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1 习题四 解答 1 分别 求出与 下列向量组 等价的正交向量组 （ 1） 1211,02 ；（ 2） 1 2 2 1 1 1 0 , 1 , 1 1 0 1 解 （ 1） 因为 12,线性无关， 令 11 ， 111 2122 , ， 可得与 12,等价的向量组 1210,02 （ 2） 令 11 ， 111 2122 , ， ,1 3 2 3 3 3 1 21 1 2 2 可得与 1 2 3, 等价的向量组 TTT 1 2 21 1 1 1 11 , 0 , 1 , , 1 , , , ,2 2 3 3 3 2 判断下列矩阵是否为正交矩阵，请说明理由 （ 1） 11 11A ；（ 2） 0 1 01 0 0 0 0 1 B ；（ 3） 111 222 1 1 1 222 110 22 C 解 （ 1）不是 因为 A 的列向量 1 1A 不是单位向量； （ 2）是 TBB E ； （ 3）是 TCC E 3 设 A 、 B 均为 n 阶正交矩阵，证明： （ 1）方阵 A 是可逆阵， T1 AA ，且 1A 或 TA 也是正交矩阵； 2 （ 2） 1A ； （ 3）方阵 AB 也是正交矩阵 证 （ 1） A 为正交矩阵 ，有 TAA E ，所以 A 可逆 且 T1 AA ， 又 TT T TA A A A E，所以 TA 或 TA 也是正交矩阵 ； （ 2）由 TAA E ，可得 2 1A ，所以 1A ； （ 3） T T T T T()A B A B B A A B B E B B B E 所以 方阵 AB 也是正交矩阵 4 设 是一个 n 维实单位列向量 ， 令矩阵 T2HE ，证明 ： H 是一个对称的正交 矩阵 证 T T T T T T( 2 ) 2 2H E E E H ， H 是对称的 ； T T T T T T T T T T T ( 2 ) ( 2 ) 4 4 ( ) ( )4 4 ( ) 4 4H H E E EE E E 所以 H 是一个对称的正交矩阵 5 设对称矩阵 A 满足条件 222 ( 1 ) A A E O，试证矩阵 AE为正交矩阵 证 T 22 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1 ) A E A E A E A E A A E A A E E E = = = 所以 矩阵 AE为正交矩阵 6 设 1 1 1 1 ， 2 1 0 1 ，求 3 ，使得 1 2 3, 正交 解 设 T3 1 2 3( , , ) x x x ，则由 1 3 2 30 , 0 ，即有 1 2 3 13 00 x x xxx，即 23 13 2 xxxx ，可取 T3 (1, 2,1) 又 120 ，所以 1 2 3, 正交 3 7 设 12a bc A 是正交阵，求 2b 的值 解 因为 A 是正交阵，有 2 2 2 11, 14a b a ； 所以 2 14b 8 求下列矩阵的特征值和特征向量 （ 1） 24 33 ； （ 2） 1 2 22 1 2 2 2 1 ； （ 3） 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0000 a a a a a . 解 （ 1） 矩阵 A 的特征多项式为 24 (33 AE - 6 )( + 1 ). 可得 A 的特征值 1,6 21 对于 1 6 ，解齐次线性方程组 ( 6 )A E x 0，可得方程组的一个基础解系 T1 ( 1,1) ， 于是 A 的属于 1 的全部特征向量为 11c 1( c 为不等于零的任意常） 对于 2 = 1 ，解齐次线性方程组 ()A E x 0 ，可得方程组的一个基础解系 T2 (4,3) ，于是 A 的属于 2 的全部特征向量为 22c （ 为不等于零的常数）2c 解 （ 2） 求 1 2 22 1 2 2 2 1 A 的特征值与特征向量 21 2 22 1 2 ( 5 ) ( 1 ) 2 2 1 1 2 35, 1 求 1 5 的特征向量 ： 4 4225 2 4 2 224 AE 2 1 1 0 1 1 0 0 0 , 1 1 1 1 p 1 1 1( 0)xpkk 求 231 的特征向量： 2 2 2 1 1 12 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 AE , 2 1 1 0 p , 3 1 0 1 p 2 2 3 3x p pkk （ 23,kk不同时为 0） 解 （ 3） 矩阵 A 的特征多项式为 5(AE a ) ， 可得 A 的特征值 12 n a 对于 12 n a，解齐次线性方程组 ()A E x 0，可得方程组的一个基础解系 T1 (1,0, ,0) ，属于 12 n a的全部特征向量为 1 () kk0 9 设 1111 1111 1111 1111 A ， 求 A 的特征值 及 A 的 对应非零 特征值 的 特征向量 解 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 AE 3 1 1 1 1 0 0 0( 4 ) ( 4 ) 0 0 0 0 0 0 所以 A 的特征值 为 1 2 3 44 , 0 3 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 0 0 1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 AE 5 令 T(1,1,1,1)p ， 所以 A 的 对应非零 特征值 的 特征向量 为 ( 0)p kk 10 判别 下列各命题是否正确？若正确请给出证明；若不正确，请举出反例： （ 1）实数域上的 n 阶矩阵 A 一定有 n 个线性无关的特征向量； （ 2） A 与 TA 有相同的特征值和特征向量； （ 3）若 2 是 2A 的特征值，则 是 A 的特征值； （ 4）若 不是 A 的一个特征值，则 EA可逆 解 （ 1） 错 如 2 1 25 3 3 1 0 2 A ， 31AE ， 因此 1 是矩阵 A 的 3 重特征根而 AE 3 1 25 2 3 1 0 1 且 2AER ， 从而 1 所对应的线性无关的特征向量只有一个 而二阶矩阵 24 33 ，存在两个 线 性无关的特征向量 T1 ( 1,1) 及 T2 (4,3) 所以 n 阶方阵 A 在实数域上不 一定有 n 个线性无关的特征向量 （ 2）错 设 是 A 的对应于 的特征向量（ 0) 如果 A 与 TA 有相同的特征值 和特 征向量，则 T,A A ， 则可推出 T()AA0， 从而有 A = TA ， 矛盾 （ 3） 错 如取 10 01A ，则 A 的特征值为 1 ，而 2 1 是 2A 的特征值， 但 不 是 A 的特征值； （ 4） 对 若 不是 A 的一个特征值， 则 有 0AE， 又 ( 1 ) 0E A A E n，所以 EA可逆 11 设 T1 )0,2,1( 和 T2 )1,0,1( 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量，又 T)2,2,1( ，求 A . 6 解 因为 21 2 也是 A 属于特征值 2 的特征向量，故 T)4,4,2(2 A 12 设三阶方阵 A 的特征值为 1 = 1 （二重）， 2 4 ，试求 det(A )和 tr(A ) 解 det(A )|= 211 = 4; tr(A )= 212 =2 13 设 A 为 n 阶矩阵， 0A ， *A 为 A 的伴随矩阵，若 A 有特征值 12, , , n ，试求 n 阶方阵 * 2 12( ) 3 A A E的特征值 解 因为 A 为 n 阶矩阵，其全部特征值为 12, , , n ，则有 12 n A ， 又 0A ，得 *A 的全部特征值为 12, , , n A A A，又 *1 AA A ， 又因为 1* 2 1 * 2 * *2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( )f A A E A A A E A 令 12( ) 2 3 1f A， 则 122 3( ) 2 ( ) 3 1 2 ( ) 1 i i i i if A A A AA， 所以 * 2 12( ) 3 A A E的全部特征值为 2 32 ( ) 1 , 1 , 2 , ii in A 14 设 A 为 n 阶方阵，且 EA2 ，证明 （ 1） A 的特征值只能是 1 或 1 ； （ 2） AE3 可逆 证 （ 1） 设 是 A 的特征值， x 是 A 的属于 的特征向量，即 xAx ，在此式两边左 乘矩阵 A 得 xAxxA 22 ， 又 EA2 ，所以 xExxA2 ，于是 2xx ， 即 ( 1) 02 x ， 因 0x ，故 1 ，所以 A 的特征值只能是 1 或 1 （ 2）由（ 1）， 3 不是 A 是特征值，所以 EAAEEA 3)1(303 n 而 于是 03 AE ，从而 AE3 可逆 15 已知 0 是矩阵 1 2 32 1 3 33 a A 的特征值，求 a 的值及 A 的特征值 解 因为 0 是 A 的特征值 ，且 1 2 3A ，有 0A ， 7 又 1 2 32 1 3 3 ( 6 ) 33 a a A ，所以 6a 。 将 6a 代入，得 1 2 3| | 2 1 3 ( 1 )( 9 ) 3 3 6 AE 故 A 的特征值为 1 2 30, 1, 9 。 16 已知存在正整数 k 使 kO，试证 0 ，其中 是 n 阶单位矩阵 证 设 是 A 的特征值， x 是 A 的属于 的特征向量，即 xAx ， 由 kO， Ax xkk，推出 A 的特征值全为零，则 EA 的全部特征值为 1，故 10EA 17 设 A 为 n 阶方阵， EA2 ，且 A 的特征值都等于 1，则 EA 证 由已知 OEA 22 ， 即 有 OEAEA )( ， 因为 A 的特征值全是 1， 所以 0AE，即 EA 可逆，对上式两边右乘 1)( EA ， 则 EA 18 设 A 为 n 阶方阵， E 为同阶单位阵若 AE，且 ( ) ( )R R n A E A E，试证： 1 必是 A 的一个特征值 证 因 为 A E O ，所以 ( ) 0R AE ， 推出 ( ) ( )R n R n A E A E，从而 ( 1 ) 0 E A E， 所以， 1 是 A 的一个特征值 19 设 5264 4 4 5 a b A 的两个特征值为 121, 2，求常数 ,ab及 A 的另一个特征值 解 4 2 2 2 26 1 4 2 3 4 8 ( 1 ) 4 4 4 0 0 4 AE aa b b b a 3 2 3 22 6 2 4 0 2 2 0 2 2 4 4 3 4 4 3 AE aa b b a b a 解方程组 10 2 2 0 baba ， 得 3 4 ab ， 根据 1 2 3 1 1 2 2 3 3 5 4 5 6 a a a， 可得 3 3 8 20 证明：如果正交矩阵有实特征根，则该特征根只能是 1 和 1 证 设 Ax x ， x0，两边取转置有 TTT xAx ， 再右乘 Ax 得 AxxAxAx TTT ， 又 Ax x 且 A 为正交矩阵， 则有 T 2 Tx x x x ， 即 0)1( T2 xx ， 由于 0x ，所以 T 0xx ，故 012 ，即 1 21 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 51,41,31,21 ，求 BE1 . 解 因为 矩阵 A 与 B 相似 ， A 与 B 有相同的特征值，即 B 的特征值为 51,41,31,21 ， 1B 的 特征值为 2,3,4,5 . EB 1 的特征值为 4,3,2,1 ，故 2443211 EB . 22 设 2 2 02 1 2 0 2 0 A ，是否存在可逆阵 P 使 1PAP 为对角阵？若结论成立请求出可 逆阵 P 解 矩阵 A 的 特征多项式为 2 2 0 2 1 2 2 1 4 02 AE 矩阵 A 的特征值为， 1 2 32 1 4 ， ， 所以 存在可逆阵 P 使 1PAP 为对角阵 。 当 1 2 时 ， 4 2 0 2 3 22 2 3 2 0 1 1 0 2 2 0 0 0 AE ， 可得 矩阵 A 对应于 1 2 的 特征向量 1 1 2 2 p ； 当 2 1 时 ， 1 2 0 1 2 02 0 2 0 4 2 0 2 1 0 0 0 AE 9 可得 矩阵 A 对应于 2 1 的 特征向量 2 2 1 2 p ； 当 3 4 时 ， 2 2 0 1 1 04 2 3 2 0 1 2 0 2 4 0 0 0 AE 可得 矩阵 A 对应于 3 4 的 特征向量 3 2 2 1 p ； 令 1 2 3 1 2 2 , , 2 1 2 2 2 1 P p p p ，则 1 2000 1 0 0 0 4 P AP 23设方阵 1 2 422 4 2 1 x A 与 5 0 0 00 0 0 4 y 相似，求 ,xy 解 方阵 A 与 相似，则 A 与 的行列式相同，又 1 2 4 2 2 1 5 4 0 , 2 0 4 2 1 A x x y， 所以有 3 4 20 xy 又 tr( ) tr( )A ，即 21 xy 因此 3 4 20 10 xyxy ， 54yx 24 已知 11 1 是矩阵 2 1 2 53 12 a b A 的一个特征向量 （ 1）试确定参数 a 、 b 及特征向量 所对应的特征值； （ 2）问 A 是否可以和对角阵相似？请说明理由 解 由于 11 1 是矩阵 2 1 253 12 A a b 的一个特征向量，所以有 10 2 1 2 1 5 3 1 0 1 2 1 AE a b 成立即有 2 1 2 05 3 0 1 2 0 a b ， 解得 103 ， ba （ 2） 由，得 2 1 25 3 3 1 0 2 A ，所以， 32 1 25 3 3 1 1 0 2 AE 因此 1 是矩阵 A 的 3 重特征根而 AE 3 1 25 2 3 1 0 1 且 2AER ， 从而 1 所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵 A 不能相似于对角矩阵 25设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 2 31, 0, 1 ；对应的特征向量依次为 T T T1 1 11 , 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2p p p ，求 A 解 根据特征向量的性质知 1 2 3,P P P 可逆 , 得 ： 11 1 2 3 1 2 23 3 , , , ,P P P A P P P 可得 1 1 1 2 3 2 1 2 3 3 , , , ,A P P P P P P 1 2 2 1 0 0 1 2 21 2 2 1 0 0 0 2 2 1 9 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 21 0 1 23 2 2 0 . 26设 矩阵 1 2 11 0 1 4 4 5 A ，求 10A 解 矩阵 A 的 特征多项式为 11 1 2 1 1 1 2 1 3 4 4 5 AE 故矩阵 A 的特征值为 1 1 ， 2 2 ， 3 3 ， 分别解 A E x 0， 2A E x 0， 3A E x 0，得 3 个线性无关的特征向量： T1 1,1,2 ， T2 2,1,4 ， T3 1,1,4 ， 令 23,1P ，则 1 P AP ， 1, 2,3 diag ， 由 APP 1 ，得 1 PPA ，于是有 1 2 1 0 1 0 1 1 0 10 1 2 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 0 2 4 4 3 1 0 AP P 10 10 1 1 1 0 1 1 31 22 1 0 1 0 1 0 31 22 1 2 1 0 1 2 1 0 2 3 2 2 2 3 2 2 2 4 * 3 4 2 1 2 * 3 27 判断下列矩阵是否可对角化 （ 1） 1111 3 1 111 A ；（ 2） 2 1 1 1 3 1 1 1 1 B . 解 (1) 特征多项式 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 0 1 1 1 4 . 02 AE 可 得 三个不等的 特征值 1 2 30 , 1, 4 , 故可以对角化 (2) 特征多项 式 12 32 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 0 3 3 1 2 . 0 2 2 BE 故特征值 1 2 3 2 , 而 22BER ， 从而 2 所对应的线性无关的特征向量只 有一个，因此矩阵 B 不能 对角化 28试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵 （ 1） 1 2 32 1 3 3 3 6 ； （ 2） 2222 5 4 2 4 5 . 解 (1) AE 1 2 32 1 3 ( 1 ) ( 9 ) 3 3 6 故得特征值为 1 2 31, 0 , 9 当 1 1 时， 2 2 3 2 2 32 2 3 0 0 1 3 3 7 0 0 0 AE 可得 矩阵 A 对应于 1 1 的 特征向量 1 1 1 0 ，单位化得 1 11 12 0 p ； 当 2 0 时， 1 2 3 1 2 32 1 3 0 1 1 3 3 6 0 0 0 A 可得 矩阵 A 对应于 2 0 的 特征向量 2 1 1 1 ，单位化得 2 11 13 1 p ； 当 3 9 时 ， 8 2 3 1 1 19 2 8 3 0 2 1 3 3 3 0 0 0 AE 13 可得 矩阵 A 对应于 3 9 的 特征向量 3 1 1 2 ，单位化得 3 11 16 2 p ； 取 正交阵 1 2 3 1 1 1 2 3 6 1 1 1, 2 3 6 120 36 P p p p ，则 T 1 0 00 0 0 0 0 9 P AP 解 （ 2） 2222 5 4 2 4 5 A ， AE 22 2 22 5 4 1 1 0 2 4 5 ， 故得特征值为 121, 3 10 当 121时， 1 2 2 1 2 22 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 AE 可得 矩阵 A 对应于 121的两个正交的特征向量 12 04 1 , 1 11 ， 再单位化得 12 0 4 3 2 1 2 , 1 3 2 1 2 1 3 2 pp ； 当 103 时 ， 8 2 2 2 5 41 0 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 AE 可得 矩阵 A 对应于 103 的 特征向量 3 1 2 2 ，单位化得 3 13 23 23 p ； 14 取 正交阵 0 4 3 2 1 3 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 P ，则 T 1 0 00 1 0 0 0 1 0 P AP 29设 32 23A ，求 10 95A A A . 解 由于 32 23A 是实对称矩阵 ， 故可找到正交矩阵 11 22 11 22 P ， 使得 1 1005 P AP 从而 11,kkA P P A P P 因此 1 0 9 1 0 1 9 1( ) 5 5 A A A P P P P 11 1 0 1 0 1 0 5 00 5 0 5 P P P P14000 PP 11 112100 0411 1121 1 11222 22 30 设方阵 A 的特征值 12 , 对应的特征向量分别为 21,xx , 证明： （ 1） 21 xx 不是 A 的特征向量； （ 2） 1x , 21 xx 线性无关 证 (1) 反证法若 1 2 1 2( ) ( )A x x x x ， 则 1 1 2 2 1 2x x x x ， 即 1 1 2 2 0 xx ， 由于 12 ，所以 21,xx 线性无关 ，推出 12 矛盾 故 21 xx 不是 A 的特征向量 (2) 设 有 21,kk 使得 1k 1x 2k 120 xx, 则 12kk 1x 2k 2 0x 15 由 21,xx 线性无关 ，推出 0,0 221 kkk 即 0,0 21 kk 故 1x ， 21 xx 线性无关 31 n 阶方阵 A 与 B 相似， m 阶方阵 C 与 D 相似，证明分块矩阵 AOOC 与 BOOD 相 似 证 已知 n 阶方阵 A 与 B 相似， m 阶矩阵 C 与 D 相似 所以 存在可逆矩阵 1P 和 2P ，使得 111 1 2 2,P A P B P C P D 所以 1 11 1 22 POA O B OPO OPO B O DOP ， 即 111 2 2 2 P O A O P O BOO P O P O P OD 所以 分块矩阵 AOOC 与 BOOD 相似
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