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09光信息量子力学习题集一、填空题1 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 ）。2 索末菲的量子化条件为（ ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级（ ）。3 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ）和（ ）。4 三维空间自由粒子的归一化波函数为=（ ）， （ ）。5 动量算符的归一化本征态（ ），（ ）。6 t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）。7 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（ ），几率流密度=（ ）。8 设描写粒子的状态，是（ 粒子的几率密度 ），在中的平均值为=（ ）。9 波函数和是描写（ 同一 ）状态，中的称为（ 相因子 ），不影响波函数的归一化，因为（ ）。10 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。11 是定态的条件是（ ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。12 （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。13 （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。14 3t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）。15 粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（ ），第一激发态的波函数为（ ）。16 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ ）。17 一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ）、第一激发态的波函数为（ ）。18 （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。19 一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。20 一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为（ 2n2 ）。21 氢原子的状态为，角动量平方是（ ）、角动量分量是（ ）。22 厄密算符的定义是：对于两任意函数和, 等式（ ）成立。23 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。24 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。25 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。26 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在表象中=（ ）。27 如果=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的共同本征态是（ ）。28 如果存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则=（ 0 ）， 的共同本征态是（ ）。29 对易子（ ），（ ）。30 （ ），（ ），（ ）。31 （ ）。（ ），（ 0 ）。32 能量与时间的测不准关系是（ ），和的测不准关系是（ ）。33 在一维情况下，若粒子处于状态中，则在动量表象中的波函数为（ ）。34 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中一维线性谐振子的波函数为=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,） ）。35 斯特恩革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）。36 =（ ），=（ ）。37 =（ 0 ），=（ 0 ）。38 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。39 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。40 在表象中，则在状态中，=（ ）。41 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 ）。42 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。43 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。44 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数。45 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。46 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。47 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数。二、计算、证明题1粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.解：当 当 令 得 ， 2一粒子在一维势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。解： 令 则 3一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一化）。 提示：在态中 解：当 当 令 得 有限， 4粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。解：1当 当 令 得 ， 5利用力学量算符本征函数的正交归一完全性，证明 式中，为本征值。解： = = 6求证：如果算符和有一组共同本征态，而且组成完全系，则算符和对易。解：设任一波函数可展开为 =. 7求证：力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交。解：设当时，. 代入 得 . . 8证明力学量算符的本征值必为实数。解：设 在 中 令 得 9证明：力学量在任意态中的平均值为实数。解：设已归一化，则 . 10粒子处在的一维无限深势阱中的基态，设t=0时阱壁突然运动到，求此时粒子处于基态的几率。 解： = 11设粒子的状态为，求粒子动量和动能的可能值及相应的几率。解： 由 得 ，（）动量的可能值为，对应几率为 动能的可能值为，对应几率为 12求证：.证明： 13求证：=.解：= 3分= = = = 14求证：=, .解： = = = 15求的本征值和归一化本征态。解： 16在表象中，(1)求出的本征值和本征态; (2)求在态中测得的几率。解：（1） 对应的本征为： ， （2） 17设，=1，为的本征态，对应的本征值为。求证：也是的本征态，并求出对应的本征值。解： ， 所以，也是的本征态，对应的本征值为（） 18一维线性谐振子处于基态，求该谐振子的动量处于内的几率。（提示：）解： = = 内的几率为 19一维线性谐振子处于基态，求该谐振子在动量表象中的波函数。（ 提示：） 解： = = = 20. 在表象中，(1)求出的本征值和本征态; (2)求在态中测得的几率。解：（1） 对应的本征为： ， （2） 21设氢原子的状态为，求：（1）能量，的可能值和相应几率；（2）能量，的平均值。解：由得，. . 能量有两种可能值, ,相应几率分别为;有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; = 22设氢原子的状态为，求：（1）氢原子能量、角动量平方、角动量分量的可能值和相应几率； （2）氢原子能量、角动量平方、角动量分量的平均值。解： 由得，. (1)能量有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; (2) = 23设氢原子的状态为，求：（1）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几率； （2）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。解：. (1)能量有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为;(2) = 24设氢原子的状态为，求：（1）能量，的可能值和相应几率；（2）能量，的平均值。由得，. . (1)能量有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; 有两种可能值, ,相应几率分别为; (2) = 25一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩阵为： ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正.解：, (n=1,2,3) 26一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩阵为： ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。解：, (n=1,2,3) 27一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩阵为： ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 解：, (n=1,2,3) 28一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩阵为： ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。解：, (n=1,2,3) 29在一维无限深势阱中运动的粒子，受到微扰作用后，势能为 （为小常量），试用微扰论计算粒子的能级至一级修正。解： 13 / 13
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