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高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C2）已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率e=故选：D3设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，0时，此时得到的圆心角为，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B故选：B4已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足4+3=0，则|的最小值是（）A1B+1C2D2【解答】解：由4+3=0，得，（）（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x0）上不妨以y=为例，则|的最小值是（2，0）到直线的距离减1即故选：A5已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A123B321C132D231【解答】解：由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心过E作EFBC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ONEF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则1=SEN，2=SEO，3=SMO显然，1，2，3均为锐角tan1=，tan3=，SNSO，13，又sin3=，sin2=，SESM，32故选：D6函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）ABCD【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B当x=时，函数的值也为0，故排除C故选：D二填空题（共9小题）7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：28若函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3【解答】解：函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=4+1=39已知a0，函数f（x）=若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）【解答】解：当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=x2，得a=，设g（x）=，则g（x）=，由g（x）0得2x1或1x0，此时递增，由g（x）0得x2，此时递减，即当x=2时，g（x）取得极小值为g（2）=4，当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax2a=ax，得x2ax+2a=0，得a（x2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x2时，a=设h（x）=，则h（x）=，由h（x）0得x4，此时递增，由h（x）0得0x2或2x4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4a8，故答案为：（4，8）10已知椭圆M：+=1（ab0），双曲线N：=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2【解答】解：椭圆M：+=1（ab0），双曲线N：=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e=2故答案为：；211已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且=11cosAOB=，即有AOB=60，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+12已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a=6【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a0，故：a=6故答案为：613已知R，函数f（x）=，当=2时，不等式f（x）0的解集是x|1x4若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是（1，3（4，+）【解答】解：当=2时函数f（x）=，显然x2时，不等式x40的解集：x|2x4；x2时，不等式f（x）0化为：x24x+30，解得1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则13或4故答案为：x|1x4；（1，3（4，+）14已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有x1=2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，x22+4y22=4m，得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可得y12y2=m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m（）2=，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大故答案为：515从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260个没有重复数字的四位数（用数字作答）【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数故答案为：1260三解答题（共2小题）16设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1在区间，上的解【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（）=+1，asin+2cos2（）=a+1=+1，a=，f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（x）=1，2sin（2x+）+1=1，sin（2x+）=，2x+=+2k，或2x+=+2k，kZ，x=+k，或x=+k，kZ，x，x=或x=或x=或x=17已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【解答】解：（）角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（，）x=，y=，r=|OP|=，sin（+）=sin=；（）由x=，y=，r=|OP|=1，得，又由sin（+）=，得=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=，或cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=cos的值为或第12页（共12页）