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【 题型综述 】 导数研究超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的 函数，与超越方程相对的是代数方程超越方程的求解无法利用代数几何来进行大部分的 超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解 在探求诸如 ， 方程的根的问题时，我们利用019623xx 2ln2xx 导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决 此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域 2、求导数，得单调区 间和极值点 3、画出函数草图 4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 轴的交点情况求解 x 【典例指引】 例 1 已知函数 在 处取得极小值 lnfxax2e （ 1）求实数 的值； （ 2）设 ，其导函数为 ，若 的图象交 轴于两点2lFfFx x 且 ，设线段 的中点为 ，试问 是否为 的根？说明理由 12,0,CxD12xCD,0Nss0F 【思路引导】 （ 1）先求导数，再根据 ，解得 ，最后列表验证（ 2）即研究 是否成立，20fe1a12x 因为 ，利用 ， 得1212124xFx 211ln0 xx22ln0 ，所以 =0，转化为1212lnx121212l4Fxx 1l0t 其中 ，最后利用导数研究函数 单调性，确定方程解的情况 12t lntut （ 2）由（ 1）知函数 2lnFxx 函数 图象与 轴交于两个不同的点 ， （ ） ， x12,0,CDx12x ， 211ln022lnxx 两式相减得 1122x F 12121212 12ln44xxx x 下解 即 1212ln0 xx122l0 x 令 ， ， ，即 12t0tlnt 令 ， lntut 22114tutt 又 ， ， 01t0t 在 上是増函数，则 ， u,10ut 从而知 ，故 ，即 不成立 1212ln4xx2xF 0Fs 故 不是 的根 s0Fx 例 2设函数 21lnfaxb （ 1）当 时，求函数 的单调区间； 来源 :Zxxk.Com 3,abf （ 2）令 ，其图象上任意一点 处切线的斜率 恒2(03)Fxfxx0,Pxy12k 成立，求实数 的取值范围 （ 3）当 时 ，方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围 0,1abfm21,em 【思路引导】 （1）先求导数 然后在函数的定义域内解不等式 和 的区间为单调增区fx 0fx,0fxf 间， 的区间为单调减区间 ；（2）先构造函数 再由以其图象上任意一点 为切点的0F0,Pxy 切线的斜率 恒成立，知导函数 恒成立，再转化为 求解 ；（3）先把握12k1k20max1a 有唯一实数解，转化为 有唯一实数解 ，再利用单调函数求解 fxmlnxm 来源 :Z.xx.k.Com 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和 导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数 的单调性的步骤： 确定函数 的定义域； fxfx 对 求导； 令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；令 ，解不等式得 的范围fx0fx 0f 就是递减区间 例 3已知函数 （ ） （ 1）讨论 的单调性； （ 2）若关于 的不等式 的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围 【思路引导】 （ 1）求出 ，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令 得减区间；（ 2） ，令 ，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果 试题解析： （ 1） ，当 时， 在 上单调递减，在 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 单调递减； （ 2）依题意 ， ， 令 ，则 ， 令 ，则 ，即 在 上单调递增 又 ， ， 存在唯一的 ，使得 当 ， 在 单调递增； 当 ， 在 单调递减 ， ， ， 且当 时， ， 又 ， ， 故要使不等式 解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为 【同步训练】 1已知函数 （ ） ， 且 的导数为 21exftRtfxfx （）若 是定义域内的增函数，求实数 的取值范围； Ft （）若方程 有 3 个不同的实数根，求实数 的取值范围 2fxfx t 【思路引导】 （）只需 ，即 恒成立，求出 即可得结果；（）原方程等0f21extgmingx 价于 ，研究函数 的单调性，结合图象可得结果 227extx227exh 令 ，解得 或 0hx3x1 列表得： , ,1 , hx 0 0 增 极大值 减 极小值 增 由表可知当 时， 取得极大值 ； 3xhx65e2 当 时， 取得极小值 13 又当 时， ， ，此时 x270 x2ex0hx 因此当 时， ；当 时， ；当 时， 365,h312635e,1x ，因此实数 的取值范围是 2e,hxt650,e2 2已知函数 的图象的一条切线为 轴 （ 1）求实数 的值；（ 2）令 32lnfxaxxa ，若存在不相 等的两个实数 满足 ，求证： gxff 12,12gx12x 【思路引导】 （ 1）对函数求导，由题可设切点坐标为 ，由原函数和切线的斜率为 可得方程组，解方程组得0,x0a 值；（ 2）由题知 ，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性 321lngx 的关系，判断 的单调性，再构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，最后1GxgxGx 可令 ，利用 单调性可得结论 120 xx 且 在 上单调递减，在 上单调递增， ,10hxggx0,11, ， 1 当 时， ， 1x01x 记 ， 11Gghfxfffx 记函数 的导函数为 ，则 yfxyfx 2211ffff 3已知函数 （ ） ， lnfxax02gx （ 1）若 的图象在 处的切线恰好也是 图象的切线 1 求实数 的值； 来源 :学 *科 *网 Z*X*X*K 若方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围 fxm,em （ 2）当 时，求证：对于区间 上的任意两个不相等的实数 ， ，都有01a1,21x2x 成立 122fxfgx 【思路 引导】 （ 1）首先求函数 的图象在 处的切线， ， ，又因为切点为f1x1fxa2fa ，所以切线方程为 ，于是问题转化为直线 与函数 图象相切，于是可以1,a2yax2yaxgx 根据直线与抛物线相切进行解题；问题转化为方程 在区间 内有唯一实数解，参变lnxm1,e 量分离得 ，设 ， ，研究 的单调性、极值，转化为直线ln1xmln1xt1,etxym 与 有且只有一个交点， （ 2）当 时， 在 上单调递增， 在 上单yt 0af,22gx1, 调递增，设 ，则 ， ，于是问题转化为12x12fxf 12 ，构造函数 ，通过函数 在 上单调递减，2fgfgFxfgxFx, 可以求出 的取值范围 a ， ， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减， 21lnxt,e0tx,e0tx ， ，且 时， ， te1te,1tx ； 1,m 证明：（ 2）不妨设 ，则 ， ， 12x12fxf12gx 可化为 1fxfg1 2211fxgfxg 设 ，即 ， 在 上单调递减， Ff2lnFaxFx1,2 恒成立，即 在 上恒成立， 2 0ax1, ， ， 22114xa 从而，当 时，命题成立 0a 4已知函数 ln,2.718fxe （ 1）设 ， 6gx 记 的导函数为 ，求 ； xge 若方程 有两个不同实根，求实数 的取值范围； 0aa （ 2）若在 上存在一点 使 成立，求实数 的取值范围 1,ex2001mfxm 【思路引导】 （ 1）对 进行求导，将 代入可得 的值；对 进行二次求导，判断 的单调性得其gxegegxgx 符号，从而可得 的单调性，结合图象的大致形状可得 的取值范围；（ 2）将题意转化为a ，令 ，题意等价于 在 上的最小值小于 0，对00lnmxx1lnmhxxhx1,e 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值 h （ 2）由题可得 ， ， ， 200ln1mxx001lnmxx001lnmx 令 ，则 在 上的最小值小于 0， lhxh,e 又 ， 2 1x 1，当 时，即 ， 在 上递减，所以 ，解得 ； me1ehx1,e0he 21em 2，当 即 ， 在 递增， 解得 ； 0,2 3，当 ，即 ，此时要求 又 ， 1e1me10hmln1 所以 ， 0ln 所以 此时 不成立， 2ln2h 综上 或 m1e 点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求 函数的最值问题，正确求导是解题的关键在正确求导的基础上，利用导数与 的关系得到函数的单调区0 间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别 5已知函数 来源 :Z(2) 函数 有两个零点，所以函数必不单调 ,且最小值小于零 ,转化研究最小值 为负的条件 : ,由于此函数单调递增 ,所以只需利用零点存在定理探求即可 ,即取两个相邻整数点 代入研究即可得 的取值范围 ,进而确定整数值 ,（ 3）根据 ，所以只需判定 大小 ,由 可解得 ,代入分析只需比较 大小 , 设 ,构造函数 ,利用导 数可得最值 ,即可判定大小 (3)证明：因为 是方程 的两个不等实根，由 (1)知 不妨设 ，则 ， 两式相减得 ， 即 来源 :Zxxk.Com 所以 因为 ， 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构造差函数 根据差函数导函数符号， 确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式 （ 2）根据条件，寻找目标函数一般思 路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数
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