第05章习题解答.pdf

1 习题 5 参考解答 5.1 下图所示楔形薄透镜， 楔角为 ， 折射率n ， 底边厚度为 0 。 求其相位变换函数， 并利 用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角 。 解：如下图所示，棱镜的厚度函数为： 00 (,) ( ) ( 1 ) Lxy n y y n n y 则棱镜的相位调制可以表示为： 0 i i(,) i(1 ) (,) e e e kn kL x y k n y txy 忽略常系数，则棱镜的相位调制可表示为： i( 1 ) (,) e kn y txy 对于小角度入射的平行光束( 假设入射角为 ) ，其复振幅分布为： i 0 (,) e ky UxyA 该光束经过棱镜后，忽略能量损失，其透射光束的复振幅分布为： i(1 ) ii ( 1 ) 00 (,) (,)(,) e e e kny ky kn y UxyUxytxyA A 与入射光束相比，其传播角度发生了偏转，偏角大小为： 2 (1 ) n 5.2 见下图， 点光源S 与楔形薄透镜距离为 0 z ， 它发出倾角为 的傍轴球面波照射棱镜， 棱镜 楔角为 ，折射率n 。求透射光波的特征和S 点虚像的位置。 解： 如下图所示， 假设点光源S 位于y z 平面内。S 点的坐标为 00 (0, tan , ) zz ， 则从点光 源S 发出的倾角为 的球面波在x y 平面上的复振幅分布可近似表示为： 22 22 00 00 00 22 2 0 00 0 i(t a n) i( ) i2 i2 00 0 00 ii () i2 2 i 0 0 (,) e e e e ee e e kk xyz xyz kz z kz z kk zx y kz z z ky aa Uxy zz a z 上式应用在傍轴近似下，有 tan 。 由 5.1 题的分析可知，对于楔角为 、折射率为n 的棱镜，共相位变换函数为： 3 i( 1 ) (,) e kn y txy 则透射光波的复振幅分布为： 22 2 0 00 0 22 22 2 22 0 0 0 00 0 0 ii () i2 2 ii ( 1 ) 0 00 0 i1 ii () i ( () 2 i(1 ) i2 2 2 00 00 (,) (,)(,) e e e e e ee e e e e kk zx y kz z z ky kn y kk k kz zx y x y z kny kz z z z a UxyUxytxy z aa zz 式中： (1 ) n 。 因此，透射光波还是一个球面波，其虚像的位置为 00 (0, , ) Szz 。 5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶 分析。它所包含的最低空间频率为 20/mm ，最高空 间频率为 200/mm 。 照 明光的波长 为 0.6 m 。 若希望谱面上最低频率成分与最高频率成 分之间与最高频率之间间隔 50/mm ，透镜的焦距应取多大？ 解：如下图所示，从角谱传播的角度来看，当 采用单色平面波垂直照明时，后焦面上某点的 坐标与物体某频率成分的关系为： sin f y f 则任意两个空间频率在后焦面上的间隔为： 4 f y f 由题意， 0.6 m ，最小空间频率 1 min 20mm ，最大空间频率 1 max 200mm ，当要 求它们之间对应的间隔为 50mm f y ，则透镜焦距为： 3 50 10 mm 463mm 0.6 180 f y f 5.4 对于下图所示的变换光路， 为了消除在物体频谱上附加的相位弯曲， 可在紧靠输出平面 之前放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？ 解：如题图所示，在忽略透镜孔径的影响下，输出平面上得到的光场分布为： 22 i( ) 2 2 (,) e , i k d Af UT dd d 式中： 00 , ( , ) TF t x y dd 。输出平面得到物体的傅里叶变换，但带有一个二次相位因 子。若要消除这个相位弯曲，可以利用透镜的 相位调制性质。透镜的相位变换函数是一个二 相位因子，当 22 i( ) 2 2 (,) e , i k d f Af UT ddd 时，二次相位因子消除 。上式中， 22 i( ) 2 e k d 是一个焦距为 f d 的凸透镜的相位调制因子。 因此，只要在输出平面 之前放置一个焦距为 f d 的凸/ 透镜，则输出光场的相位弯曲就可以 消除。 5.5 参看下图， 单色点光源S 通过一个会聚透镜在光轴上 S 位置。 物体( 透明片) 位于透镜后方， 相距S 的距离为d ，被完全照明。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。 5 证明：因为单色点光源通过会聚透镜成像( 或会聚) 在光轴的S 位置，所以根据会聚球面波的 性质，在S 之前距离为d 的物体之间的光场分布就近似为： 22 00 i( ) i 0 2 0 (,) e e k x y kd d a Uxy d 式中： 0 a 是与振幅有关的常数。 假设物体的复振幅透过率函数为 00 (,) txy ， 则物体的透射光场 为： 22 00 i( ) i 0 2 000 000 00 00 (,) (,)(,) ee (,) k xy kd d a Uxy Uxytxy txy d 根据傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式，可计算出S 位置处的场分布为 22 22 00 22 22 i i( ) i( ) 22 000 , i( ) i( ) 00 22 00 22 , e (,) e (, ) e i e( , )e, ii kk kd xy xy dd xy dd kk xy xy dd xy dd Uxy FUxy d aa x y Ftxy T dd d d 可见在点光源的像面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换， 但是变换式之前存在二次 相位因子，这使物体频谱产生了相位弯曲。 5.6 如下图所示，透明片 111 (,) txy 和 222 (,) txy 分别紧贴在焦距为 12 2, f af a 的两个透镜之 前。透镜 12 , LL 和观察屏三者间隔相等，都等于 2a 。如果用单位振幅单色平面波垂直照 明，求观察零上的复振幅分布。 解：当采用单位振幅的单色平面波垂直照明时，在透镜 L 1 后方距离 1 2 f a 处给了透明片 111 (,) txy 的傅里叶变换。因此，在透明 222 (,) txy 之前光场分布为 6 22 22 1 i( ) 2 22 222 1 11 1 1 (,) e , i k xy f x y Uxy T f ff 式中： 22 11 22 11 1 1 , 11 , ( , ) x y f f xy TF t x y ff 。经过透明片 222 (,) txy 和透镜 L 2 后的透射光场为： 22 22 2 22 22 22 22 12 i( ) 2 222 222222 i( )i( ) 22 22 12 2 2 11 1 (,) (,)(,) e 1 ee ,( , ) i k xy f kk xy xy ff Uxy Uxytxy xy Tt x y ff f 将 12 2, f af a 的关系代入上式，上式就可简化为： 22 22 1 i( ) 2 22 222 1 222 11 1 1 (,) e , (,) i k xy f xy Uxy T txy ff f 利用傅里叶变换形式的菲涅耳衍射方程， 则得到距 L 2 后 1 2af 处观察屏上菲涅耳衍射图 样的复振幅分布为： 22 22 1 22 11 11 22 1 11 22 i i( ) i( ) 22 222 1 , i( ) 2 22 12 2 2 2 11 1 , i2 i( ) 22 4 2 e (,) e (, ) e i 1 e, ( , ) () e e, (2 ) 2 2 kk kf xy xy ff xy ff k xy f xy ff k ak xy a Uxy FUxy f xy FT txy ff f xy F aa a 222 , 22 *( ,) x y aa Ftxy 由傅里叶变换的性质，可知： 22 1 , 22 ,( , ) 22 xy aa xy FT txy aa 222 2 , 22 (,) , 22 xy aa x y Ftxy T aa 略去常系数及积分号前的相位因子，则最 终在观察屏上衍射图样的复振幅分布正比于 1 t 和 2 t 变换式的卷积 2 (,) ( , ) * , 22 x y Uxy txyT aa 7 5.7 一个被直径为d 的圆形孔径的物函数 0 U ， 把它放在直径为D 的圆形会聚透镜的前焦面上， 测量透镜后焦面上的强度分布。假定Dd 。 (1 ) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算 6 D cm ， 2.5 d cm ，焦距 50 f cm 以及 0.6 m 时，这个频率的数值( 单位：/mm) (2 ) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率 分量。 解：(1) 透镜有限孔径对于物面空间频率成分传播的限制称为渐晕。仅当某一方向上的平面 波分量不受拦阻地通过透镜时，在后焦面上相 应会聚点测得的强度才准确代表物相应空间频 率的傅里叶谱的模的平方。 如下图所示，在小角度情况下，满足这一要求的平面波分量的传播方向 角最大为： 0 22 2 Dd Dd f f ， ( , Df df ) 因透镜是圆形孔径，在圆周方向上都有相应的最大空间频率： 22 max 73 max sin (6 2.5) 10 58.3 22 6 1 01 0 5 0 1 0 Dd f 周/mm (2) 当某一方面传播的平面波分量完全被透镜孔径拦阻时， 在后焦面上没有该频率成分， 测得频谱为零。 如下图所示， 当传播方面倾角超过 M 时， 该平面波分量正是这种情况。 在小角度的情况 下， 22 2 M Dd Dd f f ， ( , Df df ) 8 相应的空间频率为： 41 sin 62 . 5 10 141.7mm 22 0 . 6 5 0 MM M Dd f 周/mm 由此可见， 当 2 Dd f 时， 透镜后焦面上可以得到相应空间频率成分的物体准确的傅里 叶谱。当 22 Dd Dd f f 时，透镜后焦面上得到的并非准确的物的傅里叶谱，各空间频率 成分受到透镜孔程度不同的拦阻。 当 2 Dd f 时， 虽然物可能有更高的空间频率成分， 但因 这些分量全部被透镜有限孔径所阻拦，在后焦 面上完全得不到物的傅里叶谱中的这些高频成 分。这就是渐晕效应对物的频谱传播的影 响。从公式可以看出，当透镜孔径D 增大，或者物 体尽量靠近透镜，可以减小这一效应的影响。 5.8 一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数( 见下图) ： 2 000 1 ( ) 1 cos( )circ( / ) 2 tr ar rl (1 ) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？ (2) 给出此屏的焦距表达式？ (3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制( 特别对于多色物体成像) ？ 解：(1) 此衍射屏的复振幅透过率如图所示，可把它表示为如下直角坐标形式： 9 22 22 22 i( ) i( ) 11 1 (,) e e c i r c 24 4 ax y ax y x y txy l 式中，中括号内的第一项仅仅是使直接透射光 振幅衰减，其他两项指数项与透镜相位变换因 子 22 i( ) 2 1 e 4 k x y f 比较，形式相同。当用平面波垂直照射时， 这两项的作用是分别产生会聚球面 波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子 22 circ x y l 表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。 (2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的相位变换因子相比较，便得相应的焦 距，即 对于 22 i( ) 1 e 4 ax y 项，令 1 2 k a f ，则有 1 0 2 k f aa ，焦距为正，相当于会聚透镜。 对于 22 i( ) 1 e 4 ax y 项， 令 2 2 k a f ，则 有 2 0 2 k f aa ， 焦距为负， 相当于发散透镜。 对于 1 2 项，平行光直接透过，仅振幅衰减，相当于一个振幅衰减片，可视为 3 f ， 。 (3) 由于该衍射屏有三重焦距，当用作成像装置时，便可以对同一物体形成三个像。例 如对无穷远的点光源， 将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像， 而另一个像在无穷远( 直 接透射光) 。如下图所示。 当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像， 无法分离开。若用接收屏来接 收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的 背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的 色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长 成反比。若用白光作光源，则在像面上可看到 严重的色散现象。如取： red 690nm ， blue 469nm ，则有： 10 red blue blue 460 0.67 690 这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作 光源，在像面上可以看到非常严重 的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图。 5.9 下图所示为菲涅耳波带片的复振幅透过率 2 00 0 1 ( ) 1 sgn(cos )circ( / ) 2 tr ar rl 证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。确定这些焦距的大小。 解：由sgn 函数的定义可知： 22 00 2 0 22 00 1c o s 0o r2 2 11 22 sgn(cos ) 3 22 0c o s 0o r2 2 22 ar m ar m ar ar m ar m 式中：m 为整数。 令 2 0 ua r ， 显然上式是u 的周期函数， 周期为 2 ， 故可展开成傅里叶级数： i 11 sgn(cos ) e 22 nu n n uC 上式中傅里叶系 /2 i /2 1s i n ( /2) 1 e d sinc( / 2) 2 2 nu n n Cun n 这样有： 2 i 11 s i n ( /2) sgn(cos ) e 22 nar n n u n 上式表示一个方波函数。最后求得复振幅透过率为： 2 0 i 1 ( ) circ sinc( / 2)e 2 nar n r tr n l 写直角坐标表示成： 11 22 00 i( ) 00 1 (,) s i n c (/ 2 ) e 2 na x y n txy n 上式的指数因子 22 00 i( ) e na x y ，也是二次相位因子，类似于 透镜的相位变换因子 22 00 i( ) 2 e k x y f ，并且 可以表示为 22 00 i( ) 2 e n k x y f 这样有： 2 n k f na na ( 1, 3, 5, n ) 也就是说，可以把该衍射看作一个具有多重焦点的透镜，焦距由上式确定，其中因子 22 00 circ x y l 是这些透镜的光瞳函数。或者更确切地说，是由无穷多个会聚透镜和发散透 镜组成。 当n 是偶数时，零点除外， sin( / 2) 0 n n ，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中 不包含n 为偶数的成分。 对n 为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当n 取负值时， n f 为正，是会聚 球面波，它可以得到实焦点；当n 取正值时， n f 为负，是发散球面波，它可以得到虚焦点。 如下图所示。 5.10 单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为 5cm 、 焦距为 80cm 的透镜。 在透镜后面 20cm 的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为： 12 00 00 0 0 1 (,) ( 1c o s 2 )rect( / )rect( / ) 2 txy x x L y L 假定 1 L cm ， 0 100 /cm。画出焦平面上沿 轴强度分布。标出各衍射分量之间距离和 各个分量( 第一个零点之间) 的宽度的数值。 解：如下图所示，物体放置在透镜之后距后焦面距离为 60cm d 的位置时。 物体是一个正弦振幅的光栅，其最大线度，即对角线 方向小于被照明光斑的直径。后焦 面上，故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分布为： 22 22 22 22 i( ) i( ) 22 i( ) 2 2 00 2 2 i( ) 2 2 11 (,) e (,) e , ii 111 e (,) ( ,) ( ,)*s i n c ( ) s i n c ( ) i244 1 e sinc sinc sin i2 2 kk dd k d k d ff UF t x yT ddddd d f LLL d fLLL ddd 00 1 cs i n c 2 L LL dd 当 0 2 L 不考虑三个 sinc 函数间的重叠，得到强度分布为： 2 222 2 00 11 ( , ) sinc sinc sinc sinc 244 fL L L L L IL L dddd d 代入题设条件， 就可以用上式来计算。 即当 1cm L 、 80cm f 、 1 0 100cm 、 60cm d 以及 0 时，可得到沿 轴的强度分布为： 2 222 111 ( ,0) sinc sinc 100 sinc 100 90 60 4 4 60 I 如下图所示，可见，衍射分量之间的距离为 6000 L ，各个分量( 第一个零点之间) 的 宽度为 120 x 。 13