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第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4 )( 2 )( 1 ( ) ( ) ( * + + + = s s s K s H s G 试证明点 3 1 1 j s + = 在根轨迹上，并求出相应 的根轨迹增益 * K 和开环增益K 。 解 若点 在根轨迹上，则点 应满足相角条 件 1 s 1 s ) 1 2 ( ) ( ) ( + = k s H s G ，如图解 4-1 所示。 对于 3 1 j s + = ，由相角条件 = ) ( ) ( 1 1 s H s G = + + + + + + ) 4 3 1 ( ) 2 3 1 ( ) 1 3 1 ( 0 j j j = 6 3 2 0 满足相角条件，因此 3 1 1 j s + = 在根轨迹上。将 代入幅值条件： 1 s 1 4 3 1 2 3 1 1 3 1 ) ( * 1 1 = + + + + + + = j j j K s H s G ） （ 解出 ： 12 * = K ， 2 3 8 * = = K K 4-2 已知开环零、极点如图 4-22 所示，试绘制相应的根轨迹。 （） （） （） （） 1 （） （） （） （） 题 4-22图 开环零、极点分布图 解 根轨如图解 4-2 所示： 图解 4-2 根轨迹图 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ) 1 5 . 0 )( 1 2 . 0 ( ) ( + + = s s s K s G ) 3 )( 2 ( ) 5 ( ) ( * + + + = s s s s K s G ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( + + = s s s K s G 2解 ) 2 )( 5 ( 10 ) 1 5 . 0 )( 1 2 . 0 ( ) ( + + = + + = s s s K s s s K s G 系统有三个开环极点： , 0 1 = p 2 2 = p , 5 3 = p 实轴上的根轨迹： , ( 5 , 0 , 2 渐近线： = + = = = , 3 3 ) 1 2 ( 3 7 3 5 2 0 k a a 分离点： 0 2 1 5 1 1 = + + + + d d d 解之得： ， (舍去)。 88 . 0 1 = d 7863 . 3 2 d 与虚轴的交点：特征方程为 0 10 10 7 ) ( 2 3 = + + + = k s s s s D 令 = + = = + = 0 10 ) ( Im 0 10 7 ) ( Re 3 2 j D k j D 解得 = = 7 10 k 与虚轴的交点（0， j 10 ） 。 根轨迹如图解 4-3(a)所 示。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 3 , 5 0 , 2 渐近线： = + = = = 2 2 ) 1 2 ( 0 2 ) 5 ( 3 2 0 k a a 分离点： 5 1 3 1 2 1 1 + = + + + + d d d d 用试探法可得 886 . 0 = d 。根轨迹如图解 4-3(b)所示。 3 ) 2 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( + + = + + = s s s K s s s K s G 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , ( 1 , 0 , 5 . 0 分离点： 1 1 5 . 0 1 1 + = + + d d d 解之得： 。根轨迹如图解 4-3(c)所示。 707 . 1 , 293 . 0 = = d d 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 ) 2 1 )( 2 1 ( ) 2 ( ) ( * j s j s s K s G + + + + = ) 10 10 )( 10 10 ( ) 20 ( ) ( * j s j s s s K s G + + + + = 解 ) 2 1 )( 2 1 ( ) 2 ( ) ( * j s j s s K s G + + + + = 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： ( 2 , 分离点： 2 1 2 1 1 2 1 1 + = + + + + d j d j d 解之得： 23 . 4 = d 起始角： 43 . 153 90 435 . 63 180 1 = + = p 由对称性得另一起始角为 。 43 . 153 根轨迹如图解 4-4(a)所示。 ) 10 10 )( 10 10 ( ) 20 ( ) ( * j s j s s s K s G + + + + = 系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 0 , 20 4 起始角： = + = 0 135 90 45 180 根轨迹如图解 4-4(b)所示。 4- 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 ) 20 8 ( ) ( ) ( 2 + + = s s s K s H s G ) 5 )( 2 )( 1 ( ) ( ) ( + + + = s s s s K s H s G ) 2 2 )( 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 + + + + = s s s s s K s H s G ) 16 4 )( 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 + + + = s s s s s K s H s G 解 ) 20 8 ( ) ( ) ( 2 + + = s s s K s H s G 实轴上的根轨迹： ( 0 , 渐近线： = + = = + + + = , 3 3 ) 1 2 ( 3 8 3 ) 2 4 ( ) 2 4 ( 0 k j j a a 分离点： 0 2 4 1 2 4 1 1 = + + + + + j d j d d 解之得： 33 . 3 , 2 = = d d 。 与虚轴交点： + + + = K s s s s D 20 8 ) ( 2 3 把 j s = 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得： = = = = 0 20 ) ( Im( 0 8 ) ( Re( 3 2 j D K j D 5解得： = = 0 0 K = = 160 5 2 K 起始角：由相角条件 ， 。 63 2 = p 63 3 = p 根轨迹如图解 4-5(a)所示。 ) 5 )( 2 )( 1 ( ) ( ) ( + + + = s s s s K s H s G 实轴上的根轨迹： , 2 , 5 0 , 1 渐近线： = + = = + + + = 4 3 , 4 4 ) 1 2 ( 2 4 ) 1 ( ) 2 ( ) 5 ( 0 k a a 分离点： 0 5 1 2 1 1 1 1 = + + + + + + d d d d 解之得： 54 . 1 , 399 . 0 , 06 . 4 3 2 1 = = = d d d (舍去)； 与虚轴交点： + + + + = K s s s s s D 10 17 8 ) ( 2 3 4 令 j s = ，带入特征方程，令实部，虚部分别为零 = + = = + = 0 5 ) 6 ( ) ( Im( 0 2 8 ) ( Re( 3 2 4 K j D K j D 解得： = = 0 0 K = = 7 . 19 12 . 1 K 根轨迹如图解 4-5(b)所示。 ) 2 2 )( 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 + + + + = s s s s s K s H s G 系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 3 , 0 , 2 6 渐近线： = + = = + + + = , 3 3 ) 1 2 ( 1 3 ) 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 3 k j j a a 与虚轴交点：闭环特征方程为 ) 2 ( ) 2 2 )( 3 ( ) ( 2 + + + + + = s K s s s s s D 把 j s = 代入上方程，令 = + = = + = 0 5 ) 6 ( ) ( Im( 0 2 8 ) ( Re( 3 2 4 K j D K j D 解得： = = 0 0 K = = 03 . 7 61 . 1 K 起始角 = + = 57 . 25 57 . 25 135 90 45 180 3 p 根轨迹如图解 4-5(c)所示。 ) 16 4 )( 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 + + + = s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 1 , 1 , 0 渐近线： = + = = + + + = , 3 3 ) 1 2 ( 3 2 3 ) 1 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( 1 k j j a a 分离点： 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 + = + + + + + + d j d j d d d 解得： 16 . 2 76 . 0 , 49 . 0 , 26 . 2 4 3 2 1 j d d d = = = 、 ( 舍去) 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 ) 1 ( ) 16 4 )( 1 ( ) ( 2 = + + + + = s K s s s s s D 把 j s = 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 7 = = = + = 0 3 ) 16 ( ) ( Im( 0 12 ) ( Re( 3 2 4 K j D K j D 解得： = = 0 0 K = = 7 . 21 38 . 1 K = = 3 . 37 66 . 2 K 起始角： 79 . 54 89 . 130 120 90 1 . 106 180 3 = + = p 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解 4-5(d)所示。 79 . 54 4- 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 ) 20 )( 10 ( ) ( ) ( 2 + + + = s s s z s K s G 产生纯虚根为 1 j 的 值和 z K 值； （2）概略绘出 ) 2 3 )( 2 3 )( 5 . 3 )( 1 ( ) ( j s j s s s s K s G + + + + + = 的闭环根轨迹图（要求 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角） 。 解（1）闭环特征方程 0 200 30 ) ( ) 20 )( 10 ( ) ( 2 3 4 2 = + + + + = + + + + = z K s K s s s z s K s s s s D 有 0 ) 30 ( ) 200 ( ) ( 3 2 4 = + + = K j z K j D 令实虚部分别等于零即： = = + 0 30 0 200 3 2 4 K z K 把 1 = 代入得： ， 30 = K 30 199 = z 。 （2）系统有五个开环极点： 2 3 , 2 3 , 5 . 3 , 1 , 0 5 4 3 2 1 j p j p p p p = + = = = = 实轴上的根轨迹： , 5 . 3 , 0 , 1 渐近线： 1 3.5 ( 3 2) ( 3 2) 2.1 5 (2 1) 3 , 555 a a jj k + + = + = 8 分离点： 0 2 3 1 2 3 1 5 . 3 1 1 1 1 = + + + + + + + + + j d j d d d d 解得： , (舍去) , 45 . 0 1 = d 4 . 2 2 d 90 . 1 25 . 3 4 3 j d = 、 (舍去) 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 ) 2 3 )( 2 3 )( 5 . 3 )( 1 ( ) ( = + + + + + + = K j s j s s s s s D 把 j s = 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： = + = = + = 0 5 . 45 5 . 43 ) Im( 0 5 . 79 5 . 10 ) Re( 3 5 2 4 j K j 解得： ， ， （舍去） = = 0 0 K = = 90 . 71 02 . 1 K = = 3 . 15546 52 . 6 K 起始角：根据法则七（相角条件） ，根轨迹的起始角为 图解4-6 根轨迹图 74 . 92 3 . 146 135 90 96 . 75 180 4 = = p 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解 4-6所示。 74 . 92 4- 已知控制系统的开环传递函数为 2 2 ) 9 4 ( 2 ) ( ) ( + + + = s s s K s H s G ） （ 试概略绘制系统根轨迹。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 2 , 渐近线： = + = = + = , 3 3 ) 1 2 ( 3 2 3 ) 2 ( 5 2 5 2 k j j a a 图解4-7 根轨迹图 分离点： 2 1 5 2 2 5 2 2 + = + + + + d j d j d 9解之得： ( 舍去) 29 . 3 = d 71 . 0 = d 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 2 ) 9 4 ( ) ( 2 2 = + + + + = ） （s K s s s D 把 j s = 代入上方程，令 = + = = + + = 0 8 ) 72 ( ) ( Im( 0 2 81 34 ) ( Re( 3 2 4 K j D K j D 解得： = = 96 21 K 起始角： ） （ ） （ 1 2 90 2 2 90 1 + = k p 解出 135 , 45 2 1 = = p p 根轨迹如图解 4-7 所示。 4- 已知系统的开环传递函数为 ) 9 3 ( ) ( 2 + + = s s s K s G 试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K 值范 围。 图解4-8 根轨迹图 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： ( 0 , 起始角： 30 渐近线： = + = = + = , 3 3 ) 1 2 ( 1 3 6 . 2 5 . 1 6 . 2 5 . 1 k j j a a 与虚轴交点：闭环特征方程 0 ) 9 ( ) ( 2 = + + + = K s s s s D 把 j s = 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 10 = = = = 0 9 ) ( Im( 0 3 ) ( Re( 3 2 j D K j D 解得： = = 0 0 K = = 27 3 K 根轨迹如图解 4-8 所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的 K 范围为 ，又 27 0 K 9 * K K = ，故相应的的K 范围为 3 0 K 。 4- 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 1 7 4 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( 2 + + = s s s K s G 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K 值范围。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 4 / 7 , 5 . 0 图解4-9 根轨迹图 渐近线： = + = = + = 2 2 ) 1 2 ( 4 1 2 ) 5 . 0 ( 4 / 7 1 1 k a a 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 1 ) 7 10 2 ( 7 1 7 4 ) ( 2 3 = + + + = K s K s s s D 把 j s = 代入上方程，令 = = = = 0 7 4 ) 7 10 2 ( ) ( Im( 0 7 1 1 ) ( Re( 3 2 K j D K j D 解得： ， = = 1 0 K = = 7 9 2 K 根轨迹如图解 4-9 所示。由图解 4-9 可知使系统稳定的K 值范围为 7 9 1 K 。 114-10 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5 . 0 )( 2 ( ) 5 2 ( ) ( 2 + + = s s s s K s G 试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K 值范围。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 5 . 0 , 2 分离点：由 2 1 1 2 1 1 2 1 5 . 0 1 j d j d d d + + = + + 解得： 。 41 . 0 1 = d 与虚轴交点： 0 ) 5 2 ( ) 5 . 0 )( 2 ( ) ( 2 = + + + + = s s K s s s D 把 s=j 代入上方程，令 = = = + + = 0 ) 2 5 . 1 ( ) ( Im( 0 1 5 ) 1 ( ) ( Re( 2 K j D K K j D 图解4-10 根轨迹图 解得： = = 2 . 0 0 K = = 75 . 0 25 . 1 K 根轨迹如图解 4-10 所示。由图解 4-10 可知系统稳定的 K 值范围为 ；又 ， 75 . 0 2 . 0 K = K K 5 所以系统稳定的K 值范围为 75 . 3 1 K 。 4-11 试绘出下列多项式方程的根轨迹。 ； 0 2 3 2 2 3 = + + + + K Ks s s s 0 10 ) 2 ( 3 2 3 = + + + + K s K s s 解 0 2 3 2 2 3 = + + + + K Ks s s s 作等效开环传递函数 s s s s K s G 3 2 ) 2 ( ) ( 2 3 * + + + = 。 根轨迹绘制如下： 12 实轴上的根轨迹： 0 , 2 渐近线： = + = = + + = 2 2 ) 1 2 ( 0 2 ) 2 ( ) 2 1 ( 2 1 k j j a a 起始角： 48 . 19 26 . 125 90 74 . 54 180 1 = + = p 根轨迹如图解 4-11(a)所示。 图解4-11(b) 根轨迹图 (2) 0 10 ) 2 ( 3 2 3 = + + + + K s K s s 作等效开环传递函数 s s s s K s G 2 3 ) 10 ( ) ( 2 3 * + + + = 。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 2 , 10 0 , 1 ； 渐近线： = + = = = 2 2 ) 1 2 ( 5 . 3 2 ) 10 ( 2 1 k a a 分离点： 10 1 2 1 1 1 1 + = + + + + d d d d 解得 4344 . 0 1 = d , (舍), 4752 . 14 2 = d 5904 . 1 3 = d (舍) 图解4-11(a) 根轨迹图 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 10 ) 2 ( 3 ) ( 2 3 = + + + + = K s K s s s D 把 s=j 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： = + = = = 0 ) 2 ( ) ( Im( 0 3 10 ) ( Re( 3 2 K j D K j D 试根可得： 13 = = 0 0 K = = 7 6 69 . 1 K 根轨迹如图解 4-11(b)所示。 4-12 控制系统的结构如图 4-23 所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为 3 ) 2 ( ) 1 ( ) ( + + = s s K s G 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹： , 2 , + , 1 分离点： 1 1 2 3 + = + d d 图解4-12 根轨迹图 解得 5 . 0 = d 起始角：根据相角条件， = = = n j j m i i k 1 1 2 得 ， ， 。 60 1 = p 60 2 = p 180 3 = p 根轨迹如图解 4-12 所示。 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为 ) 2 ( ) 1 ( ) ( + = s s s K s G 试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的 K 值。 解 由开环传递函数的表达式知需绘制 根轨迹。 0 实轴上的根轨迹： , 0 , 2 ) , 1 + ； 分离点： 1 1 2 1 1 = + + d d d 解得： , 732 . 0 1 = d 732 . 2 2 = d 将 , 代入幅值条件得 732 . 0 1 = =d s 732 . 2 2 = =d s 1454 . 0 1 = d K , 46 . 7 2 = d K 与虚轴交点：闭环特征方程为 0 ) 1 ( ) 2 ( ) ( = + + = s K s s s D 把 j s = 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： = = = + = 0 ) 2 ( ) ( Im( 0 ) ( Re( 2 K j D K j D 图解4-13 根轨迹图 解得： = = 0 0 K = = 2 41 . 1 K 根轨迹如图解 4-13 所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距 离为半径的圆 。系统产生重实根的 K 为 0.54，7.46，产生纯虚根的 K 为 2。 4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数， 试绘制参数 从零变化到无穷大时的根轨迹， 并写出 时系统的闭环传递函数。 b 2 = b （1） ) )( 4 ( 20 ) ( b s s s G + + = （2） ) 10 ( ) ( 30 ) ( + + = s s b s s G 图解4-14(a) 根轨迹图 解 （1）做等效开环传递函数 G (s) 20 4 ) 4 ( 2 + + + = s s s b 实轴上的根轨迹： 4 , ( 分离点： 4 1 4 2 1 4 2 1 + = + + + + d j d j d 解得： (舍去)， 472 . 0 1 = d 472 . 8 2 = d 如图解 4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当 时，两个闭环特征根为 2 = b 24 . 4 3 2 , 1 j = 。 此时闭环传递函数为 15) 24 . 4 3 )( 24 . 4 3 ( 20 ) ( j s j s s + + + = （2）做等效开环传递函数 G (s)= ) 40 ( 30 + s s b 实轴上的根轨迹： 0 , 40 图解4-14(b) 根轨迹图 分离点： 0 40 1 1 = + + d d 解得： 20 = d 根轨迹如图解 4-14(b)所示， 当 时，两个闭环特征根为 2 = b 44 . 38 1 = ， 56 . 1 2 = 此时闭环传递函数为 ) 44 . 38 )( 56 . 1 ( ) 2 ( 30 ) ( + + + = s s s s 4-15 已知系统结构图如图 4-24 所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析 参数T 的变化对系统动态性能的影响。 图 4-24 系统结构图 解： s s Ts s G 20 100 ) ( 2 3 + + = 作等效开环传递函数 3 2 * ) 100 20 ( 1 ) ( s s s T s G + + = 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 10 , ( 0 , 10 分离点： 10 2 3 + = d d 解得 。 30 = d 根据幅值条件，对应的 。 015 . 0 = T 虚轴交点：闭环特征方程为 0 100 20 ) ( 2 3 = + + + = s s Ts s D 把 j s = 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 16图解4-15 根轨迹图 = = = = 0 20 ) ( Im( 0 100 ) ( Re( 3 2 T j D j D 解得： = = 2 . 0 10 T 起始角： = 60 1 p 参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图解 4-15所示。 从根轨迹图可以看出，当 015 . 0 0 T 时，系统阶跃响应为单调收敛过程； 时，阶跃响应为振荡收敛过程； 时，有两支根轨迹在 s 右半平面， 此时系统不稳定。 2 . 0 015 . 0 a 180 实轴上的根轨迹： ， 2 , 3 0 , 1 渐近线： = + = = + = 2 1 3 ) 1 2 ( 2 1 3 1 3 2 k a a 分离点： 1 1 3 1 2 1 1 + = + + + + d d d d 解得 47 . 2 = d 分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： 4147 . 0 1 3 2 = + + + = d d d d K d 17根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解 4-16(a)可以看出，当 时，多项式的根全为实数。 4147 . 0 0 a 当 时，需绘制 根轨迹。实轴上的根轨迹区段为： 0 a 0 ( 3 , ， 1 , 2 ， 。 ) , 0 由根轨迹图图解 4-16(b)可以看出，当 0 a 时，多项式的根全为实数。因此所求参数 的范围为 或 。 a 4147 . 0 0 a 0 a 4-17 某单位反馈系统结构图如图 4-25 所示，试分别绘出控制器传递函数 为 ) (s G c * 1 ) ( K s G c = ) 3 ( ) ( * 2 + = s K s G c ) 1 ( ) ( * 3 + = s K s G c 时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器 中，零点 的取值对系统稳定性 的影响。 ) ( ) ( * c c z s K s G + = c z 图4-25 系统结构图 解 时 * 1 ) ( K s G c = 系统开环传递函数为 2) (s ) ( 2 * + = s K s G 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 2 , ( 渐近线： = + = = = , 3 3 ) 1 2 ( 3 2 3 2 k a a 图解4-17(b) 根轨迹图 根轨迹如图解 4-17(a)所示。 ； ) 3 ( ) ( 2 + = s K s G c 系统开环传递函数为 2) (s ) 3 ( ) ( 2 + + = s s K s G ，根轨迹绘制如 下： 实轴上的根轨迹： 2 , 3 18 渐近线： = + = = = 2 2 ) 1 2 ( 2 1 2 ) 3 ( 2 k a a 根轨迹如图解 4-17(b)所示。 ) 1 ( ) ( 3 + = s K s G c 系统开环传递函数为 2) (s s ) 1 ( ) ( 2 + + = s K s G 。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 1 , 2 渐近线： = + = = = 2 2 ) 1 2 ( 2 1 2 ) 1 ( 2 k a a 图解4-17(c) 根轨迹图 根轨迹如图解 4-17(c)所示。 从根轨迹图中可以看出， 比例加微分控制器 的加入使根轨迹向左移 动，且当 ) ( ) ( c c z s K s G + = p z c 时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。 4-18 某单位反馈系统的开环传递函数为 4 ) 1 5 . 0 ( ) ( + = s K s G 试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算 % 3 . 16 % = 时的K 值。 图解 4-18 根轨迹图 解 4 ) 2 ( 16 ) ( + = s K s G 根轨迹绘制如下： 实轴的根轨迹：实轴上的除点 2 外没有根轨 迹区段。 19 渐近线： = + = = = 4 3 , 4 4 ) 1 2 ( 2 4 2 2 2 2 k a a 与虚轴交点：令 0 ) ( = j D ，解得根轨迹与虚轴交点为 2 j 。根轨迹与虚轴交点 对应的根轨迹增益为 64 2 2 4 = + = j K 相应开环增益为 4 16 * = = K K 根轨迹如图解 4-18 所示。 从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益 ，开环增益 64 0 * （ ） ，在 s平面作等阻尼线 OA，使之 与实轴夹角为 。OA 与根轨迹交点为 4 . 66 4 . 0 arccos = = 4 . 66 1 ，其余 2 个交点为 2 ， 3 。 令 n n n n j j 92 . 0 4 . 0 1 2 1 + = + = 则 n n n n j j 92 . 0 4 . 0 1 2 2 = = 特征方程为 3 2 3 2 2 3 3 3 2 1 ) 8 . 0 ( ) 8 . 0 ( ) )( )( ( ) ( n n n n s s s s s s s D + + = = + + + + = K s s s 6 8 5 2 3 比较系数得 + = = = K n n n n 6 8 8 . 0 5 8 . 0 3 2 3 2 3 解得 = = = 8 . 4 616 . 3 73 . 1 3 K n 由调节时间 , 又 s t s 10 5 . 3 5 . 3 = n n s t ，当 35 . 0 = n 时，由根之和可得 3 . 4 3 = ，由幅值条件确定出对应的 。要求闭环系统的最大超调 5 . 15 = K % 25 % ， 调节时间 ，则 s t s 10 K 取值范围对应为 。 8 . 4 0 K 21