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第三章 静定结构的内力计算内容提要1、静定梁（1） 内力。静定梁在任意荷载作用下，其截面上一般有三个内力分量，即轴力、剪力和弯矩。内力符号规定如下：轴力以拉力为正，剪力以绕隔离体内部任一点顺时针转动为正，弯矩以使梁的下边纤维受拉力正。（2） 内力图。内力图是反映结构中各个截面上内力变化规律的图形。其绘制方法可归纳如下： 1）基本法。先用理论力学的基本方法求外力；再用结构力学理论列内力方程；最后用数学方法绘图2）微分关系法。在直梁中荷载集度、剪力弯矩之间有如下关系（荷载集度向上为正）： 以外力不连续点为分段点，如集中力及力偶作用点、分布荷载的两个端点等。 用截面法求得各分段点截面上的内力值，再由上述微分关系式可描绘出内力图的形状。3）区段叠加法。当梁段上作用有几个荷载时，则可用叠加原理绘制梁段的内力图。先求出杆段始端、末端的弯矩竖标，连一虚直线，然后以该连线为基线，叠加相应简支梁在区段荷载作用下的弯矩图。 （3）多跨静定梁是主从结构，由附属部分和基本部分组成。其受力特点是：外力作用在基本部分时，附属部分不受力；外力作用在附属部分时，附属部分和基本部分都受力。其计算方法是：先算附属部分，将附属部分上的反方向加在基本部分上，再算基本部分。所以多跨静定梁可以拆成若干个单跨梁分别进行内力计算，然后将各单跨梁的内力图连在一起即可得多跨静定梁的内力图。上述多跨静定梁的计算方法，同样适用于其他型式的主从结构。2静定刚架 静定刚架的内力计算方法，原则上与静定梁相同。通常先由理论力学的基本方法求出支座反力，然后按静定梁计算内力的方法杆绘制内力图。在绘制刚架的弯矩图时，不定义弯矩的正负号，只将弯矩图绘在杆件的受拉侧，剪力、轴力的正负号规定与静定梁相同。3三铰拱 （1）水平推力。在竖向荷载作用下，三铰拱将产生水平推力，由于水平推力的存在，拱中各截面上的弯矩、剪力较具有相同跨度的相应简支梁对应截面上的弯矩、剪力要小得多，即拱中主要承受轴向压力。三铰拱的竖向反力与相应简支梁相同，它的水平推力为 （3-1）（2）内力。三铰拱中截面上的弯矩、剪力和轴力与相应简支梁对应截面上的弯矩、剪力和轴力存在以下关系： （3-2）式中：、-三铰拱中某截面上的三个内力分量。弯矩以以使拱内侧纤维受拉为正，剪力以使隔离体顺时针转动为正，轴力使拱截面受拉为正。 、-同跨度、同荷载简支梁中对应截面上的弯矩、剪力和轴力。 -三铰拱中某截面距离通过支座的水平轴线的高度。 -三铰拱中某截面的切线与水平轴的夹角。（3） 合理拱轴。当拱在荷载作用下，各截面上没有弯矩及剪力，只有轴力时，该拱轴就称为在该荷载作用下的合理拱轴。在竖向荷截作用下，三铰拱的合理拱轴方程为 （3-3）4静定平面桁架 桁架中的各杆只受轴力，计算时均设为拉力。求解桁架内力的基本公式是平面汇交力系、平面一般力系的平衡方程。求解内力的方法是：结点法、截面法、联合法。 结点法是取桁架结点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件=0求杆件的轴力；截面法是截取桁架一部分为隔离体，由平面一般力系的平衡条件 、，求杆件的轴力；联合应用结点法和截面法求桁架的轴力，称为联合法，适用于联合桁架和复杂的内力计算。5组合结构 组合结构是由只受轴力的链杆和承受弯矩、剪力和轴力的梁式杆所组成。链杆是两端铰接而且中间无荷载作用的直杆；梁式杆是承受横向荷载的直杆，或虽为两端铰接的直杆，但其上还有不完全铰结点（即组合结点）的杆件。分折组合结构的内力时，要正确区分这两类杆件，分别计算其内力。题 解 题161题1610 静定梁题3-1 图（a）为一简支梁，梁上段作用有均布荷载kN/m，B点作用集中力kN,点作用有集中力偶kN.m。试绘制内力图，并求出该梁的最大弯矩值。解：（1）计算支座反力。取整个梁为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 kN ， kN (2)绘剪力图。剪力图在荷载区段是一条水平线段，在均布荷载区段为一条斜直线。计算各分段点处的剪力值如下： kN，kN kN，kN kN m=kNkN kN绘出剪力图如图（）所示。 （3）绘弯矩图。弯矩图在无荷载区段为一直线，在均布荷载区段为抛物线。各分段点处的弯矩值计算如下： ，m=17kN.m kN.m，mm=26kN.m kN.m，mkN.m kN.m，m+kN.m mkN.m， 绘出弯矩图，如图（）所示。其中段用区段叠加法绘制。 （4）求最大弯矩。为了求出最大弯矩，首先要确定发生最大弯矩的截面位置。由微分关系处，M有极值。在图（）中，取剪力为零的截面的左边部分为隔离体，其受力图如图（）报示。设得 当时，有 m 由图（）可得 kN.m题3-2图（）为一伸臂梁，梁上段作用有均布荷载kN/m,D点作用有集中力偶kN.m点作用有集中力kN，试绘制其内力图。题3-2图解：（1）求支座反力。取整个梁为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 kN，kN （2）绘剪力图。计算各分段点处的剪力值如下： ，kNkN kN=5kN，kNkN kN kN 绘出剪力图如图（）所示 （3）绘弯矩图。计算各分段点处的弯矩值如下： ，kNkN.m kN.m，kN.m=5kN.m kN.m=8kN.m kN.m=2kN.m kN.m，kN.mkN.m， 绘出弯矩图如图（c）所示。题3-3试绘制图示外伸梁的内力图。题3-3图解：（1）求支座反力。取整个梁为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 0kN kN （2）绘剪力图。计算各分段点处的剪力值如下： kN，kNkN kNkN kN 绘出剪力图如图（）所示。 （3）绘弯矩图。计算各分段点处的弯矩值如下： ，mkN.m，kN.m=0 ，mkN.mkN.m mkN.m=0，kN.mkN.m kN.m， 绘出弯矩图如图（c）所示。题3-4图所示两根斜梁，试简要说明它们的是否相同。题3-4图解：将图中支座A处的反力分解为沿杆轴方向与竖向的两个分力；同时将图（）中支座反力也分解为沿杆轴方向与竖向的两个分力。分别取两根斜梁为隔离体由平衡方程可得 同理，由， 另外，由可得 由于对图（）所示斜梁的弯矩、剪力并无影响，对其轴力有影响。由此可知：两根斜梁的相同，而则不相同。题3-5图（）所示为一斜梁，作用有水平均布荷载kN.m，试绘制其内力图。题3-5图解：（1）求支座反力。取整个梁为隔离体，由平衡方程， 求得支座反力为kN kN kN (2)求内力方程，为便于计算，以B为坐标原点，以BA为轴。取任意截面K的上侧为隔离体，由平衡方程可得 （3）绘内力图。由上述各内力方程绘制弯矩图、剪力图和轴力图，分别如图 所示。题3-6试绘制图所示斜梁的内力图。题3-6图解：（1）求支座反力。取整个梁为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 kN kN (2)绘弯矩图。计算各分段点处的弯矩值如下： ，mkN.mkN.m 根据以上各分段点的弯矩值绘出弯矩图，如图（）所示。 （3）绘剪力图和轴力图。对于水平杆两截面上的剪力值和轴力值计算如下： kN kNkN 对于斜杆部分，取任意截面K的左侧为隔离体，由平衡方程可得剪力方程和轴力方程为 绘出剪力图与轴力图分别如图所示。题3-7图为一两跨静定梁，试绘制其内力图。 题3-7图解：（1）绘层次图。其中AB为基本部分，BD及DF为附属部分，其层次图如图（所示。 （2）求支座反力。由层次图可以看出，整个结构由三个层次构成，计算时应该从层次的最上层开始，依次求出支座反力，并把支座反力反向作用于下一层上，作为该梁的外荷载，连同该梁原有荷载一起求解。先取DF为隔离体，由平衡方程得支座反力为 将的反作用力加在BD段的D处，取BD为隔离体，由平衡方程得支座反力为 再将的反作用力加在基本部分AB段的B处，取AB段为隔离体，由平衡方程得支座反力为 （3）绘内力图。各段梁上分段点处的弯矩值及剪力值计算如下： ， ； 根据以上各分段点处的内力值，绘出内力图分别如图（所示。题3-8试绘制图所示多跨静定梁的内力图。题3-8图解：（1）绘层次图。本题的几何组成关系如图（）所示，梁ABC以固定支座与与基础相连接，是基本部分，CE部分在E端原本是一个铰，有水平约束，可以阻止梁EFG的水平运动。但在竖向荷载作用下，此处水平约束反力为零；将铰E处的水平约束改移到G处，并不改变此结构的受力状态，故层次图如图（）所示。在此层次图中，EFG也是基本部分，CDE支承在ABC和EFG上，是附属部分。 （2）求支座反力。先计算CDE的座反力。铰C上作用的集中力可以认为是加在梁CDE上（也可认为是加在梁ABC上，对多跨梁的支座反力和内力没有影响），由CDE的平衡条件，求得支座反力后，将C和E处的约束力反向作用于梁ABC和EFG上，再计算梁ABC和EFG的支反力。其计算结果示于图（）中。 （3）绘内力图。分别绘出单跨梁的弯矩图与剪力图，连在一起，即得多跨静定梁的弯矩图与剪力图，分别如图所示。题3-9 试计算图（a）所示多跨静定梁，并绘制其内力图。题3-9图解：（1）绘层次图。层次如图（）所示。分析时应先从附属部分部分开始，然后再分析梁，最后再分析梁。 （2）求支座反力。计算结果示于图（c）中。处，除了直接受有向下的集中力80kN外，还受到由梁梁传来的向上的约束反力10，故二者叠加为一个方向向下的力：80kN-10kN=70kN. （3）绘内力图。逐一绘出各单跨梁的内力图，连在一起即为整个多跨梁的内力图，分别如图所示。题3-10如图(a)所示的三跨静定梁，试调整铰的位置，使跨的跨中截面上的正弯矩与支座处的负弯矩的绝对值相等，并将其弯矩图与相应的三跨简支梁的弯矩图进行比较。 题3-10图解：图（a）所示多跨静定梁的部分，在竖向荷载作用下能独立维持平衡，分析时可将其视为为基本部分。部分支承在基本部分ABC和DEF上面，是附属部分，分析时先从部分开始，其受力分析图如图（b）所示。 由梁的平衡条件，可求得其竖向约束反力为。将其反向作用于基本部分上，然后分析基本部分梁部分受力情况与部分相同），可得支座处的弯矩为 (a)跨中截面处的弯矩值，可由叠加法求得（c）. ， 令 故 或 将上式代入式（a）得 解得 铰的位置确定后，即可绘出弯矩图，如图（c）所示。将该弯矩图与相应简支梁弯矩图图（d）比较后，可以看出：在多跨静定梁中，弯矩分布要均匀些且弯矩峰值较小。这是由于多跨静定梁中设置了带伸臂的基本部分，这样，一方面减少了附属部分的跨度，另一方面，在基本部分上，因支座处产生了负弯矩，它将使跨中正弯矩值减小。因此，多跨静定梁较相应的简支梁节省材料，但构造要复杂一些。 题3-11题3-22 静定平面刚架题3-11求图（a）所示静定悬臂刚架的内力，并绘制内力图。题3-11图解：（1）求杆端内力。悬臂刚架的内力计算可以不先求支座反力，一般先从自由端开始，利用截面法逐段截取隔离体计算各杆端内力。 kN kN kN kN.m（上侧受拉） kN kN kN.上侧受拉） kN kN kN.m（左侧拉） kN kN kN.m左拉） （2）绘内力图。各杆端内力值求得后，根据荷载与内力间的微分关系，即可绘出刚架的内力图分别如图(b)(c)(d)所示题3-12试绘制图(a)所示刚架的内力图。题3-12图解：（1）求支座反力。取刚架整体为隔离体，由平衡方程求得支座反力为kN kN kN （2）绘弯矩图。各杆端弯矩证明算如下：，kN.m=4kN.m（左侧受拉），kN.m=28kN.m(下侧受拉)，kN.m=24kN.m（右侧受拉） 绘出刚架的弯矩图如图所示，其中杆属无荷载区段，将杆端弯矩的纵坐标连以直线，即可得杆的弯矩图。杆上有均布荷载作用，将杆两端的杆端弯矩的纵坐标连以虚直线，以此虚线为基线，叠加相应简支梁的弯矩图，即得杆的弯矩图。 （3）绘剪力图。各杆端剪力计算如下： kN，kN kN，kN=4kN绘出刚架的剪力图如图（c）所示。 （4）绘轴力图。各杆端轴力计算如下： ， kN绘出刚架的轴力图如图（d）所示题3-13试用较简捷的方法制图（a）所示刚架的弯矩图题3-13图解：由整体平衡条件部分相当于悬臂刚架。可得 ，kN.m（上侧受拉） kN.m（左侧受拉）在段，由于支座链杆与杆轴线重合，反力杆上不产生弯矩，故有 kN.m 考虑D结点的平衡，由得， kN.m (上侧受拉) 绘出刚架的弯矩图如图（b）所示题3-14试绘制图（a）所示刚架的弯矩图.题3-14图解：（1）求支座反力。求得支座反力为，kN，kN，kN （2）求各杆端弯矩。 kN.m kN.m （右侧受拉） kN.m kN.m kN.m（下侧受拉） kN.m kN.m kN.m (下侧受拉) kN.m kN.m（左侧受拉） kN.m kN.m kN.mkN.m（下侧受拉） mkN.m（上侧受拉） kN.m（上侧受拉） kN.m kN.m（上侧受拉） kN.m（左侧受拉）（3）绘弯矩图。绘出刚架的弯矩图如图（）所示。其中段为抛物线，按区段叠加法绘制。题3-15试绘制图（a）所示刚架的内力图题3-15图解：（1）求支座反力。取刚架整体为隔离体，由平衡方程求得 ， 再取铰C右边部分为隔离体，由得， ，（2）绘弯矩图。各杆端弯矩计算如下（可先假设弯矩方 使刚架内侧受拉为正）： mm（左侧受拉） m（上侧受拉） mm（右侧受拉） m（上侧受拉）绘出刚架的弯矩图如图（）所示。其中段的弯矩图按区段叠加法绘制。 （3）绘剪力图。两杆的杆端剪力值显然就等于两支座的水平反力，即 两杆是斜杆，如按通常方法由截面一边的荷载和反力来求其剪力，则投影关系较复杂。此时，可采用另一方法求剪力，即根据已给绘出的弯矩图来绘制剪力图。现以杆为例，取该杆为隔离体图（c），因杆端弯矩已求得，故利用力矩平衡条件可求得杆端剪力为 kN 因均布荷载区段剪力图为一直线，故将上述两纵标连以直线即可。同理，可绘出 杆的剪力图。刚架的剪力图如图（）所示 （4）绘轴力图。两杆的轴力值右直接由两支座的竖向反力求得 两斜杆的轴力可直接由外力求得，也可根据已绘出的剪力图由结点的平衡条件求得。例如求端轴力时，取结点D为隔离体图（e），右得 其他各杆端轴力可由类似方法求得，最后得刚架的轴力图如图（f）所示题3-16试绘制图（a）所示刚架的弯矩图。题3-16图解：从定向支座C处截开，分别取左、右两部分为隔离体图（b），列平衡方程 左半部分 右半部分 联立求解上两个方程，得 （下侧受拉） 再由截面法求得两处的弯矩为 绘声绘色出刚架的弯矩图如图（c）所示题3-17试绘制图（）所示刚架的内力图题3-17图解：（1）求支座反力。取杆为隔离体，由平衡方程得 再取右半部分为隔离体，由平衡方程得 最后取刚架整体为隔离体，由平衡方程得 将的值代入上两式，得 （2）求各杆端内力。各杆端的内力计算如下： mm（下侧受拉） m（下侧受拉） mm m（上侧受拉） m（右侧受拉） （3） 绘内力图。各杆内力求得后，绘制弯矩图、剪力图、轴力图，分别如图（b）,(c),(d)所示。题3-18试绘制图（a）所示刚架的内力图解：（1）求支座反力。该刚架的几何组成较复杂，首先ABCD与与基础组成几何不变体系，是该结构的基本部分；DFE通过较D和竖向支杆E与基本部分相连，为附属部分。分析时，应先从附属部分着手，然后分析基本部分。先取附属部分DFE为隔离体图（b），由平衡方程求得 再取基本部分ABCD为隔离体图（c），分析时应尽可能先判明哪些是为零的未知力，以简化计算量。例如CD杆上无荷载，且两端为铰接，由平衡方程 可知，杆CD两端剪力都为零，只有沿杆轴方向的轴力，如图（d）所示，因此CD杆的C支座处只有竖向反力，而水平反力。利用隔离体ABDC的平衡条件可求得 （2）绘弯矩图。各杆端弯矩计算如下 m m（左侧受拉） m（上侧受拉） mm(右侧受拉) m(上侧受拉) 绘出刚架的弯矩图如图(e)报示 (3)绘剪力图.各杆端剪力计算如下: 绘出刚架的剪力图如图(f)所示 (4)绘轴力图.各杆端轴力计算如下: 绘出刚架的轴力图如图(g)所示题3-19试绘制图(a)所示结构的弯矩图.解：(1)求支座反力.刚架BCEF与基础相连,组成基本部分;ADE部分通过铰E和水平支杆A与基本部分相连,为群众运动属部分.分析时,先从附属部分ADE开始,然后分析基本部分BCEFG.取附属部分ADE为隔离体图(b),由平衡方程求得 再取基本部分为隔离体图c,由平衡方程求得 (2)绘弯矩图.分别对附属部分ADE和基本部分CBEFG的每一杆计算杆端弯矩值如下: mm(右侧受拉) mm(下侧受拉) mm(上侧受拉) mm(上侧受拉) mm(下侧受拉) mm(左侧受拉) 绘出刚架的弯矩图如图（d）所示题3-20试绘制图（a）所示结构的弯矩图解：由几何组成分析可知，为为基本部分，为附属部分。本题为对称结构受反对称荷载作用，可利用结构的对称性进行分析。从铰C处切开，由于荷载反对称，则内力亦为反对称，所以，切切口C处的正对称内力只有竖向的反对称内力存在。利用对称性，只须计算半结构图（b）。取为隔离体，由平方程求得 由此求得杆端弯矩为 （下侧受拉）题3-20图 再取为隔离体，由平衡方程求得 由此求得杆端弯矩为 （内侧受拉） （右侧受拉） (下侧受拉) 根据所求得杆端弯矩,即可绘出左半结构的弯矩图.利用对称性绘出整个结构的弯矩图如图(c)所示题3-21试用最简捷的方法制图(a)所示刚架的弯矩图.题3-21图解：为基本部分,为附属部分.先考虑附属部分.杆的弯矩图形状与悬臂梁相同,即为一斜直线.支座F处的反力与杆轴重合,不会在杆上引起弯矩,因此EF杆的弯矩是由与杆轴平行的力F引起的常数值,弯矩图形为一竖三线(外侧受拉).杆CE上无荷载作用,弯矩图为一斜直线,结点E处有铰D处有,由此可作出斜直线,按比例关系可知 (内侧受拉).CB杆轴线是竖直的,支座B处的反力 与杆轴平行,因而知BC杆的弯矩图也是一条竖直线, (内侧受拉).最后,由B结点的力矩平衡可知:(下侧受拉),因杆的弯矩图为一斜直线.由上述分析可得整个刚架弯矩图,如图(b)所示.题3-22试用较简捷的方法绘制图(a)所示刚架的弯矩图.题3-22图解： 是基本部分,是附属部分.先考虑附属部分部分有三个约束力,即支座A处的反力年的水平和竖向约束力.由于ABC部分没有外荷载作用,所以这三个约束力都为零,也就是说,附属部分ABC不受力,也无内力产生.并且,基本部分的CD段弯矩为零.DE段弯矩图为一斜直线,m(上侧受拉).杆EF的弯矩图为一竖直线.由上分析绘出刚架的弯矩图如图(b)所示 题16.23题16.27 三铰拱题3-23图示圆弧三铰拱,受均布荷载作用,求其水平推力与半径的关系.题3-23图解：与此三铰拱同跨度并承受相同均布荷载的简支梁,其跨中最大弯矩为 若以表示跨度,以表示拱高,则有 因此,水平推力与半径R的关系为 题3-24求图()所示三铰拱截面M和N上的内力.已知拱轴方程为.题3-24图解：(1)相应简支梁有关数据计算.三铰拱的相应简支梁舅图()所示,其支座反力为 截面C上的弯矩为 (2)计算三铰拱的支座反力.三铰拱的支座反力为 (3)计算截面M上的内力.相关数据为 m m 内力计算如下： （4）计算截面N上的内力。相关数据为 m m 内力计算如下： 题3-25试计算图（a）所示三铰拱中的最大、最小弯矩值，并与相应简支梁图（b）中的最大弯矩比较。已知拱轴方程为题3-25图解：（1）计算支座反力。取整个三铰拱为隔离体，由平衡方程求得 再取右半撒为隔离体，由平衡方程得 （2）计算撒中最大、最小弯矩值。当时，图（b）所示相应简支梁中弯矩为 拱中的弯矩为 由，得 弯矩的极值为 （内侧受拉） 当时，图（）所示相应简支梁中的弯矩为 拱中的豪强矩为 由得 弯矩的极值为 （外侧受拉）因此最大、最小弯矩为 （当时？） （当时）（3）相应简支梁中的最大弯矩与拱中最大弯矩的比较。相应简支梁的最大弯矩计算如下： 当时，梁中的弯矩为 由得 该截面上的弯矩为 当为斜直线，值为最大值。该截面也是均布荷载的右端点，其弯矩值一定比截面上的小，故知梁中最大弯矩值为 而且，在相应简支梁中不可能产生负弯矩。因此，拱的最大弯矩与相应简支梁最大弯矩之比为 可见拱的最大弯矩为相应简支梁最大弯矩的题3-26设在图示三铰拱的上面填土，填土表面为一水平面，求在填土重力作用下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为，拱所受的竖向分布荷罢工为。题3-26图解若为合理拱轴，则即 将式（a）对微分两次得 用表示沿水平线单位长度的荷载值，则所以 式中轴向为正。在本题中轴以向下为正，故上式右边应取正号，即 上式为在竖向荷载作用下拱的合理轴线的微分方程。将代入式得 该微分方程的解为双曲线函数，其表达式为 由边界条件 在处 在处 可得积分常数为 故合理拱轴的方程为 上式表明：在填土重力作用下三铰拱的合理轴线是一悬链线。题3-27证明图（a）、（b）中，不论铰C在结构轴线上任何位置，图示结构均为合 轴线。解：合理拱轴是在拱轴各截面上既无弯矩，也无剪力，而只有轴力。题3-27图 （1）当铰C在顶点时，如图（a）所示。由于荷载F作用于C点，从图中可以看出，杆件AC及BC均为二力杆，即AC、BC两杆只承受轴力，而无弯矩和剪力。因此图（a）所示结构为合理拱轴。 （2）当铰C在AC或BC杆轴线上任一点时，如图（b）所示。外力仍然作用在结构的顶点。取整体为隔离体图（c）由平衡方程求得 取CB杆为隔离体图（d），由平衡方程求得 考察AD、DC及三杆，分析其内力情况： AD杆：因支座反力故杆的任一截面上的弯矩及剪力都为零。 BC杆：BC杆为二力杆，只有轴力。因支座反力故杆的任一截面上的弯矩及剪力为零。 CD杆：由于BC为二力杆，BC杆对CD杆的作用力通过CD杆的轴线，所以CD杆同样不存在弯矩和剪力，因此图（）所示结构也为合理拱轴。 题3-28题3-38 静定平面桁架题3-28试计算图（）所示桁架各杆的轴力。题3-28图解：（1）求支座反力。取桁架整体为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 （2）计算各杆内力。反力求出后，可截取结点解算各杆内力。从只包含两个未知力的结点A开始，然后依人分析其邻近结点。 1）取结点A为隔离体图（c），未知力假设为拉力，并将斜杆轴力用其分力代替。由平衡方程得 利用比例关系得 （拉力）再由平衡方程，得 （压力）2）取结点C为隔离体图（d），由平衡方程得 （压力） （压力）3）取结点D为隔离体图（e），怀平衡方程得 （压力） 再由平衡方程得 （拉力）4）利用对称性得到其余杆的轴力。各杆的轴力示于图（b）中。题3-29试用截面法求图（a）所示桁架杆的内力。解：作截面II如图（a）所示，它虽然截断了五根杆件，但除杆外，其余四杆均交于A点，故可利用求出。隔离体如图（b）所示，为避免计算力臂，将移至B点并分解为水平、竖向 向两分力。由平衡方程得 利用比例关系得 （压力）题3-29图题3-30求图（a）所示桁架中杆件的内力。题3-30图解：（1）求支座反力。取桁架整体为隔离体，由平衡方程得支座反力为 （2）计算杆的内力。先求杆的内力。为此截面II并截取左边部分为隔离体图（b），以点4为矩心，由力矩平衡方程得 利用比例关系得 （压力） 以13杆与24杆的交点为矩心。由几何关系。可得m。由力矩平衡方程得 利用比例关系得 （拉力）再求杆C的内力。作截面II-II并截取左边部分为隔离体图（c），由平衡方程得 利用比例关系得 （压力）题3-31求图（a）所示桁架中杆件的内力解：该桁架是由两刚片ADE和BDE用三根链杆AC、BD、EF相联组成的联合桁架。分析时，先从联系处着手，将三根链杆AC、BD、EF截断，得图（b）所示的隔离体。由平衡方程得 题3-31图再由结点F的平衡条件可得 题3-32 试用结点法求图（a）所示桁架各杆内力。题3-32图解：（1）判断零杆。因只有竖向荷载。支座A的水平反力为零。由结点A和结点B可以判断AD杆和BD杆为零杆。 （2）计算各杆内力。取结点D为隔离体图（b），列平衡方程 式中。解得 （压力） 取结点E为隔离体图（c），列平衡方程 式中。解得 （拉力） （压力） 取结点F为隔离体图（d），列平衡方程 解得 （拉力） （压力）题3-33求图（a）所示桁架中各杆的内力解：该桁架的组成比较复杂，无论怎样选取截面都截断三根以上杆件。因此，不宜直接用截面法求解。但如利用结点G、E、F、H在一条直线上这一特点，截取结点E和F分别求出杆和杆的内力，再用截面法就简单了。 （1）求杆和杆的内力，考虑结点C和D的平衡可分别求出杆CE和杆DF的内力均为F。 取结点E为隔离体图（b），垂直于EF杆建坐标轴。列平衡方程 式中： 解得 （压力） 取结点F为隔离体图（c），列平衡方程 解得 （拉力）（2）求杆、杆、杆的内力由于桁架的荷载对称，所以支座反力。作截面II，并截取左边部分为隔离体图（d），列平衡方程 得 （拉力） 得 （压力） 得 题3-34求图（a）所示桁架中杆的内力。题3-34图解：此桁架的支座链杆有四根，仅考虑整体平衡不能求出所有支反力。对桁架进行几何组成分析知，FCB及地基组成一刚片，ADE是另一刚片。两刚片由链杆EF、DC和支座链杆A联结而成。因此，作截面截断此三根链杆便可将结构分成两部分，从而可用平衡方程求出支座反力和杆EF、DC的内力。 用截面截断杆EF、DC和支座链杆A，取AED部分为隔离体图（b），由平衡方程得题3-35图（a）所示桁架，结点C和H上的荷载大小相等，方向相反，并作用在同一直线上，求桁架中杆的内力 题3-35图解：此桁架除支座结点外，其他各结点联结的杆件均为三根以上，用结点法求解是困难的。对桁架进行几何组成分析可发现，桁架是由刚片AGHF和刚片BECD通过链杆CG、HE和FD联结而成。用一截面将三根链杆截断便可将桁架分成成两部分，考虑其中一部分的平衡便可求出链杆内力。进行而可计算其余各杆的内力。由于作用在桁架上和荷载是一组平衡力系，故支座反力均为零。用截面截断链杆CG、HE和FD，把桁架分成部分，取右边部分为隔离体图（b），列平衡方程 得 （压力）题3-36求图（a）所示桁架中各杆的内力。题3-36图解：（1）求支座反力。取桁架整体为隔离体，由平衡方程求得支座反力为 （2）计算各杆的内力。作截面II并截取左边部分为隔离体图（b），考虑到45、16、27三杆相互平行，故取与它们垂直的轴为投影轴，由平衡方程得 依次取各结点为隔离体，由 衡方程可求得 题3-37计算图（a）所示桁架中三杆的内力题3-37图解：图示桁架是一主从结构，其中1-4-5-2是基本部分，6-3-7是附属部分。作截面I-I并截取右边部分为隔离体图（b），由平衡方程得 取桁架整体为隔离体，由平衡方程得支座反力为 依次取结点5、2为隔离体，由平衡方程可得 题3-38求图（a）所示桁架中三杆的内力。已知桁架各段的上下弦杆相互平行。 解：（1）求支座反力。作截面II并截取右边部分为隔离体，由平衡方程得 取桁架整体为隔离体，由平衡方程可求得 （2）计算三杆的内力。作截面II-II并截取右边部分为隔离体图（b），列平衡方程 式中：。解得 式中：。解得 题3。39题3。42 静定组合结构题3-39试绘制图（a）所示下撑式五角形组合屋架的内力图。题3-39图解：（1）求支座反力，由对称隆可求得支座反力为 （2）计算链杆的内力。作II截面截断铰C和链杆DE，取左边部分为隔离体图（b），由平衡方程 得 再由结点D和E的平衡条件求得各杆轴力，示于图（c）中。 （3）计算梁式杆的内力。取梁式杆AFC为隔离体图（d）各分段点的内力计算如下： m（上侧受拉） （4）绘梁式杆的内力图，梁式杆的内力图分别如图(e)(f)(g)所示。题3-40试分析图（a）所示组合结构，绘制梁式杆的弯矩图。题3-40图解：该结构及荷载都是对称的，故其反力与内力好应对称，只须计算AC部分即可。在AC部分中，ADF为梁式杆，其余各杆均为链杆。 （1）求支座反力。取整体为隔离体，由平衡方程得 作截面II并截取左边部分为隔离体图（b），由平衡方程得 （2）计算链杆的内力。在图（b），所示隔离体中，由平衡方程得 依次取点E、G为隔离体，由平衡方程得 各链杆的轴力示于图（c），中。 （3）绘梁式杆的弯矩图。梁式杆ADF的D截面上的弯矩为 m m 绘出SDF杆的弯矩图如图（c）所示。题3-41计算图（a）所示组合结构各杆的内力，并绘制梁式杆的内力图。解：（1）求支座反力。取整体为隔离体，由平衡方程得支座反力为 （2）计算链杆的内力。在铰D和铰C处把结构截开，取左边部分为隔离体图（b），由平衡方程得 依次取结点D、E为隔离体，由平衡方程得 题3-41图 （3）计算梁式杆的内力。取杆AFC为隔离体图（c），各分段点处的内力计算如下： （下侧受拉） 再取杆BGC为隔离体图（d），各分段点处的内力计算如下： mmm（上侧受拉）。 （4）绘梁式杆的内力图。绘出梁式杆AFC和BGC的弯矩图、剪力图和链杆的轴力图分别如图（f）、（e）、（g）所示 题3-42求图（a）所示组合结构各杆的轴力并绘制梁式杆的弯矩图。题3-42图解：由于结构对称，荷载亦对称，则内力必然也对称。为简化计算，在铰C处把结构截成成两部分，取左边部分为隔离体图（b），因剪力为反对称内力，故知铰C的剪力为零。列平衡方程 得 得 取D点为隔离体图（c），列平衡方程 得 得 由于A、B、C处弯矩均为0，于是可直接绘出AC杆和BC杆的弯矩图，如图（e）所示。69
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