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量子化学习题集及答案1、（1）求一维势箱中运动粒子的波函数。 （2）当势箱长度为10nm时，度求粒子在以下区域出现的概率。 4.95X5.05 X解：由schrodinger方程可得：（2）2、电子在在L=1.00nm长的势箱中运动，计算：（1）n=2与n=1之间，n=6与n=5之间的能量差。解：3、一维势箱（势箱长为0.30nm）中的电子发射一个小频率为5.051015S1，试求其跃迁始态与终态的量子数。解：4、一个方形势必箱，a=b=0.5nm，计算势箱中粒子P与P2的平均值。解：5、线性谐振子波函数为 ，寻找基态时，粒子最可几位置。解：6、已知一维谐振子哈密顿，若选用变分函数 （aXa）（1）用变分处理该体系，求近似能量。 （2）a何值时，能量达到极小。解：7、对一维谐振子若改用变分函数，其中入为待定参数，用变分试求它的近似能量和近似波函数。解：8、应用变分函数，处理氢原子，选择参数C使变分积分达到极小，计算近似能量与基态的误差百分比。解：9、采用Gauss函数为尝试变分函数 ，试用变分求氢原子的基态的近似能量和近似波函数，并与精确解比较。式中入为待定变分参数和，a0为Borh半径。解：（不会考）10、设线性谐振子的Schrdinger方程为 其中为微扰项，试求能量级微扰项修正值。解：11、设H2+的娈分函数为 ，库仑积分,重叠积分为 ，交换积分为， 根据变分原理可得近似能量W的表达式。解：12、证明：3个SP2杂化轨道相互正交。证明：在sp2杂化中，各夹角为120度，其中s占有，p占有，所以 13、按照HCKEL的简单分子轨道理论的假设，求解下列分子或离子的各能级和相应的波函数。（画出分子图）3142丁二烯： 苯： 丙烯阴离子：解：（1） 0.83770.39041.001.001.001.89431.89431.4473分子图如下： 1.00C C C C654321（2） 分子图如下：123（3）0.70710.70711.51.51.001.0251.0250.3178分子图如下：C C C14、根据HUCKEL近似，写出下列分子的兀电子轨道的久期行列式。1234 亚甲基环丙烯： 解： 环丁二烯：1234解： 123456 富烯：解： 15、用HUCKEL处理环丙烯基阳离子，写出其兀电子和分子轨道与能级，并讨论离域能。1 环丙烯基阳离子：32解：分子图如下：123416、亚甲基环丙烯兀电子轨道如下，计算各C原子上兀电子电荷集居，C原子间重叠集居用简图表示。解：分子图如下：17、用HMO法试求丙二烯双自由H2C=C=CH2的兀型分子轨道及相应的能量，并计算兀键的键级。123解：H2C=C=CH20.70710.70711.001.001.001.0251.0251.3178分子图如下：C C C12345617（2）、试用HMO法，确定三亚甲基环丙烷分子轨道的系数。解：（不会考）18、写出动量径向分量的算符，计算氢原子在基态时的动量径向分量的平均值。解：19、角动量：证明：（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8）证明：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）20、自旋角动量 证明： 证明：同上。21、如 试证明：与A、B都正交。证明：22、如果AB=BA，矩阵B就称为与A可交换，设（a） (b) (C) 求所有与A可交换的矩阵。解：23、求A-1，设 （a） (b) adbc=1 (c) (d) (e) 解：（a） (b)(c) (d) (e)24、证明：不是厄米算符，当时，是厄米算符。证明：25、求解：26、证明：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）证明：（1）（2）（3） （4） （5） （6）（7）27、如果算符满足规则：求： （1）（2）（3）解：（1）（2）（3）28、如果都是Hermite算符，但，问是否为Hermite算符。证明：ZXRXY29、直角坐标系的Schrodinger方程转换为球坐标系的Schrodinger方程。x=Rsincosy=Rsinsinz=Rcostg=解：（不会考）30、Let ,that 解： 31、Show that ,for any two operator by under what condiction is .2、解：2.32、what do you supose we mean by .解：=133、Prove that the product of two linear operator is a linear operator.证明：34、Classify these operators as linear or nonlinear(a) (b) ( )2 (c) (d) exp (e)答：linear：，exp， Nonlinear：( )235、Evaluator the commutators证明：36、which of following functions are eigenfunctions of (a) (b) (c) (d) (e) 解：（a）(b)(c)(d)(e) 37、which of the following are sets of linearly independence functions(线性无关) (a) x , x2, x6 (b) 8, x , x2 ,3x2-1 (c) sinx , cosx (d) sinx , cosx ,tgx (e) sinx , cosx , eix (f) , 1答：（a）（b）（e）38、If is a non-normalized wavefunction and N is a constant such that Nis normalized ,express N in term of .解：39、已知，求下列函数的本征值。 解：40、we define that translation operation by . (a) Is a linear operator. (b)Evaluate 解：（a）所以是线性算符。(b) 41、求解光谱项及其光谱支项，并指出光谱基项。（a）p2，d3 (b) s1p1解：(a) p2 S=1，0 L=2，1，0光谱项为：1D，3P ，1S 光谱支项：1D2，3P2/1/0，1S0 d3(b) s1p1 L=1，S=1，0光谱项为：3P，1P 光谱支项：3P2/1/0，1P1光谱基项：3P042、在一维无限深的势阱中运动的粒子，试求（1）基态时的。 （2）基态（j=1）和第一激发态（j=2）时的动量P和P2的平均值。解：43、写出多原子分了的哈密顿算符。答：44、设： 证明：证明：名词解释：（略）
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