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东 南 大 学 考 试 卷 （ A、 B 卷） （答案附后） 课程名 称 信号与线性系统 考试学 期 03-04-3 得分 适用专 业 四系，十一系 考试形 式 闭卷 考试时间长 度 120分 钟 一、 简单计算题（每题 8 分）： 1、 已知某连续信号 ()ft的傅里叶变换为 21() 23Fj j ，按照取 样间隔 1T 对其进行取样得到离散时间序列 ()fk，序列 ()fk的 Z 变换。 2、 求序列 1 0( ) 1 ,2,1kfk 和 2 ( ) 1 c o s ( )2f k k k 的卷积和。 3、 已知某双边序列的 Z 变换为 2 1() 1 0 9 2Fz zz ，求该序列的时域表 达式 ()fk。 4、 已知某连续系统的特征多项式为： 269111063)( 234567 ssssssssD 试判断该系统的稳定情况，并指出系统 含有负实部、零实部和正实部的 根各有几个？ 5、 已知某连续时间系统的系统函数为： 326 4 2() 21s s sHs s s s 。试给 出该系统的状态方程。 6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。 1z 1z 2 - 0 . 3 )( ke )( kr - 0 . 2 二、（ 12 分） 已知系统框图如图（ a），输入信号 e(t)的时域波形如图（ b）， 子系统 h(t) 的 冲 激 响 应 波 形 如 图 (c) 所 示 ， 信 号 ()ft 的 频 谱 为 () jnnF j e 。 e ( t ) 图 ( a ) h ( t ) y ( t ) )( tf e(t) 2 44 t 图( b ) h(t) t 图 c) 0 1 1 试： 1） 分别画出 )(tf 的频谱图和时域波形； 2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形。 3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由； 三（ 12 分）、已知电路如下图 所示，激励信号为 )()( tte ，在 t=0 和 t=1 时测得系统的输出为 1)0( y ， 5.0)1( ey 。分别求系统的零输入响应、零状 态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。 e ( t ) L = 2 H C = 1 F R 1 = 2 R 2 = 1 + y ( t ) _ 四 (12 分 )、 已知某离散系统的差分方程为 )1()()1(3)2(2 kekykyky 其初始状态为 6)2(,2)1( zizi yy ，激励 )()( kke ； 求： 1） 零输入响应 )(kyzi 、零状态响应 )(kyzs 及全响应 )(ky ； 2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该 系统的稳定性。 五（ 12 分）、已知某离散时间系统的单位函数响应 ( ) co s ( )2kh k k 。 1） 求其系统函数 ()Hz； 2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。 六、（ 10 分）请叙述并证明 z 变换的卷积定理。 答案 1、 已知某连续信号 ()ft 的傅里叶变换为 21() 23Fj j ，按照取样间隔 1T 对其进行取样得到离散时间序列 ()fk，序列 ()fk的 Z 变换。 解法一： f(t)的拉普拉斯变换为 2111)2)(1( 132 1)( 2 sssssssF ， 2111 )(Re)( ez zez zez zKez zsFszF n i Ts i ss n i sT ii 解法二： f(t)=L1F(jw)=(et e2t )(t) f(k)= (ek e2k )(k)= )()()( 21 kee kk F(z)=Zf(k)= 21 ez zez z 2、 求序列 1 0( ) 1 ,2,1kfk 和 2 ( ) 1 c o s ( )2f k k k 的卷积和。 解： f1(k)=1,2,1=(k)+2(k1)+ (k2) f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2) 3、 已知某双边序列的 Z变换为 2 1() 1 0 9 2Fz zz ，求该序列的时域表达式 ()fk。 解： 5.014.01)( zzzF ，两个单阶极点为 0.4、 0.5 当收敛域为 |z|0.5 时， f(k)=( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1) 当收敛域为 0.4|z|0.5 时， f(k)= ( 0.4)k1(k1)+( 0.5)k1( k) 当收敛域为 |z|0.4 时， f(k)= ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k) 点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。 4、 已知某连续系统的特征多项式为： 269111063)( 234567 ssssssssD 试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几 个？ 解 构作罗斯 -霍维茨阵列 611617s 291036s 03168385s 2314s 3 4 2( 0 0 ) 3 2s s s此时出现全零行，有辅助多项式 34 6 4 6 , 4 , 6ss求导可得 以 代替全零行系数 。 2 1 0 3 2 2 2 3 2 s s s 由罗斯 -霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明 s 右半平面无极点。再由 423 2 0ss 令 2sx 则有 2 3 2 0 xx 可解得 1, 2x 相应地有 1, 2 1s j 3 ,4 2s j 2 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土 j 及土 j 2 ，系统为临界稳定。 所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。 5、 已知某连续时间系统的系统函数为： 326 4 2() 21s s sHs s s s 。试给出 该系统 的状态方程。 解：系统的微分方程为 )(2)(4)(6)()()()(2)( tetetetetytytyty 取原来的辅助变量 q 及其各阶导数为状态变量并分别表示为 1xq 、 2 xq 、 3 xq 、 3xq ，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程 状态方程： )(2 3213 32 21 texxxx xx xx 输出方程： )(43642 3213213 texxxxxxxy 或者写成矩阵形式，上式即为 e x x x x x x 1 0 0 211 010 100 3 2 1 3 2 1 BeAx )(431 3 2 1 te x x x y DeCx 6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。 1z 1z 2 - 0 . 3 )( ke )( kr - 0 . 2 解： 06.05.0 3.22.01)3.021()( 2 zz zzzzH 二、（ 12 分） 已知系统框图如图（ a），输入信号 e(t)的时域波形如图（ b）， 子系统 h(t) 的 冲 激 响 应 波 形 如 图 (c) 所 示 ， 信 号 ()ft 的频谱为 () jnnF j e 。 e ( t ) 图 ( a ) h ( t ) y ( t ) )( tf e(t) 2 44 t 图( b ) h(t) t 图 c) 0 1 1 试： 1） 分别画出 )(tf 的频谱图和时域波形； 2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形。 3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由； 解： 1）根据傅立叶变换的性质得： n nttf )2()( 2-4 -2 4 t f(t) (1) n njF )()( w F(jw) 2 2） y(t)=e(t)f(t)h(t)=(t+2)+2(t)+ (t2) h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2) 2-2 1 2 -1 3 t y(t) 3）因 h(t)是有始因果信号，所以子系统 h(t)是物理可实现的。 点评：此题做对的非常少，大多数写不出 f(t)的表 达方式。 三（ 12 分）、已知电路如下图所示，激励信号为 )()( tte ，在 t=0 和 t=1 时 测得系统的输出为 1)0( y ， 5.0)1( ey 。分别求系统的零输入响应、零状态响 应、全响应、以及自然响应和受迫响应。 e ( t ) L = 2 H C = 1 F R 1 = 2 R 2 = 1 + y ( t ) _ 解： 1）电路满足 KVL：得 )(5.0)(5.0)(5.1)( tetytyty 2）系统函数为： 5.05.1 5.0)( 2 ss ssH ，特征根为 1=0.5， 2=1 Yzs(s)=H(s)E(s)= sss s 15.05.1 5.02 = 115.01 ss 零状态响应： yzs(t)=(e0.5t et)(t) yzs(0)=0， yzs(1)=(e0.5 e1)； yzi(0)= y(0) yzs(0)=1， yzi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ； yzi(t)=(C1e0.5t +C2et)(t),得 C1=0， C2=1 零输入响应： yzi(t)= et(t)； 全响应： y (t)= e0.5t (t) 点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分 分数。 四 (12 分 )、 已知某离散系统的差分方程为 )1()()1(3)2(2 kekykyky 其初始状态为 6)2(,2)1( zizi yy ，激励 )()( kke ； 求： 1） 零输入响应 )(kyzi 、零状态响应 )(kyzs 及全响应 )(ky ； 2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。 解： 132)( 2 zz zzH ，特征根为 1=0.5， 2=1 1） yzi(k)=(C10.5k+C2)(k)； 代入初始条件得 C1=2， C2=2 零输入响应： yzi(k)= (220.5k)(k) Yzs(z)=H(z)E(z)= 22 )1(15.01132 z zz zz zz zzz z = 115.01 ss 零状态响应： yzs(k)= (0.5k +k1)(k) yzs(0)=0， yzs(1)=(e0.5 e1)； 全响应： y (k)= (1+k0.5k)(k) 2）自由响应： (1 0.5k)(k) 受迫响应： k(k)，严格地说是混合响应。 3）系统的特征根为 1=0.5（单位圆内）， 2=1（单位圆上）， 所 2 系统临界稳定。 五（ 12 分）、已知某离散时间系统的单位函数响应 ( ) co s ( )2kh k k 。 4） 求其系统函数 ()Hz； 5） 粗略绘出该系统的幅频特性； 6） 画出该系统的框图。 解： 1）系统函数为： 12 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 )() 2 c o s ( 2 2 22 22 22 z z ez z ez z keZkeZk ee ZkkZ jj kjkj kjkj 1)( 2 2 z zzH 2）系统的幅频特性为： |c o s2| 1|1)( )(|)(| 2 2 j jj e eeH w |H(e jw )| 2 2 2 3 0.5 3）系统的框图 1z 1z -1 E(z) Y(z) 六、（ 10 分）请叙述并证明 Z 变换的卷积定理。 解： 卷积定理 设 )()( 11 zFkfZ , )()( 22 zFkfZ ，则 )()()(*)( 2121 zFzFkfkfZ 或用符号表示为：若 )()( 11 zFkf ， )()( 22 zFkf ，则 )()()(*)( 2121 zFzFkfkf 两序列卷积后 z变换的收敛区是原来两个 Z 变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和 及 Z 变换的定义证明如下 k j k j jkfjfzjkfjfZkfkfZ )()()()()(*)( 212121 交换上式右方的取和次 序，上式成为 j k k jkfzjfkfkfZ )()()(*)( 2121 对上式右方第二个取和式应用式 (8 15)的移序特性，则得 )()()()()(*)( 212121 zFzFzFzjfkfkfZ j j 点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。
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