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第二章 量子力学初步为什么要学？量子力学已经从理论物理的一个分支学科，发展成为技术专家手中的一门有力的工具：纳米（109M）科学与技术, STM和AFM，对物理专业的学生，导论和准备；对应用物理专业的学生，掌握量子力学的基本知识。为什么在这时候学？在波尔与索末菲的旧量子理论中：问题1：L（轨道角动量数值）nj，Lz（轨道角动量的方向）= m；即：定态条件，作为“规定”的量子化条件引入。这种强制性“规定”不符合数学逻辑。问题2：氢原子基态的电子空间分布：波尔理论：n=1的“轨道”，rnn2a1a10.53A；中学物理中的“电子云”。孰是孰非？“电子云”概念是正确的，“轨道”概念是错误的。正确的原子概念的建立，必须学习量子力学。2.1光的波动粒子二象性(duality)光从何来？ 圣经：上帝创造；玻尔，爱因斯坦：能级跃迁，。光是什么？ 牛顿的微粒学说（光子流；依据：光的直线传播性质，反射折射定律）；惠更斯菲涅尔的波动学说（光波；证据：杨氏双缝实验10大经典物理实验之一）单缝双缝光屏光源2.1.1光的波动性波动特性参量：频率(n)，波长(l)，波矢(k)，偏振(E0)，位相（j）参量关系：nlc ；2p /l = k；（kr - 2pnt）j平面波的表示：E E0 coskr - 2pnt E0（1）平面光波满足的波动方程： Helmhetz方程：2Ek2 E = 0（2）2 (Laplace 算符)（3）2.1.2光的粒子性粒子特性参量：能量E，动量p。粒子特性参量（E，p）和波动特性参量（n，l)由Einstein关系联系起来：E hnhc / l（4）p h / l hn /c k（5）p k (h / l) k0 (k 0 ：光传播的方向)（5）光子能量（4）式的实验证实：光电效应实验变阻器VAe金属电极装置：结果：仅当入射光的频率 n nmin，才有光电流（光电子）。光电效应的理论解释（1905，Einstein）hn W0 （W0：脱出功；Ve ：电子脱离速度）（6）nmin = W0 /h爱因斯坦 由于对光电效应的成功解释获得1922年度诺贝尔物理奖。说明：光 (光子，photon) 以hn为单位携带能量，（4）式是正确的。（问题：2hn 能否被吸收？）光子动量（5）式的实验证实：康普顿吴有训散射实验（高能光子 X光被低能自由电子散射的实验）-l，X射线低能自由电子l，散射光q实验：结果：l l Dl （1cosq）（7）康普顿散射公式（7）的理论解释：E = hnp = hn/clE = hnql-jp = h/l=hn/cPE = (m02c4 +P2c2)1/2-A， 能量守恒撞前：hn+m0C2 (低能电子，忽略电子动能)；撞后：hn(m02c4 +P2c2)1/2 （相对论能量）能量守恒：hn+m0C2 hn(m02c4 +P2c2)1/2 (8)B， 动量守恒撞前： 水平方向：hn/c；垂直方向：0撞后： 水平方向：（hn/c）cosq +Pcosj；垂直方向：(hn/c)sinqPsinj动量守恒：hn/c = （hn/c）cosq +Pcosj(9)0=(hn/c)sinqPsinj （10）联立（8），（9）和（10），消除P后整理得（7）式（作业）。说明：光 (光子，photon) 以p = h / l为单位携带动量，（5）式是正确的。康普顿（美国人）由于X光被低能自由电子散射的实验获得1927年度诺贝尔物理奖。2.1.3光的波粒二象性光即有波动的属性，又具有粒子的属性。光具有波粒二象性。光的波动性参量（l，n）和光的粒子性参量（E，p）通过(45)两式爱因斯坦关系式联系起来。2.2物质的波粒二象性2.2.1德布罗意（法国人，1924，巴黎大学文理学院本科生）的类比假设 波动性：被人们强调光（具有波粒二象性） 德氏类比 粒子性：被人们忽略 粒子性：被人们强调实物粒子（大到星体，小到电子和原子） 波动性：是否被忽略了？如果是这样，实物粒子也应该具有波粒二象性！（大胆设想）如果实物粒子具有波粒二象性，表征粒子特征的参量E 和p和表征波动特征的参量n和l通过如下关系式联系起来： 波长： l h / p（11）频率： n E / h（12）同4，5两式。平面光波的数学表达式（1）：E(k, t) E0，其中,k p / (h / l) k0；2pn w E / 。实物粒子(E, p)波的数学表达式：y ( p, t) = y0（13）德布罗意对如上“假设”的佐证：氢原子的“定态条件”Ln 的推导：若“电子”有波动性，要成为“定态”波（不向外辐射能量）必须是“驻波”。“驻波”条件：弦振动 ：2Lnl；电子圆形轨道：2pr nl（r=nl/2p）（14）n=2L电子绕核运动的角动量：L=rp,数值：L = rp =（nl/2p）*（ h / l）= n ：定态条件！（波动性的逻辑结果！）称实物粒子的这种波动性为物质波（又为：德布罗意波）。1924年，德布罗意建议做电子束被单晶的衍射实验，证实物质波的存在；1927年，美国人戴维孙革末通过电子束被镍单晶的衍射实验，成功地证实了电子的波动性。德布罗意由于物质波的工作，获1927年度的诺贝尔物理学奖；戴维孙由于电子束被镍单晶的衍射实验，获1937年度的诺贝尔物理学奖。2.2.2物质波的物理诠释“电子”有动量、能量、大小（定域），属于典型的“实物粒子”。电子枪V-e-e电子如果具有波动性，其物质波的波长满足：l h / p h/ me；如果电子的动能，由“电子枪”通过静电场加速电子而获得，则：Ek eV ve 。l (nm)（15）质子：Mp1836 me，l (nm)；M=0.01（kg）的铁球，ve =0.001（m/s），l h / p6.6*10-19 (nm)。和铁球自身的尺寸相比，波动性可以忽略！结论：物质波仅对“微观粒子”有意义。电子经杨氏双缝的干涉实验（十大经典实验物理实验之首！）a）示意图b)270个电子屏上的光团（定域性），反映出电子的粒子性；但是，非经典粒子。Why？如若是，仅分布在两条直线上！c)2000个电子；d）60000个电子屏上出现较明显（c）和明显的(d)干涉条纹，反映出电子的波动性；但是，非经典波。Why？如若是，图b)，也应该出现干涉条纹！问题：“电子波”（物质波）究竟是什么波？就任意一个电子，经过双缝后只能出现在屏上的一个位置；但是，此电子出现在屏上“亮”纹处的概率性大，“暗”纹处的概率性小。大量的这种概率分布确定的电子，在屏上形成干涉条纹。所以，（物理诠释：）物质波是一种概率波。如果用波函数y ( r, t)表示物质波，y ( r, t)2dt (dt：体积元)表示粒子在t时刻，在dt中出现的概率。 量子力学基本原理之一。（类似掷骰子，一次只出现一面，究竟出现那一面？不知道！但是，每一面出现的概率是确定的（概率为1/6；如果6面的大小不一，概率就不同。Einstein的不同观点：上帝造物不靠掷骰子！ 靠明确的动力学关系确定）2.2.3不确定关系（测不准关系 量子力学基本原理之二）对一实物粒子，如果不考虑其波动性，位置（q）和动量（p）是确定的物理量（粒子的定域性），可以同时准确测量。对一列波，其可弥漫在整个空间，位置（q）和动量（p）不再是确定的物理量（波的非定域性）。由实物粒子的“波粒”二象性，决定了： （1）（实物粒子）坐标和动量的不确定性同时测量一个实物粒子的坐标（q）和动量（p）时，如果：q的不确定量为Dq，Dq；（q ：一次测量量；：多次测量均值）p的不确定量为Dp，Dp；（p ：一次测量量；：多次测量均值）则：DqDp /2（16）DxDpx /23D直角坐标中的形式：DyDpy /2DzDpz /2（16）的举例说明：光的单缝衍射实验a=l/DqDqp0=(h / l) k0p0pDpa（动量确定的平面波）（位置的不确定量）（动量的不确定量）Dp p0a（h/l）l/DqDpDq h（近似关系！）显然，DqDp /2中，如果：Dp0（动量确定），则Dq （位置不确定）；Dq0（位置确定），则Dp （位置不确定）。（从公式：DqDp /2和图形两方面看）结论：动量和位置二者不可同时准确测量。（2）（实物粒子）能量和动时间的不确定性以一自由的实物粒子(势能为零)为例：E，。所以，DEDt DpDq /2（非自由的实物粒子也成立）（17）（17）的应用举例：光谱线的自然宽度理想情况：（由于自发辐射存在）实际情况：E2 DE2 2E2 /4tt =1/ADt=tE2DE20DE2 /2t hn0E1t = (基态)Dt=t= E1DE10DE1 =0nnn0 = (E2 E1)/h n=(E2/4t) E1)/h=n0 (1/8pt)理想的线谱：Dn=0谱线宽度：Dn1/4pt= A/4p将由自发发射引起的谱线宽度称为光谱线的自然宽度。例如，t109s，由此引起的光谱线的自然宽度Dn108HZ（可见光n10141015 HZ）。（3）“不确定关系”仅对“微观粒子”有意义设有两个实物粒子，V100 m/s, Dx = 10- 6 m , Dph/2pDx = 6.610-28 Kg m/s粒子1：m = 0.01 Kg ,p = 1 Kg m/s,Dp/ p0 :动量的“不确定”性可以忽略！粒子2：m = me = 9.110-31 Kg （微观粒子）,p = 9.110-29 Kg m/s, Dp/ p10 . 动量的“不确定”性不可以忽略！可见，“不确定关系”仅对“微观粒子”有意义。2.2.4波函数和量子态1， 波函数的规一化y ( r, t)2dt ：表示粒子在t时刻，在dt中出现的慨率；y ( r, t)2 ：慨率密度； 1（18）一般地，y，( r, t) cy ( r, t) , （c为复常数） c2y ( r, t) = y，( r, t) / c：规一化波函数2,波函数的完备性指粒子的波函数y ( r, t)一经确定，其相应的物理量q, p, E, L，等的分布就完全确定；换言之，粒子的状态就完全确定。故：波函数状态函数；波函数所表示的粒子状态又称为量子态, 用y（狄拉克符号）表示。3,量子态的表象类似矢量A ，可以在直角坐标系（x, y, z）,也可以在球坐标系（j,q,r）,柱坐标系（j,r,z）表示一样，量子态y的不同表示方式称为量子态的表象。量子态的表象有 q(坐标)， p(动量)， E（能量）， L（角动量），分别表示为： = y(r), = y(p), = y(E), = y(L).。4，本征态，本征函数，本征值某一物理量具有确定数值（可准确测量）的量子态，就是此物理量的本征（量子）态；此本征态在此物理量的表象中的波函数，就是此物理量的本征函数；此物理量的数值就是本征值。例如，动量(p)确定的量子态y是p的本征态； = y ( p, t) = y0(13) 式，是p的本征函数；k = p /r (不定)波面p就是本征值。（13）式：动量一定的平面波。2.2.5态叠加原理（量子力学基本原理之三）如果y1是微观粒子的一个量子态，y2是此微观粒子的另一个量子态，则：y c1y1 c2y2 也是此微观粒子的量子态 (c1, c2为常数) 。在坐标表象中，y ( r, t) = c1y1 ( r, t) c1y2 ( r, t)例如：电子的双缝干涉实验双缝光屏12r1r20电子y1 ( r, t)y2 ( r, t)y ( r, t)y = y1y2 也是电子的一个可能的态函数。y1y22 y12y22 2y1y2是电子出现在0点的慨率密度。大量电子在屏上必然有干涉条纹出现。2.3薛定谔（E. Schrdinger，奥地利人，1925）方程P. J. W. Debye（德拜，薛定谔的导师）的考虑：电磁波：满足Maxwell方程；平面光波：满足Helmhetz方程（2）；“有了波，应该有一个波动方程”（德拜语）。物质波满足什么样的波动方程？2.3.1薛定谔方程1,含时薛定谔方程（量子力学基本原理之四：量子力学中的牛顿定律）i y ( r, t) = +V(r, t) y ( r, t) ,（19）where, V(r, t)：粒子的势能；2 ：Laplace 算符（19）：y ( r, t) 随时变化的规律。2， 定态薛定谔方程如果，V(r, t) V(r)：不含时，y ( r, t) y (r)f（t）(分离变量) （20）代入（19），左边：i y (r) f（t）；除于y (r)f（t） ;右边：f（t）+V(r) y (r)；除于y (r)f（t）+V(r) y (r) / y (r)；左边（t的函数）；右边（r的函数）。“左边 右边” 要求： C（常数）（21）+V(r) y (r) / y (r) C（常数）（22）（21）式积分后，得：f（t）（23） 比较动量为p的粒子的波函数：y ( p, t) = y0= y(r) 知道：C E (粒子的能量)，所以f（t）（23）（22）：+V(r) y (r)E y (r)：（定态薛定谔方程）（24）定态薛定谔方程的求解，是量子力学的主要工作之一。定态条件下，y (r, t) = y (r) =y (r) （25）0LxX=L, V= 0 X L V = 0IIIIII2.3.21D无限深势阱中的粒子：（24）式的应用实例之一（1）E=？（2）y(x)= ?I：= Ey (x)，II, III：y (x) = 0。为什么？（此“粒子”如井地之蛙也！）y (x=0) = 0边界条件：为什么？（井地之蛙也！）y (x=L) = 0由I，y (x)0；设：k2(E=)y (x) = 0,解得：y (x)A sin(kx +d).由II：y (0) = 0，A sin（d）0，d0，（A 0，为什么？青蛙死了！） y (x)A sin(kx)。由IIIy (L) = 0，kLnp (n = 1,2,3,，n 0，为什么？青蛙死了！)：E = En（26）：y (x)A sin(x) = y n (x)（27）归一化波函数：A2 A2L/2 = 1 A = y n (x) sin (x) （27）（3）此微观粒子的特点(i)不存在静止的“波”（微观粒子）由（25），Emin (n=1)= ，(ii)此“波”（微观粒子）为驻波sin (kx) = (欧勒公式)，y (x, t) = y (x) f (t) = sin (kx) 沿 x方向传播的平面波, 要在1D无限深势阱中成为“定态”波，必为“驻波”。“驻波”条件：2Lnl（27）2 pLnlp(2 p/l)LnpkLnp（比较）“驻波”与波函数(比较P42, 图2.5)：n = 1:Ll/2;n = 2:Ll; n = 4: L2l;y 1 (x) y 2 (x) y 4(x)E1 = E2 = E4 = y 1 (x)2 y 2 (x)2y 4 (x)2（iii）y n (x)2, 粒子在阱内的位置是非均匀的。作业：2D无限深势阱中的粒子，E= ?, y (x, y) = ? 势阱中内：V(r)0 ；V(r) = V (x, y) = V (x) + V ( y) 势阱外： V(r) 。提示：设， y (x, y)y (x) y (y) ，用分离变数法求解定态薛定谔方程。 2.4量子力学中的一些理论和方法2.4.1平均值和算符的引入1， 平均值平均值的定义：测量一物理量Q, 共有n种可能的测量结果，分别为：Q1，Q2，Qi，Qn ；其中，测得Qi的慨率为Wi ，则：= （28）设Qx (位置)，W= y (x)2 (位置表象中概率密度)，则： （平均值）（29）例如，1D无限深势阱中的粒子，y n (x) sin (x) （居中，和n无关）问题：设Qpx (动量)， ？ No！Why？位置表象的波函数y (x)中，x (位置)有确定数值，但px (动量)是不确定的！问题：在位置表象y (x)中，怎样求？2， 力学量用算符表示（在位置表象中）r（位置） = r (自身)；（30）基本物理量：p（动量） = i ；（31） （矢量微分算符），-i ; -i ; -i .T（动能）（32）E（能量）V（r）V（r）（33）:哈密顿算符含时薛定谔方程（19）：i y ( r, t) = y ( r, t)（34）定态薛定谔方程（24）：y ( r)Ey ( r)（35）引入算符后，力学量Q的平均值： （36）例如，1D无限深势阱中的粒子，y n (x) sin (x) i 0（37）Why ?驻波：均值为0。2.4.2本征函数，本征值，本征值方程的定义和性质1， 定义：对算符和函数yA，如果：yAAyA（A为常数）（38）则：yA为的本征函数；A为的本征值；（38）式为本征值方程。例如：1D无限深势阱中的粒子，=，y n (x) sin (x)yn (x)yn (x)Enyn (x)所以，y n (x) sin (x) 为的本征函数；En为的本征值，yn (x)Enyn (x)为本征值方程。2， 本征函数的性质(i) 正交规一性如果yn和ym同属的不同本征值An, Am（AnAm）的本征函数，则：0（正交性）如果AnAm，即n=m，1（归一性）1,n = mdnm（正交规一性）（39）0,n m验证：1D无限深势阱中的粒子(ii) 简并性一个本征值A 对应唯一的一个本征函数yA，则yA是非简并的；一个本征值A 对应多个个本征函数yA，则yA是简并的。（iii） 不同力学量A，B能够同时准确测量的充要条件力学量A，B对应的算符，具有共同的本征函数（量子力学中将证明）。即：y Ay，y By（AB）举例：1D无限深势阱中的粒子，y n (x) = -i y n (x) =-i sin (x) = -i cos (x) y n (x);y n (x) = xy n (x) ;yn (x) =yn (x) = Enyn (x)和没有共同的本征函数，px和 x不能够同时准确测量；和有共同的本征函数，E和x能够同时准确测量。2.4.3轨道角动量1，在直角坐标系中的算符表示xyz（ypzzpy）+（zpxxpz）+（xpyypx）pxpypzlx+ly+lz力学量的算符替换： = r； = i 算符：=i(y-z)；=i(z-x)；（40）=i(x-y)。jqrzyx2，在球坐标系中的表示x = r sinq cosjy = r sinq sinj（41）z = r cosq r2 = x2 + y2 + z2cosq = z /r（42）tg j = y/xQx = x(r, q ,j);y = y(r, q ,j);z = z(r, q)=+=+（43）=+Q r2 = x2 + y2 + z2= x/r = sinq cosj= y/r = sinq sinj（44）= z/r= cosqQcosq = z /r= cosq cosj= cosq sinj（45）= sinq Q tg j = y/x=-sinj / sinq=cosj / sinq（46）= 0将（44）（46）代入（43），将（43），（41）代入（40）得：i（sinjctgq cosj）-i（cosj-ctgq sinj）（47）-i由：-2(sinq)+（48）3，和的本征函数和本征值i)设：-i的本征值和本征函数为 lz 和F（j），本征值方程为：-iF（j） lz F（j）（49）其解为：F（j）C exp(-)(C为常数)由周期性边界条件：F（j）F（j2p）（周而复始），C exp(-)C exp(-)，exp (-)=1 lz = m, m (磁量子数)=0, 1, 2,（50）（50）式结果同Chapt.1 (21), 但，前者是规定！（空间量子化）。归一化：1， 意义：在02p 中找到粒子的慨率。得：C22p，F（j）Fm（j）=（51）ii) 设：的本征值和本征函数分别为 l 和Y（q, j），本征值方程为：-2 (sinq)+Y（q, j）= l Y（q, j）（52）解此方程（见数学物理方程），得：本征值：l = l (l+1) 2,l（角量子数）0，1，2，3，（53）本征函数：Y（q, j）= Yl, m（q, j）（球谐函数） Fm（j）Ql, m（q）（54）其中，Fm（j）是的本征函数，满足（51）； Ql, m（q）C, (缔合勒让德函数)（55）受 的影响，m (磁量子数)=0, 1, 2,l。 共2l1个。 Yl, m（q, j）l (l+1) 2 Yl, m（q, j）； Yl, m（q, j）Fm（j）Ql, m（q）= m Yl, m（q, j）。结论：Yl, m（q, j）是和共同的本征函数，力学量l2和 lz能够同时准确地测量。iii) 和的本征值和玻尔理论的比较玻尔 (氢原子)量子力学L (轨道角动量) njl2 = l(l+1) 2 （L无本征值!） nj (角量子数)1，2，3，。，nl =0，1，2，3，。 （n：主量子数）(对氢原子：l =0，1，2，3，。，n1)Lz (轨道角动量的z分量) mlz =mm（磁量子数）=0, 1, 2,l。 m =0, 1, 2,l。空间量子化Z（B）Lz mqL nj Z（B）mq cosq = cosq = 2.4用定态薛定谔方程解氢原子问题2.4.1 本征值方程E =？y ( r)Ey ( r)（35） y ( r) =？在球坐标中，y (r,q, j)Ey (r,q, j)（56）Ek =(m=)系统能量 = Ek + V(r) =V(r) = =+ V(r) =（57）而，2 (Laplace 算符)= (sinq)+ （和48式比较后）= （58）= + V(r)（59）设（分离变量）：y (r,q, j) = R（r）Y（q, j）（60）R（r）径向函数；Y（q, j）：角度函数。将，y (r,q, j) = R（r）Y（q, j）代入（56），得： +V(r)YR = ERY(乘2m r2，整理后) 2 + 2m r2 V(r) - EYR = (除RY) 2 + 2mr2 V(r) - E/ R = （61）左边：r的函数；右边：（q, j）的函数。“左边 右边” 要求：左边 右边 = -l （常数）。 ：（52），（62）2 + 2mr2 V(r) - E= -l R（63）（62）：本征值：l = l (l+1) 2,l（角量子数）0，1，2，3，本征函数：Y（q, j）= Yl, m（q, j）（球谐函数）将l = l (l+1) 2，和V(r) = 代入（63），整理后得， + )l (l+1) R = 0（64）解此方程（见数学物理方程），得： (i) E = En = (量子化, 同玻尔理论)（65）n = 1, 2, 3,(主量子数)(ii) R（r）= R n, l（r）= C（66）式中,; : 缔合拉盖尔函数；l（角量子数）0，1，2，3，n-1. (受R n, l（r）影响, 可取n个值)；C ：归一化常数。小结: 氢原子的本征值方程（56） 本征值：E = En = （65）n = 1, 2, 3,(主量子数)本征函数：y (r,q, j) = R（r）Y（q, j）= R n, l（r）Yl, m（q, j）=yn, l, m (r,q,j)= CFm（j）Ql, m（q）（67）式中, l（角量子数）0，1，2，3，n-1. (共n个值) m（磁量子数）=0, 1, 2,l. (共2l+1个值) 简并： (一个能量本征值对应不同的本征函数): g = = n2（68） yn, l, m (r,q, j) 是, , 共同的本征函数.yn, l, m (r,q, j) = Enyn, l, m (r,q, j)Qyn, l, m (r,q, j) = R n, l（r）Yl, m（q, j）= l (l+1) 2yn, l, m (r,q, j),yn, l, m (r,q, j) = R n, l（r）Ql, m（q）Fm（j）= myn, l, m (r,q, j), , 对应的物理量(E, lz, , l2) 能够同时准确地测量。2.4.2氢原子中电子的慨率分布由：r2sinq dr dq dj =1 (Why?)qdq(1) 球谐函数Yl,m和（j,q）的关系, Why？jdjsinq dq : 在q q dq 中找到电子的慨率；, Why？dj : 在j j dj 中找到电子的慨率。和的关系见表2.4.2特点1：一个l值，有（2l1）个函数。特点2：（66）对同一l不同的m值，球谐函数绝对值的平方和为一常数 (球对称)。特点3：和（j，q ）的关系见图2.14：上下，左右对称。rdr（2）径向函数Rn,l 和r的关系r2 dr: 在r r+dr 中找到电子的慨率；= (将在Chapt 4中使用)i)电子状态的标记用s,p,d,f,g,分别标志 l = 0,1,2,3,4,的电子。n ,l (n个l值)Rn,l ( l个值)标志 (nl)1,0R1，01s(1s电子)0R2，02s(2s电子)2,1R2，12p (2p电子)0R3，03s (3s电子)3，1R3，13p(3p电子)2R3，23d(3d电子)ii)慨率密度r2 和r的关系（P35，图2.13） n = 1n = 2 n = 3l = 0 l = 0, 1l = 0, 1, 2(1s电子) (2s电子)(3s电子)r2ra1(3p电子)(2p电子)4a19a1(3d电子)特点：1，慨率密度的峰值数 ( n-l )；当l l max = n 1时，峰值位置同玻尔理论， an = n2a1； 2,峰值附近，慨率密度0 。玻尔的“轨道”概念是非常粗糙的。（电子云！） 2.4.3宇称宇称：对波函数 y（r）做坐标反演，即：r r ；如果： y（r）y（r），则称y（r）有宇称；其中，如果，y（r）y（r），称为偶宇称；y（r）y（r），称为奇宇称。例如，y（x）=, y（-x）=;y（x）没有宇称。y（x）=，y（-x）y（x）；y（x）有偶宇称。（1）氢原子的宇称对氢原子，y（r）yn, l, m (r, q , j)R n, l（r）Yl, m（q, j）r -rzqr-rpqyjp j ；r r；q p jrjyxp+j- rr -r (r, q , j) (r, pq , p j)R n, l（r）不变（r仅为长度）；Yl, m（pq ,p j）Yl, m（q, j）(可证)对氢原子，y（-r） yn, l, m (r, pq , p j) =y（r）l的奇偶性决定了波函数的宇称。（2）电偶极跃迁及选择定则电偶极子：A（自发发射系数） P2,1 ( 跃迁概率) 因为： - 变换，不影响积分结果， ， 如果，宇称相同，0 P2,1 ( 跃迁概率) 0结论：偶极跃迁只能发生在不同宇称的量子态之间，即：奇宇称 偶宇称量子力学理论将证明：偶极跃迁对l的选择定则：D l 1（67）偶极跃迁对m的选择定则：D m 1, 0（68）
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