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中考数学创新题-折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题,学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一.折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则CBD的度数为(A.600B.750C.900D.950 【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D、C的位置,若EFB =65,则AED等于(A.50B.55C.60D.65【3】用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2所示的正五边形ABCDE,其中BAC=度.图(1 第3题图 A图(2【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD 边落在AB 边上,折痕为AE ,再将AED 以DE 为折痕向右折叠,AE 与BC 交于点F ,则CEF 的面积为( A .4B .6C .8D .10 【5】如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4,点E 、F 分别是AB 、BC 的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是A .2B .4C .8D .10 【6】如图a ,ABCD 是一矩形纸片,AB =6cm ,AD =8cm ,E 是AD 上一点,且AE =6cm 。操作:(1将AB 向AE 折过去,使AB 与AE 重合,得折痕AF ,如图b ;(2将AFB 以BF 为折痕向右折过去,得图c 。则GFC 的面积是( A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2 E A A AB B BC C C GD D D F F F 图a 图b 图c 第6题图【7】如图,已知边长为5的等边三角形ABC 纸片,点E 在AC 边上,点F 在AB 边上,沿着EF 折叠,使点A 落在BC 边上的点D 的位置,且ED BC ,则CE 的长是( (A15 (B 10-(C5 (D 20-四.折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折(如图,然后沿着图中的虚线剪下,得到、两部分,将展开后得到的平面图形是( A .矩形B .三角形C .梯形D .菱形【9】在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是( A. B. C. D.【10】小强拿了张正方形的纸如图(1,沿虚线对折一次如图(2,再对折一次得图(3,然后用剪刀沿图(3中的虚线(虚线与底边平行剪去一个角,再打开后的形状应是( 第7题图第8题图第9题图第10题图【11】如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN (图甲,再把B 点叠在折痕MN 上的B 处。得到Rt AB E (图乙,再延长EB 交AD 于F ,所得到的EAF 是( A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【12】将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( 【13】如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是( 【14】 如图,已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边,AD BC ,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是( A. 1B. 2C. 3D. 4A B CD 图3图1 第12题图五.折叠后得结论【15】亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_.” 【16】如图,把ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则A 与+12 之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( A. =+A 12B. 212=+AC. 3212=+AD. 21(23+=A【17】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1,然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2,上述操作所能验证的等式是(A.a 2 b 2 =(a +b(a -b B .(a b2 = a 2 2ab+ b 2 C .(a + b2 = a 2 +2ab+ b 2D .a 2 + ab = a (a +b【18】如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB =a cm ,宽BC =b cm ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比,则a b 等于( .A .1:2B .2:1C .1:3D .3:1 第15题图 (1第17题图 (2六.折叠和剪切的应用【19】将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E ,交BC 于F ,边AB 折叠后与BC 边交于点G (如图.(1如果M 为CD 边的中点,求证:DE DM EM=345;(2如果M 为CD 边上的任意一点,设AB=2a ,问CMG 的周长是否与点M 的位置有关?若有关,请把CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示;若无关,请说明理由.【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?A B C D E FM G第19题图【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt BCE 就是拼成的一个图形. (1用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2若利用这两部分纸片拼成的Rt BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程011(2=+-m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.【22】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片,叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU 蕊片,需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm 。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由。(不计切割损耗 EBAC B A M CD M 图3 图4 图1 图2 第21题图【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一,张丰同学沿矩形的对角线AC折出CAE=DAC,ACF=ACB的方法得到菱形AECF(见方案二,请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大? (方案一A DEFB C(方案二第23题图【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下: 第24题图(1仿上面图示的方法,及韦达下列问题:操作设计:(1如图(2,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 第24题图(2第24题图(3(2如图(3对于任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个原三角形等面积的矩形。【25】如图,O 表示一圆形纸板,根据要求,需通过多次剪裁,把它剪成若干个扇形面,操作过程如下:第1次剪裁,将圆形纸板等分为4个扇形;第2次剪裁,将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形;以后按第2次剪裁的作法进行下去.(1请你在O 中,用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹,不写作法.(2请你通过操作和猜想,将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S填入 (3请你推断,能不能按上述操作过程,将原来的圆形纸板剪成33个扇形?为什么? 【26】如图,若把边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分剪掉,得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的95,请说明理由(写出证明及计算过程.第25题图 O参考答案 1. 答案：C 2. 答案：A 3. 答案：36 4. 答案：C 5. 答案：B 6. 答案：B 7. 答案：D 8. 答案：D 9. 答案：D 10. 答案：D 11. 答案：B 12. 答案：C 13. 答案：C 14. 答案：D 15. 答案：180 16. 答案：B 17. 答案：A 18. 答案：A 19. 答案： （1）先求出 DE= 1 3 5 AD ， DM = AD ， EM = AD 后证之. 2 8 8 （2）注意到DEMCMG，求出CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上 的位置无关. 20. 答案： 2 1. 21. 答案： （1）如图 A M E A M E B 图3 C B 图4 C 第 21 题答案图 （2）由题可知 ABCDAE，又 BCBEABAE BC2AB， 即 b = 2a 由题意知 a,2a 是方程 x 2 - (m - 1 x + m + 1 = 0 的两根 a + 2a = m - 1 a 2a = m + 1 2m 2 - 13m - 7 = 0 11 消去 a，得 解得 m=7或m = - 1 2 1 3 1 经检验：由于当 m = - ， a + 2a = - 0 ，知 m = - 不符合题意，舍去. 2 2 2 m = 7 符合题意. S矩形 = ab = m + 1 = 8 答：原矩形纸片的面积为 8cm2. 22.答案：可以切割出 66 个小正方形。 方法一： （1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能 放入直径为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。 AB1 BC10 对角线 AC 1001101 10.05 （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形。 2 2 E A B F H D C G 新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的 长为 9，高为 3，对角线 EG = 9 + 3 = 81+ 9 = 90 10.05 。但是新加入的这 两排小正方形不能是每排 10 个，因为： 2 2 2 2 102 + 32 = 100 + 9 = 109 10.052 2 2 2 （3）同理： 8 + 5 = 64 + 25 = 89 10.05 9 2 + 52 = 81+ 25 = 106 10.052 可以在矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方 形已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7， 那么新加入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。 2 2 2 7 + 7 = 49 + 49 = 98 10.05 82 + 7 2 = 64 + 49 = 113 10.052 （5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层， 每排可以是 4 个但不能是 5 个。 12 2 2 2 4 + 9 = 16 + 81 = 97 10.05 52 + 9 2 = 25 + 81 = 106 10.052 现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。 102928272466（个） 方法二： 学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。 （2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共 10 层。 这样共有：4928262166（个） 23. 答案： （方案一） S菱形 = S矩形 - 4S AEH 1 5 = 12 5 - 4 6 2 2 = 30(cm2 （方案二） 设 BE=x，则 CE=12-x AE = BE2 + AB2 = 25 + x2 由 AECF 是菱形，则 AE =CE 2 2 25 + x2 = (12 - x2 x = ABE 119 24 S菱形 =S矩形 - 2S 1 119 = 12 5 - 2 5 35.21(m 2 24 比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大 24. 答案： （1）方法一： 方法二： 第 24 题答案图（1） 13 第 24 题答案图（2） （2）略。 25. 答案：(1由图知六边形各内角相等. (2 七边形是正七边形. (3猜想：当边数是奇数时(或当边数是 3，5，7，9，时，各内角相等的圆内接 多边形是正多边形. 26. 答案：剪法是：当 AA1=BB1=CC1=DD1= 四边形 A1B1C1D1 为正方形，且 S= 1 2 或 时， 3 3 5 . 9 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1， A=B=C=D=90 . AA1=BB1=CC1=DD1， A1B=B1C=C1D=D1A. D1AA1A1BB1B1CC1C1DD1. D1A1=A1B1=B1C1=C1D1， AD1A1=BA1B1=CB1C1=DC1D1. AA1D+BA1B1=90 ，即D1A1B1=90 . 四边形 A1B1C1D1 为正方形.设 AA1=x， 则 AD1=1x. 正方形 A1B1C1D1 的面积= SAA1D1= 即 5 ， 9 1 9 1 1 x(1x= ， 9 2 整理得 9x29x+2=0. 1 2 ，x2= . 3 3 1 2 当 AA1= 时，AD1= ， 3 3 2 1 当 AA1= 时，AD1= . 3 3 解得 x1= 当 AA1=BB1=CC1=DD1= 1 2 或 时， 3 3 5 . 9 四边形 A1B1C1D1 仍为正方形且面积是原面积的 14
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