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苏州市2016届上学期高三期末调研试卷2016.1.15 数学I（试题） 注意事项： 1.本试卷共4页满分160分，考试时间120分钟 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效 3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在.答.题.卡.相.应.位.置.上 1.已知全集 = | 2, N，集合 = |2 5, N，则 =（用列 举法表示） 答案：2 建议解法：由补集的定义，得 2, 2 5, （ N），所以 = 2 2.已知复数 = i1+2i（ 0，所以 = 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14分 16.（本小题满分14分） 如图，在直四棱柱1111中，,分别是,的中点， 11与11相交于点 (1)求证：1, 1,四点共面； (2)若底面是菱形，且 1，求证： 平面11 1 1 11 证明： (1)连结因为,分别是,的中点，所以 在直四棱柱1111中，11是矩形，所以 11 所以 11 所以, 11共面，得1, 1,四点共面 (2)若底面是菱形，则底面1111也是菱形，得11 1 在直四棱柱1111中，由1 底面1111，得1 11 因为1 1 = 1，1, 1 平面1，所以11 平面1 因为 平面1，所以 11 又因为 1，1 11 = 1，1, 11 平面11， 所以 平面11 高三数学I第4页（共8页） 17.（本小题满分14分） 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中为半圆弧的中点，渠宽 为2米 (1)当渠中水深为0.4米时，求水面的宽度； (2)若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改 挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？ 解： (1)如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，以 1米为单位长度，建立平面直角坐标系 半圆弧的方程为2 +2 = 1（ 0），. . . . . . . . 3分 (1,0)，(1,0)，(0,1)，(0,0.6) 直线 = 0.6与半圆弧的交点为(0.8,0.6). . . . . . 5分 答：所求的水面宽度为1.6米. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分 (2)首先，要使得所挖出的土量最少，则等腰梯形的两腰及下底与半圆弧相切. . . 7分 设等腰梯形的右腰与半圆弧相切于点(0, 0)，其中0 0 1，1 0 0 则右腰所在的直线方程为0+0 = 1，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 令 = 0，得 = 1 0 ；令 = 1，得 = 1+0 0 由对称性可知，等腰梯形的面积 = 2+0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分 变形，得2 = 0 0 = (,1)( 0, 0) 2 +120 +20 = 2 +1， 所以 3，当且仅当(0, 0) = (32 , 12)时取等号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分 此时，水渠底宽为2(1+0) 0 = 233（米） 答：当改挖后的水渠底宽为233米时，所挖出的土量最少. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14分 高三数学I第5页（共8页） 18.（本小题满分16分） 如图，已知椭圆： 2 4 + 2 = 1的右焦点为，点,分别是椭圆 的上、下顶点，点是直线： = 2上的一个动点（与轴的交 点除外），直线交椭圆于另一个点 (1)当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积； (2)记直线,的斜率分别为1, 2，求证：1 2为定值； 求# # 的取值范围 解： (1) (0,1)，(0,1)，焦点(3,0) 当直线经过椭圆的右焦点时， = = 3. . . . 2分 此时，直线的方程为 3 + 1 = 1 由 3 + 1 = 1, 2 4 + 2 = 1, 解得 = 8 73所以 = 3 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5分 (2)设(0, 0)，(,2)（ 0） 由 2 0 4 + 2 0 = 1，得 0 1 0 0 +1 0 = 1 4，即1 = 1 4 而1 = = 3， = = 1，即1 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 所以1 2 = 34为定值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分 首先# # = (,3)( 0 , 0 +2) 由,共线，得 = 0 0 +1 ，从而0 = 0(0 +2) 0 +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分 所以# # = 2 0(0 +2) (0 +1)2 +3(0 +2) = (0 +2) 4420 (0 +1)2 +3 = (0 +2)(70) 0 +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14分 由 0，知0 (1,1)，令0 +1 = ，则 (0,2) 所以# # = (+1)(8) = 8 +7在 (0,2)上单调递减 所以# # 的取值范围是(9,+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16分 说明：实际上，由# # 的定义，其取值范围为(9,+)是明显的 高三数学I第6页（共8页） 19.（本小题满分16分） 已知数列满足：1 = 12，+1 = 31 ， N，常数, R (1)若 = 0，且数列为等比数列，求的值； (2)若 = 1，且4是数列的最小项，求的取值范围 解： (1)若 = 0，则+1 = 31 设等比数列的公比为 若 = 1，则 = 0；. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2分 若 1，则 0，所以 = +2 +1 +1 = 3 31 = 3 此时+1 = 1(1)1 = 31，所以 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5分 综上所述， = 0或 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分 (2)若 = 1，则+1 = 31 ， N， 因为4是数列的最小项，首先有3 4且4 5，得3 274. . . . . . . . . 8分 此时，2 1 = 1 2 3 4，且4 5 6 7 ，满足题意 因此的取值范围是3, 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16分 高三数学I第7页（共8页） 20.（本小题满分16分） 已知函数() = e(21)+，常数 R，e是自然对数的底数 (1)当 = 1时，求函数()的单调区间； (2)若存在实数，满足() 0，求实数的取值范围； 若有且只有唯一整数0，满足(0) 0，求实数的取值范围 解： (1)当 = 1时，函数() = e(21)+1，定义域为R () = e(2+1)1，() = e(2+3) 易得()在(, 32上递减，在32,+)上递增 又当 12时，() 1 0；(0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2分 所以当 0 综上所述，函数()的递减区间是(,0，递增区间是0,+). . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 (2)若存在实数，满足() e(21)有解 显然 = 1不是不等式的解， 所以 1时有解. . . . . . . 6分 记() = e (21) 1 = e (2+ 1 1)，其中 0 则() = e(2+ 11 1(1)2) = e (23)(1)2 可得()在(,0上递增，在0,1)上递减，在(1, 32上递减，在32,+)上递增 所以()在(,1)上的最大值为(0) = 1，在(1,+)上的最小值为(32) = 4e32 所以 4e32，即实数的取值范围是(,1)(4 e32,+). . . . . . . . . . . . 9分 由可知，若 1，则 = ()有两解1, 2，且1 0 2 1， 不等式 ()的解集为(1, 2)，唯一整数0 = 0，所以1 1 0， 所以(1) (0)，即32e 4e32，则 = ()有两解3, 4，且1 3 32 ()的解集为(3, 4)，唯一整数0 = 2，所以2 4 3， 所以(2) (3)，即3e2 0） (1)求证：() 2； (2)若(3) 0， 所以() = |+ 1|+| |(+ 1)()| = 1 + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 (2) (3) 5 3+ 1 +|3| 5 1 +|3| 2 所以 0 3, 1 +3 2, 或 3, 1 +3 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分 即 0 0, 或 3, 2 5+1 0, 解得1+5 2 3或3 5+21 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 所以正实数的取值范围是(1+52 , 5+212 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分 高三数学II（附加题）第2页（共4页） 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分） 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中,三种商品有购买意向已知该网 民购买种商品的概率为34，购买种商品的概率为23，购买种商品的概率为12假设该网民是 否购买三种商品互相独立 (1)求该网民至少购买2种商品的概率； (2)用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望 解： (1)该网民恰好购买2种商品的概率为 ()+()+() = 34 23 12 + 34 13 12 + 14 23 12 = 1124；. . . . . . . . 2分 该网民恰好购买3种商品的概率为() = 34 23 12 = 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 答：该网民至少购买2种商品的概率为1724. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5分 (2)随机变量的可能取值为0,1,2,3 由(1)知，( = 2) = 1124，( = 3) = 14， 而( = 0) = () = 14 13 12 = 124， 所以( = 1) = 1( = 0)( = 2)( = 3) = 14 随机变量的概率分布为 0 1 2 3 124 14 1124 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 随机变量的数学期望 = 0 124 +1 14 +2 1124 +3 14 = 2312. . . . . . . . . . . . . . . 10分 高三数学II（附加题）第3页（共4页） 23.（本小题满分10分） 如图，由若干个相同的正方形组成的一个层三角形图阵，第一 层有1个正方形，第二层有2个正方形，依次类推，第层有个 正方形除去最底下的一层，每个正方形都放置在它的下一层的 两个正方形之上现对第层的每个正方形用数字进行标注，从 左到右依次记为1, 2, ，其中 0,1 （1 ），其它 层的正方形标注的数字是它下面两个正方形标注的数字之和，依 此规律，记第一层的正方形标注的数字为0 第1层 第2层 第3层 第4层 第1层 第层 (1)当 = 4时，若要求0是2的倍数，则有多少种不同的标注方法？ (2)当 = 11时，若要求0是3的倍数，则有多少种不同的标注方法？ 解： (1)当 = 4时，第4层标注的数字依次为1, 2, 3, 4； 第3层标注的数字依次为1 +2, 2 +3, 3 +4； 第2层标注的数字依次为1 +22 +3, 2 +23 +4； 所以0 = 1 +32 +33 +4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2分 因为0是2的倍数， 0,1 ，所以1, 2, 3, 4中取值为1的个数为偶数个 其不同的取法总数为C04 + C24 + C44 = 8 答：所求的不同的标注方法有8种. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 (2)当 = 11时，第11层标注的数字依次为1, 2, 3, 4, 10, 11； 第10层标注的数字依次为C01 + C11+1， = 1,2,10； 第9层标注的数字依次为C11+(C01+C11)+1+C11+2 = C02+C12+1+C22+2， = 1,2,9； 依此规律，第1层标注的数字为0 = C0101 + C1102 + C91010 + C101011. . . . . . . . 6分 计算，得C010 = C1010 = 1，C110 = C910 = 10，当 = 2,3,4,8时，C10均是3的倍数 若要求0是3的倍数，等价于1 +2 +10 +11是3的倍数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 所以1, 2, 10, 11中，取值为1的个数为0个或3个 所以1, 2, 3, 10, 11的不同的取法总数为(C04 + C34)27 = 640 答：所求的不同的标注方法有640种. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10分 说明：可用数学归纳法证明：0 = 1 =0 C 1+1（ 2， N ） 关键步骤，当 = +1时，0 = 1 =0 C 1+1 + 1 =0 C 1+2 = =0 C +1 用到的公式为C + C+1 = C+1+1，C0 = C = 1 高三数学II（附加题）第4页（共4页）
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