概率统计期末试卷A.pdf

- A 卷 共 10 页 第 1 页 - 复旦大学管理学院 2014 2015学年第一学期期 末 考试试卷 A卷 B卷 课程名称： 概率论与数理统计 课程代码： MANA130001.(01,02,03) 开课院系：管理学院 考试形式：闭卷 姓名： 学号： 专业： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 注意事项 1. 答卷时间 120分钟，试题 共 10页 。 答 案必须写在 第 1至第 9页 上 ，写 在 其他 纸上无效。 2. 解题用到的 标准 正态、 2、 F、 t分布的分位点请在第 10页的附表中查。 一、 填空 (每空 2分 ， 共 20分 ) 1. 一个班上有 10位男生、 6位女生 ， 他们用抽签的办法选出 3位同学参加体 育测试。 那么至少 抽中 一 位女生 的概率为 。 2. 设 随机事件 A、 B、 C 相互独立 ， 1 1 1( ) , ( ) , ( )4 3 2P A P B P C 。则 这 三个事件都不发生的概率为 。 3. 设 16,XX i.i.d. Poi( )，则 6 1 ii X 的分布为 。 4. 1 25,XX i.i.d.，已知 2( ) 1, 5E X EX。令 25 1 iiSX 。 由 中心极限 定理 知 ， ( 15)PS (用 (0,1)N 的分布函数 表示 )。 5. 设 1,nXX是来自 2(0, )N 的样本 ， 则 2 的矩估计 为 ， 该估计量的偏倚为 。 6. 设 1,nXX i.i.d. B(1, )， (0,1) 是未知参数 。 根据中心极限定理构造 的 的置信水平近似为 1 的置信区间为 。 7. 1 2 5, , i.i.d . ( ,1)X X N ， 为未知参数。检验 01: 0 . . : 0H v s H。 根据样本数据算得 0.4X ，则 在 显著性水平取 0.05 时， 应 （拒 绝 /接受） 0H ，相应的 p 值 （小于 /等于 /大于） 0.05。 8. 若 假设检验 的结论是 接受原假设 ，那么该结论可能 （多选） ： 。 1)不犯错误； 2)只 犯第 I 类错误； 3)只 犯第 II 类错误； 4)同时犯两类错误。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 姓名： 学号： - A 卷 共 10 页 第 2 页 - 二、 (15 分 ) 设 A, B 是两个随机事件，且 111( ) , ( | ) , ( | )432P A P B A P A B 。 令 1, ,0, AX 若 发 生否 则 。 1, ,0, BY 若 发 生否 则 。 求： (1) 随机向量 ( , )XY 的联合分布列 ； (2) X 与 Y 的相关系数 ； (3) 22Z X Y的分布列 。 概率论与数理统计 2015.1 - A 卷 共 10 页 第 3 页 - 三、 (10分 ) 随机向量 ( , )XY 的联合密度函数为 8 , 0 1 , 2 , ( , ) 3 0 , . xy x x y x f x y e ls e 求： (1) 1( 1| )2P Y X。 (2) 2ZX 的密度函数 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 姓名： 学号： - A 卷 共 10 页 第 4 页 - 四、 (15 分 ) 已知某 种 电器 的 寿命 X 的 总体分布为 指数分布， 密度函数为 , if 0 ,() 0 , e ls e ,xexpx 其中 0 未知。现抽取一个简单随机样本 1,nXX， 欲估计未知参数 var( )X 。求： 1) 的 最 大似然估计 MLE 。 2) MLE 是否是 的无偏估计？ 如果是，请给出证明；如果不是，请根据 MLE 构造一个 的无偏估计。 3) 是否是 的相合估计？为什么？ 概率论与数理统计 2015.1 - A 卷 共 10 页 第 5 页 - 五、 (20 分 ) 研究表明， 声 音反射 对人 识别 英语辅音有 干扰 。 研究者针对 某个 很 大的特定群体， 在 以英语为母语 的人 中 (A 组 )、 以及 在 以英语为第二语言 的 人 中 (B 组 )各 随机 抽 了 10 人 进行测试， 各人的辅音 识别 能力测试 值 记录 如下： 组别 辅音 识别 能力测试 值 1n ii x 21n ii x A 组 93 85 89 81 88 88 89 85 85 87 870 75784 B 组 76 84 78 73 78 76 70 82 79 77 773 59899 假定 该特定群 体中 A、 B 两组人的辅音识别能力均服从正态分布。 (1) 请用恰当的假设检验方法说明： A、 B 两组 人 的 辅音识别能力 的 总体方差 是否存在显著差别。显著性水平取 0.10。 (请写出 必要的假定、 原假设 与 备择假设 、 检验规则 、 检验 结论及其 解释。 ) (2) 假定两组的总体方差相同 ， 请 用恰当的方法给出 两组 总体均值之差 的置 信水平为 95% 的置信区间 。 并判断两组总体均值的差异是否显著。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 姓名： 学号： - A 卷 共 10 页 第 6 页 - 概率论与数理统计 2015.1 - A 卷 共 10 页 第 7 页 - 六、 (10 分 ) 以往的调查表明，某地区成年男子身高 X (单位：英寸 )的总体分 布为 (68,1)N 。最近从该地区的成年男子中随机抽取了 500 人，测得他们的身 高情况如下： 身高区间 (单位：英寸 ) 人数 69 73 合计 500 请根据样本数据、用 2 检验法判断：最近 X 的总体分布是否依然是 (68,1)N ？ 显著性水平取 0.05。（请写出原假设与备择假设、检验规则（包括检验统计量、 临界值等）；检验的计算过程及结果；对检验结论的简单解释。） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 姓名： 学号： - A 卷 共 10 页 第 8 页 - 七 、 (10 分 ) Brownlee (1960) 研究发现，某些路段上汽车的制动距离的平方根 y 与速度 x 呈线性相关关系。他做了 6 次试验，数据如下： x y 20.5 3.92 20.5 3.65 30.5 5.82 40.5 8.55 48.8 10.63 57.8 11.94 用最小二乘法拟合 y 关于 x 的一元线性回归模型： 01 , 1 , ,i i iy x i n ， 计算得到下列统计量的值： 6 2 4 2 422 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )3 6 . 4 3 3 7 . 4 1 8 6 1 . 0 31 1 6 8 . 9 5 3 2 6 6 . 1 94 8i i i ii i ix y x x y y y y x x 求： 1) 01, 的最小二乘估计； 2) 请用 F 检验法检验回归方程的显著性。（注意：写出 必要的假定、 原假设 与备择假设、方差分析表、显著性水平为 0.05 时的检验 规则、检验 结论。） 概率论与数理统计 2015.1 - A 卷 共 10 页 第 9 页 - （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 姓名： 学号： - A 卷 共 10 页 第 10 页 - 附表 1. 标准正态分布分布函数表 x 0.5 1 1.5 2 1.282 1.645 1.96 2.328 (x) 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.90 0.95 0.975 0.99 附表 2. 2 分布表 注： 第一列 (df)表示 2分布的 自由度，第一行 (p)表示概率值 。 “ df”行与“ p” 列交叉格中的 数据 c 的含义为 2P( ( ) )df c p 。 df p 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 1 0.001 0.004 0.016 2.706 3.841 5.024 2 0.051 0.103 0.211 4.605 5.991 7.378 3 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 4 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 5 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.833 6 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 58 38.844 41.492 44.696 72.160 76.778 80.936 59 39.662 42.339 45.577 73.279 77.931 82.117 附表 3. F 分布表 注：第一列 (n)、 第二列 (m) 分别表示 F 分布 的 分子、分母自由度，第一行 (p)表示概率值。 “ n、 m”行与“ p” 列交叉格中的数据 c 的 含义为 P( ( , ) )F n m c p。 附表 4. t 分布表 注：第一列 (df) 表示 t 分布的自由度， 第一行 (p)表示概率值。 “ df”行与“ p” 列交叉格中的数据 c 的含义为 P( ( ) )t df c p。 p p n m 0.900 0.950 0.975 df 0.900 0.950 0.975 1 3 5.538 10.128 17.443 9 1.383 1.833 2.262 1 4 4.545 7.709 12.218 10 1.372 1.812 2.228 1 5 4.060 6.608 10.007 11 1.363 1.796 2.201 1 6 3.776 5.987 8.813 12 1.356 1.782 2.179 2 3 5.462 9.552 16.044 13 1.350 1.771 2.160 2 4 4.325 6.944 10.649 14 1.345 1.761 2.145 2 5 3.780 5.786 8.434 15 1.341 1.753 2.131 2 6 3.463 5.143 7.260 16 1.337 1.746 2.120 8 8 2.589 3.438 4.433 17 1.333 1.740 2.110 9 9 2.440 3.179 4.026 18 1.330 1.734 2.101 10 10 2.323 2.978 3.717 19 1.328 1.729 2.093 11 11 2.227 2.818 3.474 20 1.325 1.725 2.086 15 15 1.972 2.403 2.862 21 1.323 1.721 2.080 16 16 1.928 2.333 2.761 22 1.321 1.717 2.074 17 17 1.889 2.272 2.673 23 1.319 1.714 2.069 18 18 1.854 2.217 2.596 24 1.318 1.711 2.064