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1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。2、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。3、两条直线垂直：则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。 解得满足式 此时。 例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2.圆过点O、F,圆心M在直线x=- 设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圆的方程为(x+)2+(y)2=.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0, 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直线AB过椭圆的左焦点F， 方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1+x1=- AB垂直平分线NG的方程为 令y=0，得 点G横坐标的取值范围为（）。例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根， 则，即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又， 椭圆的焦点为，即 故当时，MN过椭圆的焦点。例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。解（I）由题意设椭圆的标准方程为， （II）设，由得，（注意：这一步是同类坐标变换）（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，解得，且满足当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根， 即同理可得：则直线PQ的斜率为定值。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。分析：由可以得到，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用表示出来。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2，可得 即y2=又2y22， 22解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点即 由韦达定理得： 即 由得，代入，整理得 ，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求的值分析：（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（）设点，则，由得：，化简得.（）设直线的方程为： . 设，又， 联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，题型六：面积问题例题8、（07陕西理）已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。题型七：弦或弦长为定值问题例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则. =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题9、（08重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（）求点P的轨迹方程；（）若,求点P的坐标.解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为 ()由得 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中， 将代入，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由()知，点P的坐标又满足，所以 由方程组 解得 即P点坐标为问题九：四点共线问题例题10、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上22解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上例题1、已知直线相交于A、B两点。 （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长； （2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值。（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为, 所以, 当时因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;（）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解: （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程为 .（）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G， 由得. 由解得. 因为是方程的两根，所以，于是 =， .因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即 亦即 解得，此时也成立. w.w.w.k.s.5.u故直线斜率的取值范围是问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则=,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为,所以, 当时因为所以, 所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因为,所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】解法一：()当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120.(1)当BOT=60时, SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为,综上, ()假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:()同解法一.()假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（I）求双曲线C的方程；(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。 已知双曲线C的方程为 离心率顶点到渐近线的距离为（）求双曲线C的方程；（）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求AOB面积的取值范围.解答一（）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 由 得 双曲线C的方程为（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设 由得P点的坐标为将P点坐标代入化简得设AOB又记由当时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值AOB面积的取值范围是
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