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离散数学试题及答案一、填空题 1 设集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 则A - B_; r(A) - r(B) _ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(AA)| = _.3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是_ _, 其中双射的是_.4. 已知命题公式G(PQ)R，则G的主析取范式是_.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为_，分枝点数为_.6 设A、B为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从AB_; AB_;AB _ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是_, _, _.8. 设命题公式G(P(QR)，则使公式G为真的解释有_，_, _.9. 设集合A1,2,3,4, A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1R2 = _,R2R1 =_,R12 =_.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |r(AB)| = _.11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = x | -1x1, xR, B = x | 0x 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释：Da,b, 则在解释I下取真值为1的公式是( ).(A)$xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)x$yP(x,y).6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G$xP(x), HxP(x),则一阶逻辑公式GH是( ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式G(PQ)，HP(QP)，则G与H的关系是( )。(A)GH (B)HG (C)GH (D)以上都不是.9 设A, B为集合，当( )时ABB.(A)AB(B)AB(C)BA(D)AB.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则R具有( )。(A)自反性 (B)传递性(C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( )。(A)aa,b,c (B)aa,b,c(C)a,b,c (D)a,ba,b,c12 命题xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ).(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( )条边可以得到树.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R为整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。2. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的关系R(x,y) | x, yA 且 x y, 求 (1) 画出R的关系图；(2) 写出R的关系矩阵.3. 设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,试求复合映射st，ss, sj, jt，sjt.4. 设I是如下一个解释：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) x$y P (y, x).5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R为A上整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3) 写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.6. 设命题公式G = (PQ)(Q(PR), 求G的主析取范式。7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (xP(x)$yQ(y)xR(x)，把G化成前束范式.9. 设R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)(PQR) (2) H = (P(QR)(Q(PR)13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵；(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵QS。2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).3. (本题10分)利用形式演绎法证明：AB, CB, CD蕴涵AD。4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：A(AB) = (AB)B .参考答案一、填空题1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .3. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.4. (PQR).5. 12, 3. 6. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 7. 自反性；对称性；传递性.8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).9. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).10. 2mn.11. x | -1x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0x1, xR.12. 12; 6.13. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).14. $x(P(x)Q(x).15. 21.16. (R(a)R(b)(S(a)S(b).17. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、计算证明题1. (1)(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) x$y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(QP)(QR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= ($xP(x)yQ(y)zR(z)= $xyz(P(x)Q(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. G(PQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(PR)(PQ)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四 证明题1. 证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PRP(2) RPQ(1)(3) PQP(4) RQQ(2)(3)(5) QRQ(4)(6) RSP(7) QSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3.证明：AB, CB, CD蕴涵AD(1) AD(附加)(2) ABP(3) BQ(1)(2)(4) CBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 AB, CB, CD蕴涵AD.4. 证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)= AB所以：A(AB) = (AB)B.离散数学试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(BC)，CD必须同时成立。因此(ACD)(BC)(CD)(A(C D)(CD)(BC)(CD)(A(C D)(CD)(BC)(BD)C(CD)(ABC)(ABD)(AC)(ACD)(C DBC)(C DBD)(C DC)(C DCD)(CDBC)(CDBD)(CDC)(CDCD)FF(AC)FF(C DB)FF(CDB)F(CD)F(AC)(BC D)(CDB)(CD)(AC)(BC D)(CD)T故有三种派法：BD，AC，AD。二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为：()()，()()()下面给出证明：(1)() P(2)(c) T(1)，ES(3)()() P(4)( c)( c) T(3)，US(5)( c) T(4)，I(6)( c)(c) T(2)(5)，I(7)()() T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。证明：ABx(xAxB)$x(xBxA)x(xAxB)$x(xBxA)$x(xAxB)x(xBxA)$x(xAxB)x(xAxB)($x(xAxB)x(xAxB)($x(xAxB)x(xBxA)(BA)。四、（15分）设A1，2，3，4，5，R是A上的二元关系，且R，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)RIA，s(R)RR1，R2，R3，R4，R2t(R)Ri，。五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。证明 对任意的x、yA，若xr(R)y，则由r(R)RIA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。下证对任意正整数n，Rn对称。因R对称，则有xR2y$z(xRzzRy)$z(zRxyRz)yR2x，所以R2对称。若对称，则xy$z(xzzRy)$z(zxyRz)yx，所以对称。因此，对任意正整数n，对称。对任意的x、yA，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。六、（10分）若f：AB是双射，则f1：BA是双射。证明 因为f：AB是双射，则f1是B到A的函数。下证f1是双射。对任意xA，必存在yB使f(x)y，从而f1(y)x，所以f1是满射。对任意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，则f(x)y1，f(x)y2。因为f：AB是函数，则y1y2。所以f1是单射。综上可得，f1：BA是双射。七、（10分）设是一个半群，如果S是有限集，则必存在aS，使得a*aa。证明 因为是一个半群，对任意的bS，由*的封闭性可知，b2b*bS，b3b2*bS，bnS，。因为S是有限集，所以必存在ji，使得。令pji，则*。所以对qi，有*。因为p1，所以总可找到k1，使得kpi。对于S，有*(*)*。令a，则aS且a*aa。八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：m(n2)。证明 设G有r个面，则2mlr。由欧拉公式得，nmr2。于是， m(n2)。（2）设平面图G是自对偶图，则| E|2(|V|1)。证明 设G*是连通平面图G的对偶图，则G* G，于是|F|V*|V|，将其代入欧拉公式|V|E|F|2得，|E|2(|V|1)。离散数学试题（B卷及答案）一、（10分）证明(PQ)(PR)(QS)SR证明 因为SRRS，所以，即要证(PQ)(PR)(QS)RS。(1)R 附加前提(2)PR P(3)P T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)QS P(7)S T(5)(6)，I(8)RS CP(9)SR T(8)，E二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)B(x)，x(A(x)Q(x)，x(P(x)Q(x)$x(P(x)B(x)。(1)x(P(x)Q(x) P(2)x(P(x)Q(x) T(1)，E(3)$x(P(x)Q(x) T(2)，E(4)P(a)Q(a) T(3)，ES(5)P(a) T(4)，I(6)Q(a) T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)B(x) P(8)P(a)(A(a)B(a) T(7)，US(9)A(a)B(a) T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x) P(11)A(a)Q(a) T(10)，US(12)A(a) T(11)(6)，I(13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)B(a) T(5)(13)，I(15)$x(P(x)B(x) T(14)，EG三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：|A|12，|B|6，|C|14，|AC|6，|BC|5，|ABC|2，|(AC)B|6。因为|(AC)B|(AB)(BC)|(AB)|(BC)|ABC|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是|ABC|12614653220，25205。故，不会打这三种球的共5人。四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai(Ai为Ai或)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、sr(r8)。对任意的aU，则aAi或a，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或，则aAi，即有asi，于是Usi。又显然有siU，所以Usi。任取两个非空小项sp和sq，若spsq，则必存在某个Ai和分别出现在sp和sq中，于是spsq。综上可知，s1，s2，sr是U的一个划分。五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。证明 (5)若R是传递的，则R*R$z(xRzzSy)xRccSy，由R是传递的得xRy，即有R，所以R*RR。反之，若R*RR，则对任意的x、y、zA，如果xRz且zRy，则R*R，于是有R，即有xRy，所以R是传递的。六、（15分）若G为连通平面图，则nmr2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。证明 对G的边数m作归纳法。当m0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n1，r1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1n2nn，m1m2mm1，r1r2r1r1。由归纳假设有n1m1r12，n2m2r22，从而(n1n2)(m1m2)(r1r2)4，n(m1)(r1)4，即nmr2。若e不为割边，则nn，mm1，rr1，由归纳假设有nmr2，从而n(m1)r12，即nmr2。由数学归纳法知，结论成立。七、（10分）设函数g：AB，f：BC，则：(1)fog是A到C的函数；(2)对任意的xA，有fog(x)f(g(x)。证明 (1)对任意的xA，因为g：AB是函数，则存在yB使g。对于yB，因f：BC是函数，则存在zC使f。根据复合关系的定义，由g和f得g*f，即fog。所以DfogA。对任意的xA，若存在y1、y2C，使得、fogg*f，则存在t1使得g且f，存在t2使得g且f。因为g：AB是函数，则t1t2。又因f：BC是函数，则y1y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，fog是A到C的函数。(2)对任意的xA，由g：AB是函数，有g且g(x)B，又由f：BC是函数，得f，于是g*ffog。又因fog是A到C的函数，则可写为fog(x)f(g(x)。八、（15分）设是的子群，定义R|a、bG且a1*bH，则R是G中的一个等价关系，且aRaH。证明 对于任意aG，必有a1G使得a1*aeH，所以R。若R，则a1*bH。因为H是G的子群，故(a1*b)1b1*aH。所以R。若R，R，则a1*bH，b1*cH。因为H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)a1*cH，故R。综上可得，R是G中的一个等价关系。对于任意的baR，有R，a1*bH，则存在hH使得a1*bh，ba*h，于是baH，aRaH。对任意的baH，存在hH使得ba*h，a1*bhH，R，故aHaR。所以，aRaH。第 18 页 共 18 页