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2.1 如图所示系统中，已知 1 2121234 , ,mmkk aaaa水平刚杆的质量忽略不计。以 2 m 的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度 e k ，等效质量 e m 以及固有频率。 解：设 2 m 的线位移为 x，由能量法 22 22 2231223 2 12 2 44 4 11 1 1 22 2 2 a ee akakaa Ukx kx x Ukx aa + =+= = ,又 故 22 12 23 2 4 e ka ka k a + = 2 22 222 11124 12 2 44 111 1 222 2 a ee amama Tmx mx x Tmx aa + =+= = ,又 故 22 11 2 4 2 4 e ma ma m a + = 22 12 23 22 11 2 4 11 22 e e kkaka f mmama + = + 2.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。求系统的等效刚度（ 13 ,kk为悬臂 弹簧的刚度） 。 解： 1 k 、 2 k 串联 12 1 12 eq kk k kk = + 1eq k 、 3 k 并联 213eq eq kkk=+ 2eq k 、 4 k 串联 24 24 eq eq eq kk k kk = + ( ) ()() 24 12 23 31 4 24 12 1234 eq eq eq kk kk kk kk k k kkk kkkk + = + 2.3 图示振动系统中，弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。假定滑轮转动时无摩 擦作用，求系统的等效刚度。 解：设滑轮中心位移分别为 x 1 、 x 2 ，由滑轮系运动分析可知： () 12 2x xx=+ (1) 设绳中张力为 T 0 ，则 01122 2Tkxkx= (2) 由 (1)和 (2)可得： () () 12 12 12 12 22 kk x xx x kk kk = + 由能量法 () 22 212 a112 12 11 1 U 22 24 kk kx kx x kk =+= + 2 1 2 ee Ukx= 可得： () 12 12 4 e kk k kk = + 于是 () 12 12 1 4 kk f kkm = + 2.4 求图示系统的等效刚度。 解： 力和力矩分析 12 1122 12 1 22 FF F kxkx F Fa Fb kxa kxb += + = = 可得： () () 12 12 ; ba x Fx F abk abk = + 几何分析 1 21 xx a x xab = + 于是 () () () () 2 12 2 121 12 a k abkbaba x FFF F abk abk abk ab abkk = = + + 变换得： () () 2 22 12 12 2 22 12 12 abkk ak bk x FF x ak bk abkk + + = + + 等效刚度为： () 2 12 22 12 e abkk k ak bk + = + 2.5 设有一均质等截面简支梁如图。在中间有一集中质量 m。如把梁本身质量 M 考虑在内，试计算此系统的等效质量。假定梁在自由振动时的动挠度曲线和简支 梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。 解： 设 y 为中点动挠度，即简支梁中点自由振动的位移，梁在自由振动过程中离端 点距离为 的截面在垂直方向的位移为 23 3 34l y l ，则速度为 23 3 34l y l 。 2 23 222 2 3 0 134 1 117 117 2 22235235 l a l Ty dmylmyMmy l =+=+=+ 2 1 y 2 ee Tm= 可得： 17 35 e mMm=+ 中央集中受力简支梁的刚度为： 3 48EJ k l = 则系统的固有频率为： 1 2 e k f m = 2.6 若以平衡位置为坐标原点，且令该位置的势能为零，则如图所示各系统中质 量离开静平衡位置的角度为 时的总势能为多少？并写出各自的振动方程。 2 1 sin ; 1 cos 2 系统作微振动 解： （ 1）求总势能 a： () () 2 22 11 sin (1 cos ) 22 Uka mgl kamgl =+ b： () 2 22 11 sin 22 Uka ka = c： () () 2 22 sin (1 cos )Uka mgl kamgl = （ 2）振动微分方程 方法： ()0 d TU dt += 动能 () 21 2 Tml= a: () 22 0ml ka mgl+ = b: 22 0ml ka+= c: () 22 0ml ka mgl+ = 2.7 一只用于流体力学试验室的压力表，具有均匀内径，截面积为 A。内装一长 度为 L、密度为的水银柱，如图所示。求液面在其平衡位置附近振动的频率。 忽略水银与管壁间的摩擦。 解： 振动微分方程为： 20LA x A gx += 系统固有圆频率为 0 2gL = 系统固有频率为 1 2 2 f gL = 2.8 确定图示系统的固有频率。圆盘质量为 m。 k ka r O x 解： 22 2 113 224 a TmxJ mr =+= () () 2 2 2 1 2 2 a Ukrakra = + = + ()0 aa d UT t += 可得： () 2 2 4 0 3 kr a mr + += 于是： () 2 2 4 114 23 2 3 kr a ra k f mr r m + + = 2.9 两个滑块在光滑的机体槽内滑动，机体在水平面内绕固定轴 o 以角速度转 动。每个滑块质量为 m，各用弹簧常数为 k 的弹簧支承。试确定其固有频率。 解：在离心力作用下系统达到平衡时有： () 2 0 kx m l x= + 以新平衡位置作为坐标原点，则有 2 0 () ( )0mx k x x m l x x+ += 整理得： 2 0mx kx m x+ = 2 1 2 k f m = 2.10 一有粘性阻尼的单自由度系 统，在振动时测得周期为 1.8s，相邻两振幅之 比为 4.2:1。求此系统的固有频率 解： 2 2 2 ln 4.2 1.44 1 1 0.05 = = += 2 1.8 1 1.754 =0.57 dd TTT f= 2.11 图示一弹性杆支承的圆盘，弹性杆扭转刚度为 k t ，圆盘对杆轴的转动惯量 为 J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为 T d 。求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。 解： 0 t Jk += 22 2 0 2 24 11 4 t dtd k TJJkT = = 22 2 22 44 12 4 t ttd d JJ Jk Jk k T T = = 22 2 4 2 t d J MJk T = 2.12 在图示振动系统中，假定阻尼为临界阻尼。已知 k=175N/m， m=1.75kg，初 位移 x=1cm，初速度 x=-12cm/s。当 t=0 时放松质量块。求： （ 1） 第一次到达静平衡位置的时间？ （ 2）过静平衡位置后的最大幅值为多少？所需时间为多少？ 解 : 临界阻尼状态下系统自由振动的解为： ( ) 0 0000 t x exx xt =+ （ 1） 0 x0 10 / k rad s m =平衡位置 00 t0.5s x = + 0 0 x 代入式中， =- x （ 2） x0=最大幅值时 00 t0.6s x = + 0 0 x 代入式中， =- x 0.000496cm= max x 2.13 图示振动系统中有一小阻尼，因此 dn 。质量块的质量为 9kg，其在自然 静止状态的弹簧伸长为 12mm。在系统的自由振动 20 周内观察到振幅由 10mm 衰减到 2 5mm。求： (1)系统的阻尼系数 ?(2)衰减系数； (3)阻尼比； (4)临界阻尼。 解： 99.8 7350 / 0.012 kNm = 0 28.58 / k rad s m = 110 ln 0.069 20 2.5 = 阻尼比 2 2 1 1 0.011 =+= 衰减系数 0 0.314n = 临界阻尼 2 514.4 c ckm= 阻尼 5.66 c cc= 2.14 图示弹簧质量振动系统，假设均质杆杆长为 l，质量为 m，且杆端有集中质 量 m。试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和阻尼固有频率。 c o m k a b l x 解： 2 22 0 11 14 22 23 l a m Tmx xd mx ll =+ = 可得： 4 3 e mm= 2 2 2 2 11 22 a bb Ukx kx ll = 可得： 2 2 e b kk l = 2 2 2 2 11 22 a aa Dcx kx ll = 可得： 2 2 e a cc l = 振动微分方程为： 22 22 4 0 3 ac bk mx x x ll += 4 2 3 cee bkm cmk l = 2 42 2 222 3 16 e c c ac cblkm = 0 3 2 bk lm = 阻尼固有频率为： 20 1 2 d f = 2.15 一个有阻尼弹簧 -质量系统，受到简谐激励力的作用，求发生加速度共振时 的频率比 。 解：设激振力为 () 0 sinf tF t= () () 2 00 22 22 22 1 sin( ) sin( ) (1 ) 2 (1 ) 2 FF xtxt km =+ + + () () 2 2 22 (1 ) 2 f = + 即为求 当 为何值时取极大值 () () 2 22 22 111 (1 ) 4 21 2 1 f = = = + + 2 2 1 12 12 = = 时发生加速度共振 2.16 在图示的弹簧 -质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力。试求质量块 m 的振幅。 （注：不考虑自由振动。 ） 1 x m sinFt k k k x 解： () 1 0mx kx k x x+ = 11 1 sin sin () sin 222 FtkxFtx kx x kx F t x kk + + = = = + 31 sin 22 mx kx F t+= 0 3k = 2m 222 1 11 2 sin sin sin 3 213 32 1 2 3 F FF x ttt mkkm k k = = 0 2 32 F X km = 2.17 计算初始条件（ 0 x 和 0 x ） ，以使 0 sinmx kx F t+ = 的响应只以频率 振动。 解： 000 00 0 0 22 0 cos sin sin sin 11 xXX x xt t t t =+ + 00 00 0 0 2 0 cos sin sin 0 1 xX x tt t + = 0 00 0 0 000 22 2 2 0 0 11 1 x XX F xxX km = = = = = 2.18 图示振动系统的物理参数均为已知。上面的支座进行简谐振动 0 sin s x at= 求： (1)质量块稳态振幅与 a 0 的比值； (2)质量块的稳态响应。 x m c k 0 sin s x at= 解： () 2 s ci mx cx kx cx H km ci += = + () 2 222 0 (1) xc a km c = + 2 (2) arctan mk c = sin( )xx t = 2.19 求系统在图示简谐运动作用下的响应 。 解： () cos 0Jkbbe tmga + = 变换得： ( ) 22 cosma kb mga kbe t + = 传递函数 () 222 1 H kb mga ma = 响应 222 cos kbe t kb mga ma = 2.20 图示振动系统的各物理参数均为己知量。 (1)写出系统的振动微分方程； (2) 写出激励函数的前面四项； (3)写出系统稳态响应的前三项。 解： 1 11 1 2 (1) ( sin ) 2 2 s n s xd nt nT mx cx kx kx = = = + = 246 (2) sin sin sin 223 s dd d d xttt TTT = () 0 22 1/2 2 3() 21 22 kkc H kmci i m km = = + + () ()() ()() 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12 ( ) sin arctan 41 12 sin tan 42 1 12 144 sin tan 41 14 4 nn n dd n xHnt nn dd xtrc T d tarc T = = = = + + 2 () 2 k H kmci = + () ( ) ()() 2 2 22 11 sin ()sin = 44 2 n n nn nt dd dkd xHnt kn m cn = = + 22 arctan 2 n cn kn m = ()() ()() 22 2 sin arctan sin 2 arctan 4 42 224 cc tt dkd kdkm k m x kmc k m c = + + 2.21 用杜哈美积分求无阻尼弹簧质量系统对简谐激励 f(t)=F 0 sint 的响应。设初始条件为零。 解： () () () () () () 00 000 0 00 00 0 0 00 0 22 00 0 0 0 2 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos 2 sin sin sin sin 1 tt t FF x td t t d mm F ttd m F tt m Fk tt =+ = + + = = 2.22 无阻尼弹簧质量系统受到图示梯形脉冲激励作用。质量的初始位移为 0，但 具有初始速度 v 0 。求系统在 t=0.03s 时的响应。 解： () 0.01 0 00 0 00 0.01 0 00 0 0 00 00 00 0 02 0 00 0 2 1 () sin ( )sin ( ) 1 sin 1 50 sin ( ) 0.01 50 0.01 sin cos ( ) 50 cos ( ) sin ( ) 0 0 sin co v xt t f t d m v tF td m vF tt t t m vF t m =+ =+ =+ + =+ () 000 0 0 00 50 50 s ( 0.01) cos 0.5cos ( 0.01) sin ( 0.01) sin ttt t t + 将 0.03t = 代入得： () 00 000000 2 00 00 00000 0 00 50 50 ( ) sin 0.03 cos0.02 cos0.03 0.5cos0.02 sin 0.02 sin 0.03 50 50 sin 0.03 0.5cos0.02 cos0.03 sin 0.02 sin 0.03 vF xt m vF k =+ + =+ + 2.23 试分析直接激励，偏心质量激励和支座 简谐激励下的系统响应以及三种输 入不同阻尼比（ 0.1, 0.25, 0.375, 0.5, 1 = ）对幅频和相频特性的影响。 x m F x c kck x m c k M 1 m t e f x f x xx= ()1000sin 2 2Ft= 100mkg= 500 /cNsm= 15000 /kN= 1 100 , 10Mkgmkg= 3 10 2 10em = 500 /cNsm= 15000 /kN= ()0.001 sin f xttm= 100mkg= 500 /cNsm= 15000 /kN= 2= 直接激励： 偏心质量激励： 支座简谐激励：
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