时，该人将手中的物体以水平向后的相对速度抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系 从最高点到落地，人做平抛运动所需时间跳远距离增加为 2-17铁路上有一平板车，其质量为，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为，相对平板车的速度均为. 问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少？（1）个人同时跳离；（2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解：取平板车和个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有所以个人同时跑步跳车时，车速为（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得第二个人跳车时，有以此类推，第个人跳车时，有所以因为故2-18质量为的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。若时，试求时，图2-18 解：在到过程中，外力功为力曲线与轴所围的面积代数和40J 由动能定理为：即 2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障. 有一质量为的滑块以初速度沿切线方向进入屏障一端，如图2-19所示,设滑块与屏障间的摩擦因数为，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为 图2-19解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有： 法向： 切向：由以上两式，可得 对上式两边积分，有可得 由动能定理可得摩擦力做功为2-20质量为的木块静止于光滑水平面上，一质量为，速率为的子弹水平射入木块后嵌在木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的机械能.解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒因而求得子弹和木块共同速度（1）（2）（3）2-21一质量kg的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度系数N/m. 今有一质量1kg的小球以水平速度4m/s飞来，与物体相撞后以2m/s 的速度弹回，试问：(1) 弹簧被压缩的长度为多少？(2) 小球和物体的碰撞是完全弹性碰撞吗？(3) 如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与粘在一起，则（1），（2）所问的结果又如何？ 解：碰撞过程中物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒 m/s小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体有作用力，对物体，由动能定理（1） 弹簧被压缩的长度 m（2）4.2J（3）小球与物体碰撞后粘在一起，设其共同速度为，根据动量守恒及动量定理 此时弹簧被压缩的长度m2-22 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端一重物，的质量为，如2-22图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比 图2-22 解: 弹簧及重物受力如2-22图所示平衡时，有 又 所以静止时两弹簧伸长量之比为弹性势能之比为2-23 如题2-23图所示，一物体质量为2kg，以初速度3ms-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 图2-23解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有式中，再代入有关数据，解得 再次运用功能原理，求木块弹回的高度代入有关数据，得 ,则木块弹回高度2-24铅直平面内有一光滑的轨道，轨道的部分是半径为的圆. 若物体从处由静止下滑，求应为多大才恰好能使物体沿圆周运动?图2-25解：木块如能通过点，就可以绕整个圆周运动. 设木块质量为，它在点的法向运动方程为 式中为圆环给木块的法向推力. 显然0时，木块刚好能通过点，所以木块刚好能绕圆周运动的条件为选木块和地球为系统，系统的机械能守恒，所以可得 联立求解得即高度为时木块刚好能绕圆周运动2-25两个质量分别为和的木块和，用一个质量忽略不计、倔强系数为的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上，是紧靠墙壁，如图示. 用力推木块使弹簧压缩，然后释放. 已知，求(1) 释放后，、两木块速度相等时的瞬时速度的大小；(2) 释放后，子弹的最大伸长量.图2-26解：释放后，子弹恢复到原长时将要离开墙壁，设此时的速度为，由机械能守恒，由 得离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒，机械能守恒，有 （1）当时，求得： （2）（2）弹簧有最大伸长量时，由式（2）得 2-26两块质量各为和的木块，用劲度系数为的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如图示，问至少要用多大的力压缩上面的木块，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？图2-27解： 将和弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力撤离后，只有保守力作用，所以机械能守恒. 设压力撤离时刻为初态，恰好提离地面时为末态，初态、末态时动能均为零. 设弹簧原长时为坐标原点和势能零点， 则 式中为压力作用时弹簧的压缩量，则式中为恰好能提离地面时弹簧的伸长量，此时要求联立以上几个方程解得故能使提离地面的最小压力为2-27一质量为的三角形木块放在光滑的水平面上，另一质量为的立方木块由斜面最低处沿斜面向上运动，相对于斜面的初速度为，如图所示，如果不考虑木块接触面上的摩擦，问立方木块能沿斜面上滑多高？图2-28 解：三角形木块与立方木块组成的系统在水平方向不受外力作用， 水平方向动量守恒. 初始时，立方木块速度为，其水平方向分量为，三角形木块静止；当立方木块达最高点时，相对于三角形木块静止，设二者共同的速度为，则 在运动过程中，两木块和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，得 由以上两式得立方木块沿斜面上滑的高度为 2-28两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B，放在地板上，今有一质量为的小物体，从静止状态由A的顶端下滑，A顶端的高度为，所有接触面均光滑. 试求小物体在B轨上上升的最大高度（设A、B导轨与地面相切）图2-29 解：设小物体沿A轨下滑至地板时的速度为，对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定律及沿水平方向动量守恒定律，有 （1） （2）解得 （3）当小物体以初速沿B轨上升到最大高度H时，此时小物体相对B的速度为零，设小物体与B相对地沿水平方向的共同速度为，根据动量守恒与机械能守恒，有 （4） （5）联立（3）（5）解得2-29 一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的距离（假设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）图2-30解：第一阶段：砝码落入盘中以前，由机械能守恒有 第二阶段：砝码与盘碰撞，因为完全非弹性碰撞，其共同速度设为，在垂直方向，砝码和盘组成系统之碰撞内力远大于重力、弹簧的弹性力，可认为在 垂直方向动量守恒，因而有 第三阶段：砝码和盘向下移动过程中机械能守恒，注意到弹性势能零点是选在弹簧的原长处解以上方程可得 向下移动的最大距离为2-30倔强系数为的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为的小球B相连接. 推动小球，将弹簧压缩一端距离后放开，假定小球所受的滑动摩擦力大小为且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等. 试求必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态.图2-31解：取弹簧的自然长度处为坐标原点 在时，静止于的小球开始运动的条件是 (1)小球运动到处静止的条件，由功能原理得 (2)使小球继续保持静止的条件为 (3)所求同时满足(1)和(3)式，求得 2-31一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为及的物体，如图示，静止在桌面上（）.抬高, 使绳处于松弛状态. 当自由落下距离后, 绳才被拉紧，求此时两物体的速度及所能上升的最大高度.图2-32解：分三个阶段自由下落 相互作用（通过绳），在此阶段，绳中张力比物体所受重力大得多，此时可忽略重力，由动量定理对有 对有 下降，上升过程机械能守恒解以上方程可得 人过四十，已然不惑。我们听过别人的歌，也唱过自己的曲，但谁也逃不过岁月的审视，逃不过现实的残酷。如若，把心中的杂念抛开，苟且的日子里，其实也能无比诗意。借一些时光，寻一处宁静，听听花开，看看花落，翻一本爱读的书，悟一段哲人的赠言，原来，日升月落，一切还是那么美。洗不净的浮沉，留给雨天；悟不透的凡事，交给时间。很多时候，人生的遗憾，不是因为没有实现，而是沉于悲伤，错过了打开心结的时机。有人说工作忙、应酬多，哪有那么多的闲情逸致啊？记得鲁迅有句话：“时间就像海绵里的水，只要挤总是有的。”不明花语，却逢花季。一路行走，在渐行渐远的时光中，命运会给你一次次洗牌，但玩牌的始终是你自己。坦白的说，我们遇到困扰，经常会放大自己的苦，虐待自己，然后落个遍体鳞伤，可怜兮兮地向世界宣告：自己没救了！可是，那又怎样？因为，大多数人关心的都是自己。一个人在成年后，最畅快的事，莫过于经过一番努力后，重新认识自己，改变自己。学会了独自、沉默，不轻易诉说。因为，更多的时候，诉说毫无意义。伤心也好，开心也好，过去了，都是曾经。每个人都要追寻活下去的理由，心怀美好，期待美好，这个世界，就没有那么糟糕。或许，你也会有这样的情节，两个人坐在一起，杂乱无章的聊天，突然你感到无聊，你渴望安静，你想一个人咀嚼内心的悲与喜。透过窗格，发着呆，走着神，搜索不到要附和的词。那一刻，你明白了，这世间不缺一起品茗的人，缺的是一个与你同步的灵魂。没有了期望的懂，还是把故事留给自己吧！每个人都是一座孤岛，颠沛流离，浪迹天涯。有时候，你以为找到了知己，其实，你们根本就是两个世界的人。花，只有在凋零的时候，才懂得永恒就是在落红中重生；人，只有在落魄的时候，才明白力量就是在破土中崛起？.因为防备，因为经历，我们学会了掩饰，掩饰自己内心的某些真实，也在真实中，扬起无懈可击的微笑，解决一个又一个的困扰。人生最容易犯的一个错误，就是把逝去的当作最美的风景。所以，不要活在虚妄的世界，不要对曾经存在假设，不要指望别人太多。有些情，只可随缘，不可勉强；有些人，只可浅交，不可入深；有些话，只可会意，不可说穿。或许，有这么一段情，陪你度过漫长冰冷的寒冬；有那样一个人，给你抑郁的天空画上了温暖的春阳。但时光，总会吹散很多往事，把过去一片片分割，移植到不同区域，并贴上标签，印着不同的定义，也定义着自己的人生态度。正如庄子所说：“唯至人乃能游于世不避，顺人而不失己。”外在的世界，只是一个形式，而你内在的世界，才是真正的江山。
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