湖南高考数学理科含答案.pdf

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 湖南卷 ） 数学 （ 理工农医类 ） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每题 5 分，共 50 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1 满足 i iz z （ i 为虚数单位 ） 的复数 z =（ ） A 11i22 B 11i22 C 11i22 D 11i22 2 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不 同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是 1p ， 2p ， 3p ，则 （ ） A 1 2 3p p p B 2 3 1p p p C 1 3 2p p p D 1 2 3p p p 3 已知 ( ), ( )f x g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 32( ) ( ) 1f x g x x x ，则 (1) (1)fg （ ） A -3 B -1 C 1 D 3 4 51( 2 )2 xy 的展开式中 23xy的系数是 （ ） A -20 B -5 C 5 D 20 5 已知命题 p ：若 xy ，则 xy ；命题 q：若 xy ，则 22xy 在命题 pq pq ()pq ()pq中，真命题是 （ ） A B C D 6 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 2,2t ，则输入的 S 属于 （ ） A 6, 2 B 5, 1 C 4, 5 D 3, 6 图 1 否是 结束 输出 S S = t - 3t = 2t2 + 1 t 0 ? 输入 t 开始 12 俯视图侧视图 7 一块石材表示的几何的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的 半径等于 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 图 2 8 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产 总值的年平均增长率为 （ ） A 2pq B ( 1)( 1) 12pq C pq D ( 1)( 1) 1pq 9 已知函数 ( ) sin( )f x x ，且 2 3 0 ( ) 0f x dx ，则函数 ()fx的图象的一条对称轴是 （ ） A 56x B 712x C 3x D 6x 10 已知函数 2 1( ) e ( 0)2xf x x x 与 2( ) ln( )g x x x a 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a的 取值范围是 （ ） A 1( , )e B ( , e) C 1( , e)e D 1( e, )e 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 （ 一 ） 选做题 （ 请考生在第 11,12,13 三题中任选两提作答，如果全做，则按前两题记分 ） 11 在平面直角坐标系中，倾斜角为 4 的直线 l 与曲线 2 cos ,1 sinxC y ： （ 为参数 ） 交于 A， B 两 点，则 2AB ， 以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立坐标系，则直线 l 的极坐标方程是 _ 12 如图 3，已知 ,AB BC 是 O的两条弦， , 3, 2 2AO BC AB BC ， 则 O的半径等于 _ 正视图 6 8 13 若关于 x的不等式 23ax 的解集为 5133A x x ，则 a =_ （ 二 ） 必做题 （ 14 16 题 ） 14 若变量 ,xy满足约束条件 , 4, yx xy yk 且 2z x y的最小值为 6 ，则 k _ 15 如图 4，正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 ,a b a b ，原点 O为 AD 的中点，抛物线 2 20y px p经过 ,CF两点，则 ba _ 16 在平面直角坐标系中， O为原点， 1,0 , 0, 3 , 3,0A B C 动点 D 满足 1CD ， 则 OA OB OD 的最大值是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 本小题满分 12 分 ） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23 和 35 现安排甲组研发新产 品 A，乙组研发新产品 B 设甲、乙两组的研发相互独立 （ I） 求至少有一种新产品研发成功的概率； （ II） 若新产品 A研发成功，预计企业可获利润 120万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利 润 100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望 y x G F E C D B A O 4 / 17 18 （ 本小题满分 12 分 ） 如图 5,在平面四边形 ABCD中 ， 1, 2, 7AD CD AC （ I） 求 cos CAD 的值 ； （ II） 若 7cos 14BAD ， 21sin 6CBA， 求 BC 的长 图 5 D CB A 5 / 17 19 （ 本小题满分 12 分 ） 如图 6， 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有棱长都相等 ， 1 1 1 1 1,AC BD O AC B D O， 四边形 11ACC A 和四边形 11BDD B 为矩形 （ I） 证明 ： 1OO底面 ABCD； （ II） 若 060CBA， 求二面角 11C OB D的余弦值 6 / 17 20 （ 本小题满分 13 分 ） 已知数列 na 满足 111, nnna a a p ， *nN （ I） 若 na 为递增数列 ， 且 1 2 3,2 ,3a a a 成等差数列 ， 求 p 的值 ； （ II） 若 12p ， 且 21na 是递增数列 ， 2na 是递减数列 ， 求数列 na 的通项公式 7 / 17 21 （ 本小题满分 13 分 ） 如图 7， O为坐标原点 ， 椭圆 1 :C 22 2210 xy ab ab 的左右焦点分别为 12,FF， 离心率为 1e ； 双 曲线 2 :C 22 221 xy ab的左右焦点分别为 34,FF， 离心率为 2e ， 已知 12 3 2ee ， 且 24 31FF （ I） 求 12,CC的方程 ； （ II） 过 1F 点的不垂直于 y 轴的弦 AB ， M 为 AB 的中点 ， 当直线 OM 与 2C 交于 ,PQ两点时 ， 求四 边形 APBQ 面积的最小值 8 / 17 22 （ 本小题满分 13 分 ） 已知常数 0a ,函数 2ln 1 2xf x ax x （ I） 讨论 fx在区间 0, 上的单调性 ； （ II） 若 fx存在两个极值点 12,xx,且 120f x f x， 求 a的取值范围 9 / 17 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 湖南卷 ） 数学 （ 理工农医类 ） 参考答案与解析 一选择题 1【答案】 B 【解析】由题可得 111 1 2 2z i ii z i zi z i i z izi ,故选 B 2【答案】 D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样 ,分层抽样 ,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率 相等 ,即 1 2 3p p p,故选 D 3【答案】 C 【解析】分别令 1x 和 1x 可得 1 1 3fg且 1 1 1fg 1 1 1fg ,则 1 1 3 1 21 1 1 1 1f g ff g g 1 1 1fg ,故选 C 4【答案】 A 【解析】第 1n 项展开式为 55 1 22 n nnC x y , 则 2n 时 , 2 5323 5 112 10 2 20 22 n nnC x y x y x y ,故选 A 5【答案】 C 【解析】当 xy 时 ,两边乘以 1 可得 xy ,所以命题 p 为真命题 ,当 1, 2xy 时 ,因为 22xy , 所以命题 q为假命题 ,所以 为真命题 ,故选 C 6【答案】 D 【解析】当 2,0t 时 ,运行程序如下 , 22 1 1,9 , 3 2,6t t S t ,当 0,2t 时 , 3 3, 1St ,则 2,6 3, 1 3,6S ,故选 D 7【答案】 B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱 ,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ,则 228 6 8 6 2r r r ,故选 B 8【答案】 D 【解析】设两年的平均增长率为 x ,则有 21 1 1x p q 1 1 1x p q ,故选 D 9【答案】 A 10 / 17 【解析】函数 fx的对称轴为 2xk 2xk , 因为 2 3 0 2sin 0 cos cos 0 3x dx sin 03 , 所以 23 k 或 4 23 k ,则 56x 是其中一条对称轴 ,故选 A 10【答案】 B 【解析】由题可得存在 0 ,0 x 满足 0 220 0 01 ln2xx e x x a 0 0 1ln 2xe x a 0 ,当 0 x 取决于负无穷小 时 , 0 0 1ln 2xe x a 趋近于 ,因为函数 1ln 2xy e x a 在 定 义 域 内 是 单 调 递 增 的 , 所以 0 1ln 0 02ea ln lna e a e ,故选 B 二填空题 11【答案】 2sin 42 【解析】曲线 C 的普通方程为 222 1 1xy ,设直线 l的方程为 y x b,因为弦长 2AB , 所以圆心 2,1到直线 l 的距离 0d , 所 以 圆 心 在 直 线 l 上 , 故 1yx 2sin cos 1 sin 42 ,故填 2sin 42 12【答案】 32 【解析】设线段 AO 交 BC于点 D 延长 AO 交圆与另外一点 E ,则 2BD DC,由三角形 ABD 的 勾股定理可得 1AD ,由双割线定理可得 2BD DC AD DE DE ,则直径 33 2AE r ,故 填 32 13【答案】 3 【解析】由题可得 5 23 3 1 23 3 a a 3a ,故填 3 14【答案】 2 11 / 17 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 , , 4 ,k k k k , 2, 2 , 且 ,4y x x y 的可行域如图 ,所以 2k ,则当 ,kk 为最优解时 , 3 6 2kk ,当 4,kk 为最优解时 , 2 4 6 14k k k , 因为 2k ,所以 2k ,故填 2 15【答案】 21 【解析】由题可得 , , ,22aaC a F b b ,则 2 2 2 2 a pa ab p b 21ab ,故填 21 16【答案】 23 【解析】动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆 ,则设为 3 cos ,sin 0,2 ,则 223 cos 1 sin 3OA OB OD 8 2 cos 3 sin , 因为 cos 3sin 的最大值为 2 ,所以 OA OB OD 的最大值为 12 2 3 ,故填 23 17某企业甲 ,乙两个研发小组 ,他们研发新产品成功的概率分别为 23 和 35 ,现安排甲组研发新产品 A , 乙组研发新产品 B 设甲 ,乙两组的研发是相互独立的 （ 1） 求至少有一种新产品研发成功的概率 ; （ 2） 若新产品 A研发成功 ,预计企业可获得 120万元 ,若新产品 B 研发成功 ,预计企业可获得利润 100万 元 ,求该企业可获得利润的分 布列和数学期望 17【答案】 （ 1） 1315 （ 2） 详见解析 【解析】 （ 1） 解 :设至少有一组研发成功的事件为事件 A且事件 B 为事件 A的对立事件 ,则事件 B 为一 种新产品都没有成功 ,因为甲 ,乙成功的概率分别为 23,35, 则 2 3 1 2 2113 5 3 5 15PB , 再根据对立事件概率之间的公式可得 131 15P A P B ,所以至少一种产品研发成功的概率为 1315 （ 2） 由题可得设该企业可获得利润为 ,则 的取值有 0 , 120 0 , 100 0 , 120 100 ,即 12 / 17 0,120,100,220 ,由独立试验的概率计算公式可得 : 2 3 20 1 13 5 15P ; 2 3 4120 13 5 15P ; 2 3 1100 1 3 5 5P ; 2 3 2220 3 5 5P ; 所以 的分布列如下 : 0 120 100 220 P 2 15 4 15 1 5 2 5 则数学期望 2 4 1 20 120 100 22015 15 5 5E 32 20 88 130 18如图 5,在平面四边形 ABCD中 , 1, 2, 7AD CD AC （ 1） 求 cos CAD 的值 ; （ 2） 若 7cos 14BAD , 21sin 6CBA,求 BC的长 18【答案】 （ 1） 27cos 7CAD （ 2） 67 【解析】解 :（ 1） 由 DAC 关于 CAD 的余弦定理可得 2 2 2 cos 2AD AC DCCAD AD AC 1 7 42 1 7 277 ,所以 27cos 7CAD （ 2） 因为 BAD 为四边形内角 ,所以 sin 0BAD且 sin 0CAD,则由正余弦的关系可得 sin BAD 2 1891 cos 14BAD 且 2 21sin 1 cos 7CAD CAD ,再有正弦的和差角 公式可得 sin sin sin cos sin cosBAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD 189 2 7 21 7 14 7 7 14 3 3 3 7 14 3 7 ,再由 ABC 的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC 73 721 6 BC 6 7 19如图 6,四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有棱长都相等 , 1 1 1 1 1,AC BD O AC B D O,四边形 11ACC A 和四边形 11BDD B 为矩形 （ 1） 证明 : 1OO底面 ABCD ; （ 2） 若 060CBA,求二面角 11C OB D的余弦值 13 / 17 19【答案】 （ 1） 详见解析 （ 2） 2 5719 【解析】 （ 1） 证明 : 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有棱长都相等 四边形 ABCD和四边形 1 1 1 1A B C D 均为菱形 1 1 1 1 1,AC BD O AC B D O 1,OO分别为 11,BD B D 中点 四边形 11ACC A 和四边形 11BDD B 为矩形 1 /OO 11/CC BB 且 11,CC AC BB BD 11,OO BD OO AC 又 AC BD O 且 ,AC BD 底面 ABCD 1OO底面 ABCD （ 2） 过 1O 作 1BO的垂线交 1BO于点 E ,连接 11,EO EC 不妨设四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的边长为 2a 1OO 底面 ABCD且底面 ABCD /面 1 1 1 1A B C D 1OO面 1 1 1 1A B C D 又 11OC 面 1 1 1 1A B C D 1 1 1O C OO 四边形 1 1 1 1A B C D 为菱形 1 1 1 1O C O B 又 1 1 1O C OO 且 1 1 1 1OO O C O , 1 1 1,O O O B 面 1OB D 11OC面 1OB D 又 1BO面 1OB D 1 1 1B O O C 又 11B O O E 且 1 1 1 1O C O E O , 1 1 1,O C O E 面 11O EC 1BO面 11O EC 11O EC 为二面角 11C OB D的平面角 ,则 111 1 cos OEO EC EC 14 / 17 060CBA且四边形 ABCD为菱形 11O C a, 11 3,B O a 22 1 1 1 1 12 , 7OO a B O B O OO a , 则 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21sin 3 77 OO aO E B O O B O B O a a BO a 再由 11O EC 的勾股定理可得 2 2 2 21 1 1 1 12 1977EC O E O C a a a , 则 111 1 cos OEO EC EC 2 21 2 577 1919 7 a a ,所以二面角 11C OB D的余弦值为 2 57 19 20已知数列 na 满足 111, nnna a a p , *nN （ 1） 若 na 为递增数列 ,且 1 2 3,2 ,3a a a 成等差数列 ,求 P 的值 ; （ 2） 若 12p ,且 21na 是递增数列 , 2na 是递减数列 ,求数列 na 的通项公式 20【答案】 （ 1） 13p （ 2） 1 1 41, 3 3 2 41, 3 3 2 n n n n a n 为 奇 数 为 偶 数 【解析】解 :（ 1） 因为数列 na 为递增数列 ,所以 1 0nnaa ,则 11nnn n n na a p a a p ,分 别令 1,2n 可得 22 1 3 2,a a p a a p 2231 , 1a p a p p ,因为 1 2 3,2 ,3a a a 成等差数列 , 所以 2 1 343a a a 224 1 1 3 1 3 0p p p p p 13p或 0 , 当 0p 时 ,数列 na 为常数数列不符合数列 na 是递增数列 ,所以 13p （ 2） 由题可得 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 11 1 1,2 2 2n n n n n nn n na a a a a a ,因为 21na 是递增数列且 2na 是递减数列 ,所以 2 1 2 1nnaa 且 2 2 2nnaa ,则有 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 nn n n n n nn aa a a a a aa , 因为 （ 2） 由题可得 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 11 1 1,2 2 2n n n n n nn n na a a a a a ,因为 21na 是递增数列且 2na 是递减数列 ,所以 2 1 2 1 0nnaa且 2 2 2 0nnaa 2 2 2 0nnaa ,两不等式相加可得 2 1 2 1 2 2 2 0n n n na a a a 2 2 1 2 2 2 1n n n na a a a , 又因为 2 2 1 2112nn naa 2 2 2 1 2112nn naa ,所以 2 2 1 0nnaa,即 2 2 1 2112nn naa , 同理可得 2 3 2 2 2 1 2n n n na a a a 且 2 3 2 2 2 1 2n n n na a a a ,所以 2 1 2 212nn naa , 15 / 17 则当 2nm *mN 时 , 2 1 3 2 4 3 2 2 12 3 2 11 1 1 1, , , ,2 2 2 2mm ma a a a a a a a ,这 21m 个等式相加可得 21 1 3 2 1 2 4 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2m mmaa 2 1 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 112 2 4 2 2 4 113 3 2 44 mm m 2 21 41 3 3 2m ma 当 21nm时 , 2 1 3 2 4 3 2 1 22 3 21 1 1 1, , , ,2 2 2 2mm ma a a a a a a a ,这 2m 个等式相加 可得 1 11 3 2 1 2 4 21 1 1 1 12 2 2 2maa 2 1 2 2 2 1 1 1 1 112 2 4 2 2 4 113 3 2 44 mm m 21 2 41 3 3 2m ma ,当 0m 时 , 1 1a 符合 ,故 21 22 41 3 3 2m ma 综上 1 1 41, 3 3 2 41, 3 3 2 n n n n a n 为 奇 数 为 偶 数 21如图 7, O为坐标原点 ,椭圆 1 :C 22 2210 xy ab ab 的左右焦点分别为 12,FF,离心率为 1e ;双曲 线 2 :C 22 221 xy ab的左右焦点分别为 34,FF,离心率为 2e ,已知 12 3 2ee ,且 24 31FF （ 1） 求 12,CC的方程 ; （ 2） 过 1F 点的不垂直于 y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点 ,当直线 OM 与 2C 交于 ,PQ两点时 ,求四边形 APBQ 面积的最小值 21【答案】 （ 1） 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 x y （ 2） 4 16 / 17 【解析】解 :（ 1） 由题可得 22 121 , 1 bbee aa ,且 2212 2F F a b,因为 12 32ee ,且 2 2 2 2 24F F a b a b , 所以 22 22 311 2 bb aa 且 2 2 2 2 31a b a b 2ab 且 1, 2ba,所以椭圆 1C 方程为 2 2 1 2 x y,双曲线 2C 的方程为 2 2 1 2 x y （ 2） 由 （ 1） 可得 2 1,0F ,因为直线 AB 不垂直于 y 轴 ,所以设直线 AB 的方程为 1x ny,联立直 线与椭圆方程可得 222 2 1 0n y ny ,则 22 2AB nyyn ,则 2 2m ny n ,因为 ,MMM x y 在 直线 AB 上 ,所以 2 22 21 M nx nn ,因为 AB 为焦点弦 ,所以根据焦点弦弦长公式可得 2 1 2 222 2 2 2 2 2M nAB e x n 2 2 4 2 1 2 n n ,则直线 PQ 的方程为 2M M y ny x y x x , 联立直线 PQ 与双曲线可得 2 2 20 2 nxx 2 2 8 4x n , 2 2 2 2 4 ny n 则 24 0 2 2nn ,所以 ,PQ的坐标为 22 2 2 2 2 8 2 8 2, , , 4 4 4 4 nn n n n n ,则点 ,PQ到直线 AB 的距 离为 2 22 1 2 281 44 1 nn nnd n , 2 22 2 2 281 44 1 nn nnd n ,因为点 ,QP 在直线 AB 的两端所以 22 22 2 12 2 2 228 2244 4 11 nn n nn n dd ,则四边形 APBQ 面积 1212S AB d d 2 2 18 4 n n 2 581 4 n ,因为 24 4 0n ,所以当 2 42nn 时 , 四边形 APBQ 面积取得 最小值为 4 22已知常数 0a ,函数 2ln 1 2xf x ax x （ 1） 讨论 fx在区间 0, 上的单调性 ; （ 2） 若 fx存在两个极值点 12,xx,且 120f x f x,求 a的取值范围 【解析】解 :（ 1） 对函数 fx求导可得 17 / 17 24 1 2afx ax x 2 2 2 4 1 12 a x ax ax x 2 2 41 12 ax a ax x ,因为 21 2 0ax x ,所 以当 10a时 ,即 1a 时 , 0fx 恒成立 ,则函数 fx在 0, 单调递增 ,当 1a 时 , 210 aaf x x a , 则函数 fx 在 区 间 210, aaa 单调递减 , 在 21aa a 单调递增的 （ 2 ） 解 : （ 1 ） 对函数 fx求导可得 2 4 1 2 afx ax x 2 2 2 4 1 12 a x ax ax x 2 2 41 12 ax a ax x ,因为 21 2 0ax x ,所以当 10a时 ,即 1a 时 , 0fx 恒成立 ,则函 数 fx在 0, 单调递增 ,当 1a 时 , 210 aaf x x a ,则函数 fx在区间 210, aa a 单调递减 ,在 21aa a 单调递增的 （ 2） 函数 fx的定义域为 1 ,a ,由 （ 1） 可得当 01a时 , 210 aaf x x a , 则 21aa a 1 a 1 2a ,则 21aa a 为函数 fx的两个极值点 , 12ln 1 2 1 ln 1 2 1 4 1f x f x a a a a a a ln 1 4 1 4 1a a a a , 因为 1 12 a或 10 2a , 则 101 2aa , 则设 1t a a 10 2t,则 212ln 1 4 4f x f x t t , 设函数 2ln 1 4 4g x x x 10 2t, 后续有待更新 !