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1 太原 市 2016-2017 学年第 一学期高二年级期 末考试 数学试 卷（ 文科） （考试 时间：上午 8:00-9:30 ） 一 填空题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1. 命题“ 若 2 x ，则 1 x ” 的否命题 为( ) A 若 2 x ，则 1 x B 若 2 x ，则 1 x C 若 1 x ，则 2 x D 若 1 x ，则 2 x 答案：B 考点：命题的四种形式 解析：否命题 要求命题的条件和结论都要否定，故选 B 2. 抛物线 x y 4 2 的准线方程为（ ） A 1 x B 1 x C 1 y D 1 y 答案： B 考点：抛物线的准线 解析：由抛物线方程可知焦点在x 轴 正 半 轴 ， 根 据 抛 物 线 的 准 线 求 法 可 得 准 线 方 程 为 1 x 3. “ b a ” 是“ 2 2 b a ” 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件条件 D 既不充分也不必要条件 答案：D 考点：充分必要条件 解析： 当ab 时， 22 ab 不一定成立； 反之， 当 22 ab 时，ab 也不一定成立， 故为 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆C 经过点 ) 2 , 0 ( ), 0 , 1 ( ，则椭圆C 的标准方程为（ ） A 1 2 2 2 y x B 1 2 2 2 y x C 1 4 2 2 y x D 1 4 2 2 y x 答案：C 考点：椭圆的标准方程 解析：由题意可知椭圆方程中的 12 ab ， ，故椭圆方程为 2 2 1 4 y x 2 5. 已知函数 x x x f cos ) ( ，则 ) 2 ( f 的值为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 答案：A 考点：求导运算 解析：由已知得 ( ) cos ( sin ) cos sin f x x x x x x x ， 故 ( ) cos sin 2 2 2 2 2 f 6. 焦点在x 轴上，且渐近线方程为 x y 2 的双曲线方程为（ ） A 1 4 2 2 y x B 1 4 2 2 y x C 1 4 2 2 x y D 1 4 2 2 x y 答案：A 考点：双曲线的标准方程 解析：已知焦点在x 轴上时，可以排除 C 、D 选项 又渐近线方程为 b yx a ，即 2 b a 故双曲线方程为 2 2 1 4 y x ，选 A 7. 已知函数 ) (x f y 的图象与直线 8 x y 相切于点 ) 5 ( , 5 ( f ，则 ) 5 ( ) 5 ( f f 等于 A 1 B 2 C 0 D 2 1 答案：B 考点：导数的几何意义 解析：由已知得 (5) 5 8 3 f ， (5) 1 f ， 故 (5) (5) 2 ff ，选 B 8. 已知椭圆 ) 2 0 ( 1 4 2 2 2 b b y x 的 左 右 焦 点 分 别 为 2 1 ,F F ，直线l 过 2 F 且 与 椭 圆 相 交 于 不同的两点 B A, ，则 1 ABF 的周长 A 是定值 4 B 是定值8 C 不是定值，与直线l 的倾斜角大小有关 D 不是定值，与b 的取值大小有关 答案：B 3 考点：椭圆的焦点三角形 ；椭圆的第一定义 解析：由椭圆方程可知： 2 a ，故根据椭圆第一定义可得 1 ABF 的周长为48 a 9. 已知函数 32 () f x ax bx cx d 的图像如图所示，则下列结论成立的是 （ ） A 0 , 0 , 0 d c a B 0 , 0 , 0 d c a C 0 , 0 , 0 d c a D 0 , 0 , 0 d c a 答案：C 考点：函数的图像 解析：函数图像与y 轴交点在负半轴，所以 0 d 函数图像为先减再增再减，其导函数应为开口朝下的二次函数，所以 0 a 且在与y 轴交点处的斜率小于 0 ，对应的导函数的 0 c 10. 对 于 双 曲 线 2 2 2 2 12 11 9 16 16 9 x y y x CC ： 和 ： ， 给 出 下 列 四 个 结 论 ； （1 ） 离 心 率 相 等 ； （2）渐近线相同； （3）没有公共点； （4）焦距相等. 其中正确的结论是 （ ） A (1)(2)(4) B (1)(3)(4) C (2)(3)(4) D (2)(4) 答案：C 考点：圆锥曲线 解析： （1）由离心率公式可得 12 34 55 ee ， ，故（1）错误 （2 ） 22 1 1 9 16 xy C ： 渐近线方程为 3 4 yx ； 22 2 1 16 9 yx C ： 其渐近线方程也为 3 4 yx 所以它 们的渐近线相同 故（2）正确 （3）它们为共轭双曲线，所以 它们没有公共点 故 （3）正确 （4）焦点分别为 50 （ ， ） 、 05 （ ， ） ，所以 它 们的焦距相同 故 （4）正确 综上 结论正确的是（2）（ 3）（ 4）选 C 4 11. 若函数 x y e ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A 1 a B e a 1 C 1 a D e a 1 答案：C 考点：导函数的极值点 解析：令 0 x y e a ，解得 ln( ) xa 因为 x y e ax 有大于零的极值点，所以 ln( ) 0 xa 则实数a 的取值范围是 1 a 故选 C 12 已知 p ： “ 0 , 2 , 1 2 a x x ” ， q ： “ R x ， 使得 0 2 2 2 a ax x ” ， 那么命题“ q p ” 为真命题的充要条件为 （ ） A 2 a 或 1 a B 2 a 或 2 1 a C 1 a D 1 2 a 答案：A 考点：复合命题真假判断；恒成立与存在 性问题 解析： p ： 1,2 x ， 2 0 xa 恒成立， 等价于 2 ax 在 1,2 x 恒成立，即 2 min ( ) 1 ax 故 当 p 为真命题， 1 a q ： “ xR ， 2 2 2 0 x ax a ” 若 q 成立，则 22 (2 ) 4(2 ) 4 4 8 0 a a a a 解得21 a 故 当q 为真命题， 2 a 或 1 a 综上：由pq ” 为真命题可得： 2 a 或 1 a ，选 A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 命题“ 若 3 x ，则 3 x ” 的真假为 （填“ 真” 或“ 假 ” ）. 答案：真 考点：命题真假的判断 5 解析： 可由逆否命题的真假得到原命题的真假， 该命题的逆否命题为： 若 3 x ，则 3 x ， 其逆否命题是真命题，则原命题也是真命题. 14.双曲线 22 1 xy 的离心率为 . 答案： 2 考点：双曲线的离心率 解析：该双曲线中， 1 1 1 2 ac ， ，故离心率 2 c e a 15.已知 ln f x x x ，若 0 ( ) 2 fx ，则 0 x = . 答案：e 考点：导函数的求值问题 解析：导函数 ln 1 f x x ，则 0 0 0 ln 1 2 f x x x e ， 16.椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 FF ， ，点P 在椭圆上，若 1 4 PF ，则 12 FPF . 答案： 2 3 （也可填120 ） 考点：椭圆的焦半径，焦点三角形 解 析 ：可 设点P 的 坐 标为 00 xy ， 椭 圆 的焦 半径 1 0 0 7 34 3 PF a ex x ， 0 3 = 7 x 点P 在椭圆上， 则 0 23 7 y ， 由焦点三角形的面积公式可得： 2 12 0 tan 2 FPF S c y b ， 代入，可得 12 2 3 FPF . 三、 解答题 （本大题共 5 小题， 共 48 分， 解答应写 出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 17. （本小题满分 8 分） 已知命题： : , 0 p x R x x ； : q 关于x 的方程 2 10 x mx 有实数根. (1) 写出命题 p 的否定，并判断命题 p 的否定的真假； (2) 若命题“pq ” 为假命题，求实数 m 的取值范围. 考点：命题的否定，命题真假判断以及复合命题真假判断 解析：(1) 命题 p 的否定形式 p ： 0 0 0 ,0 x R x x . 6 对于命题 p ， xR ，恒有 0 xx ，故 p 为真，则 p 为假. (2) 由于 p 为真，pq 为假， 则q 为假， 即关于x 的方程 2 10 x mx 没有实数根， 所以 22 4 4 0 b ac m ，解得22 m . 故实数m 的取值范围为22 m . 18. （本小题满分 10 分） 已知函数 ax x x x f 2 3 3 1 ) ( 在 1 x 时取极值. （1）求实数a 的值; （2）求函数 ) (x f y 在区间 0 , 2 上的最大值和最小值. 考点：导数的单调性与最值 解析： （1 ）由已知得 2 ( ) 2 f x x x a 又函数在 1 x 处取得极值，故 ( 1) 0 f 即1 2 0 a ，解得 3 a （2）由（1）可知 32 1 ( ) 3 3 f x x x x 故 2 ( ) 2 3 f x x x 令 ( ) 0 fx ，解得 1 x 或 3 x 当 2, 1 x 时， ( ) 0 fx ， () fx 单调递增 当 1,0) x 时， ( ) 0 fx ， () fx 单调递减 又 2 ( 2) 3 f ， 5 ( 1) 3 f 故 () fx 在 1 x 取得最大值， 5 ( 1) 3 f () fx 在 2 x 取得最小值， 2 ( 2) 3 f 19.（本小题满分 10 分） 已知抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p 上一点 1 My （ ， ） 到焦点F 的距离为 17 16. （1）求 p 的值； （2）若圆 1 ) ( 2 2 y a x 与抛物线C 有公共点，结合图形求实数a 的取值范围. 7 考点：抛物线的方程；抛物线与圆的位置关系 解析： （1 ）由抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相同可得： 17 =1+ 16 2 p ，解得 1 8 p （2）由（1）得抛物线方程为 2 : 4 x Cy ， 由圆的方程可知圆心坐标为 0 a （ ， ） ， 由图像易得当圆心在x 负半轴时， 若圆与抛物线有交点，则 1 a ； 当圆心在x 正半轴时， 联立圆与抛物线方程可得： 2 ( ) 1 0 4 x xa ， 若圆与抛物线有交点，则 22 1 8 65 ( ) 4( 1) 0 4 16 a aa ， 解得 65 16 a . 综上：实数a 的取值范围为 65 1, 16 . 20.（本小题满分 10 分） （A ）已知函数 ln f x x x . （1）求函数 y f x 的单调区间； （2）若函数 ( ) ln a g x x x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 考点：利用导函数求函数的单调性，函数的零点，利用导函数求极值点 解析： （1） 解：函数 fx 的定义域为 0 xx 求导可得 ( ) ln 1( 0) f x x x ， 令 ( ) 0 fx ，则 1 0 x e ；令 ( ) 0 fx ，则 1 x e 则函数 fx 的单调增区间为 1 () e ， ，单调减区间为 (0 ) 1 e ， . （2）解：求导可得 22 1 ( ) 0 a x a g x x x x x ， ， 当 0 a 时， ( ) 0 gx 恒成立，函数 () gx 为单调增函数， 不可能有两个零点，舍去； 8 当 0 a 时，令 ( ) 0 gx ，则 0 xa ；令 ( ) 0 fx ，则xa 则函数 gx 的单调减区间为 (0 ) a ，- ，单调增区间为() a ， . 则函数 gx 有两个零点等价于 在 (0 ) ， 上的最小值为 0 ga ， 解得： 1 0 a e （B ）已知函数 ln f x x x . （1）求函数 y f x 的单调区间； （2）证明： 0 x 时， 2 ln x x xx ee . 考点：利用导函数求函数的单调性，不等式恒成立问题转 化 为最值问题 解析： （1）解：函数 fx 的定义域为 0 xx 求导可得 ( ) ln 1( 0) f x x x ， 令 ( ) 0 fx ，则 1 0 x e ；令 ( ) 0 fx ，则 1 x e 则函数 fx 的单调增区间为 1 () e ， ，单调减区间为 (0 ) 1 e ， . （2 ）证明：由（1 ）得： ln f x x x 的最小值是 1 e ，当且仅当 1 x e 时取得； 令 2 ( ) 0 x x g x x ee ， ，则 1 ( ) 0 x x g x x e ， 当 1 x 时， ( ) 0 gx ；当01 x 时， ( ) 0 gx 故 2 () x x gx ee 的最大值是 1 (1) g e ， 当且仅当 1 x 时取得 因此，原不等式得证. 21.（本小题满分 10 分） (A). 已知椭圆 22 22 : 1( 0) xy E a b ab 的 离 心 率 2 2 e ， 右 焦 点 为F ， 椭圆与 y 轴 的正 半轴交于点B ，且 2 BF . （1）求椭圆E 的方程； （2）若 斜率为1 的直线经过点 1,0 ， 与椭圆E 相交于两个不同两点 , MN.在椭圆E 上是 9 否存在点P ，使得 PMN 的面积为 22 3 ，请说明理由. 考点： 求椭圆方程；椭圆中的存在性问题 解析： （1） 2 BF a ， 2 2 c e a ， 1 c 2 2 2 1 b a c E 的方程为 2 2 1 2 x y （2 ）设直线MN 方程 为 1 yx 与 椭圆方程联立得 41 0, 1 , ( , ) 33 MN ， 42 3 MN 又 1 2 2 ,1 23 S h MN h 设 直线y x m 与直线MN 距离为1 1 1, 1 2 2 m m 又 直线y x n 与 椭圆有交点，则代入椭圆方程，消元 22 3 2 1 0 2 x nx c ， 22 4 6 1 0, 3 3 n n n m 在这个范围内，因此存在这样的点P. (B) 已知椭圆 22 22 : 1 0 xy E a b ab 的离心率为 2 2 e ， 过焦点且垂直于x 轴的直线被 椭圆E 截得的线段长为 2 . （1）求椭圆E 的方程； （2 ）斜率为k 的直线l 经过原点O ，与椭圆E 相 交 于不 同 两 点 , MN ， 判 断 并 说 明在 椭 圆E 上是否存在点P ，使得 PMN 的面积为 22 3 . 考点： 求椭圆方程；椭圆中的存在性问题 解析： 10 （1）根据题意可知：离心率为 2 2 c a ，通径为 2 22 b a ，可解得 2, 1, 1 a b c 故所求椭圆方程为： 2 2 1 2 x y （2）存在点P ，使得 PMN 的面积为 22 3 联立 2 2 1 2 y kx x y ，得 22 1 2 2 0 kx ，可求出 2 2 21 2 12 k MN k 接 下 来 我 们 计 算 椭 圆 上 一 点 到 直 线l 的 距 离 的 最 大 值 ， 也 就 是 PMN 中以MN 为 底时高的最大值 设直线y kx t ，当此直线与椭圆相切时，切点到直线l 的距离最大 联立 2 2 1 2 y kx t x y ，得 2 2 2 1 2 4 2 2 0 k x ktx t 根据 2 2 2 2 16 4 2 2 1 2 0 k t t k 解得 22 12 tk 此时切点到直线l 的距离为 2 2 12 1 k k 那么 PMN 面积的最大值就是 2 2 22 21 1 1 2 22 2 1 1 2 k k kk 由于 22 3 小于最大面积 2 ，所以必然存在点P ，使得 PMN 的面积为 22 3 .
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