电大专科微积分基础小抄复印.docx

XI电大专科微积分基础小抄一、填空题 （每小题4分，本题共20分）函数的的基本知识（一般是填空题的第1题）1 函数的定义域是2 函数的定义域是3 函数的定义域是4 函数的定义域是 5 函数 的定义域6 函数的定义域是 7 函数的定义域8 函数的定义域是9 函数的定义域是（-2，2）10 函数的定义域是11 函数的定义域是12 函数，则 13 如果是，则是x2-214 函数，则 15 如果是，则16 函数，则17 函数，则18 设,则19 若函数 ，则=20 若函数21 函数，则22 函数的单调增加区间是 16.函数的定义域是极限与连续（一般是填空题的第2题）1 若，则22 若，则33 若，则4 25 16 0 7 若函数,在处连续，则28 函数，则29 若函数,在处连续，则110 设函数 在x = 0处连续，则k = -111 若函数在x = 0处连续，则k = 112 函数的间断点是导数的几何意义（一般是填空题的第3题）1 曲线在点处的切线方程是2 曲线在点处的切线方程是3 曲线在在点（1，1）处的切线方程是4 曲线在任意一点处的切线斜率为，且曲线过点（1，1）， 则曲线方程为5 曲线在点的切线斜率是 6 曲线在点（1，2）处的切线斜率是7 曲线在点处的切线斜率是8 曲线在处切线的斜率是9 曲线在处的切线斜率是110.已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是导数与积分（一般是填空题的第4题）1.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = -62.已知，则=3.已知，则= 4.已知，则4.若，则=5.06. 7.若是的一个原函数，则若的一个原函数为，则若的一个原函数为，则8. 9. 10.若，则若，则11.412=13若=-cosx+c14由定积分的几何意义知，15.若，则-4cos2x16.若则=若，则=17. 18. 19.若，则若，则=-1若，则若，其中是常数，则20.函数的单调增加区间是21. 函数在区间内单调增加，则a应满足22.223. 24. 微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第5题）1.微分方程的特解为 通解为2.微分方程满足初始条件的特解为3.微分方程的通解为4微分方程的阶数为35.为3阶微分方程.6.微分方程的阶数为4 7.微分方程的阶数是38.微分方程的阶数为49.微分方程的阶数是310.微分方程的阶数为411微分方程的阶数是212.微分方程的阶数为 513.微分方程的通解为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）函数的的基本知识（一般是单项选择题的第1题） 设函数，则该函数是（A）如果是选 b奇函数A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2下列函数中为奇函数是（D） A B C D 3.设函数，则该函数是（B）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数4.设函数，则该函数是（B） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数5.设函数，则该函数是（A）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数6.函数的图形关于（A.）对称 A.坐标原点 B.轴 C轴 D.7.函数的图形是关于（D.）对称A B.x轴 C.y轴 D.坐标原点8.函数在区间是（A）A先减后增 B先增后减 C单调减少 D单调增加 9.函数在区间是（C）A单调减少 B单调增加 C先减后增 D先增后减10.函数在区间是（D）A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增11函数在区间是（B）A单调下降 B先单调下降再单调上升 C先单调上升再单调下降 D单调上升12.下列函数在指定区间上单调减少的是（D） A B C D13.下列函数在指定区间上单调增加的是（B） A B C D. 下列各函数对中，（D）中的两个函数相等 A， B， C， D，14函数的定义域为（D）或是且A B C且 D且15.函数的定义域是（C.）A. B.C. D. 16.设，则（D）A B C D17.设，则（C）A B C D18. 设，则（A）A B C D极限与连续（一般是单项选择题的第2题）1.若函数，则（A）.A B0 C1 D不存在2. 已知,当( C.)时,为无穷小量. A. B. C. D. 3.当时，下列变量中为无穷小量的是（C）.A B C D4.已知,当( D.)时,为无穷小量. A. B. C.1 D.0 5.当（C）时，函数，在处连续. A0 B1 C2 D3 6.当（D）时，函数在处连续.A0 B1 C2 D3 7当（C）时，函数在处连续.A0 B1 C2 D 8.当=（A）时，函数，在处连续.A1 B2 C D09. 当=（B）时，函数，在处连续.A0 B-1 C1 D210.函数的间断点是（A）A B C D无间断点导数与积分（一般是单项选择题的第3，4题）1函数在处的切线方程是（C.）A. B. C. D.2.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C）A B Cy = x2 + 3 D y = x2 + 4 3.下列结论中（C）正确 A在处连续，则一定在处可微.B函数的极值点一定发生在其驻点上.C在处不连续，则一定在处不可导. D函数的极值点一定发生在4.若函数f (x)在点x0处可导，则(B)是错误的 不可导点上. A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 5. 满足方程的点一定是函数的（C）A极值点 B最值点 C驻点 D间断点6下列等式中正确的是（D.） A . B. C . D. 7.以下等式成立的是（A）A B C D 8.设，则（D） A B C D9.若，则（B.）. A. B. C. D. 若，则（ A ）. A. B. C. D. 设是可微函数，则（ D ） A B C D10.下列等式成立的是（A）A B C D11.（A.）A. B. C. D. 12.如果等式，则（B.）A. B. C. D. 13. 下列无穷积分收敛的是（B）A B C D14.( D.)A.0 B.1 C. D.=（ c ） A B CD15.设是连续的奇函数，则定积分（D）A B C D016. 下列结论中( A )不正确. A. 在处连续，则一定在处可微 B. 在处不连续，则一定在处不可导C. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上 D. 若在 a ， b 内 恒有则在 a ， b 内 函数是单调下降的17.若（B.）A. B. C. D. 18.若，则k=( A )A. 1 B. -1 C. 0 D.19.下列定积分中积分值为0的是（ A ） AB C D20. （ D ）A0 B C D微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第5题）1.微分方程的阶数为（B.） 若是4xy(4)则选cA. 2； B. 3； C. 4； D. 52. 微分方程的阶数为（C.）A. 1 B. 2 C. 3 D. 53.微分方程的通解是（A.）A. ；B. ；C. ；D. 4.微分方程的通解为（B.）A. ；B. ； C. ； D. 5微分方程的特解为（C）A B C D 6.函数是微分方程（D. ）的解A. B. C. D. 7.微方程的通解为（C.）A. B. C. D. 8.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B.）A. ； B. ； C. ； D. 9.下列微分方程中，（D）是线性微分方程 A B C D三、计算题（本题共44分，每小题11分）计算极限（一般是计算题的第1题）计算极限 1 解：原式2.计算极限 2解：3.计算极限 3 解：原式4.计算极限 4解：原式5计算极限 5解：原式 如果是解也倒过来写6计算极限 6解：7计算极限 7解：8.计算极限 8解：原式9.计算极限 9解：原式10.计算极限 10解：原式11.计算极限 11解：12.计算极限 12解：计算极限 解：13.计算极限 13解：计算极限 解：14.计算极限 14解：原式15.计算极限解：16.计算极限解：17.计算极限解：求导数或求微分（一般是计算题的第2题）1. 设，求 1解： 2.设 2解： 3设，求. 3解：4设，求. 4解：设，求 解：5设，求. 5解：6设，求. 6解： 7.设，求. 7解： 8.设，求. 8解： 9.设，求. 9解： 10.设，求. 10解： 11.设，求 11解： 12.设，求 12解： 13.设，求. 13解： 14.设，求. 14解： 15. 设，求. 15解： 16. 设是由方程确定的隐函数，求解：两边微分： 17. 设是由方程确定的隐函数，求解：两边对求导，得： ， 18.设是由方程确定的隐函数，求解：两边微分，得： ，19.设，求解：两边对求导，得： 计算不定积分（一般是计算题的第3题）1计算不定积分 1解：= 2.计算不定积分 2解：= 3计算不定积分 3解：计算不定积分 解：4.计算不定积分 4解：= 5.计算不定积分 5解：6.计算不定积分 6解：7计算不定积分 7解:8.计算不定积分 8解：= 9计算不定积分 9解：10计算不定积分 10解：= 11计算不定积分 11解：12.计算不定积分 12解：= 计算不定积分解：13.计算不定积分解：计算定积分（一般是计算题的第4题）1.计算定积分 1解： 2.计算定积分2解： 3.计算定积分 3解：4.计算定积分 4解：5.计算定积分 5解：6.计算定积分 6解： 7计算定积分 7解：8.计算定积分 8解：9.计算定积分 9解：10计算定积分 10解： 计算定积分 解： 11.计算定积分 11解：12计算定积分 12解：13. 计算定积分解：四、应用题（本题16分）1.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 设底边的边长为，高为，用材料为，由已知，表面积 ， 实际答题时把32代替式中的v,并算出来。令，得， 此时=2由实际问题可知，是函数的极小值点，所以当，时用料最省。1-1 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？(本题的解法与1同，只需把V=62.5 代入即可。)解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知表面积 令，解得x3=2V=216 此时 x=6, =3 由实际问题可知，是函数的极小值点，所以当，时用料最省。1-2.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与1同，只需把V=62.5 代入即可。2用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有 所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元） 3.（1107考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其容积表面积为， 由得，此时。由实际问题可知，当当容器的底半径与高分别为与时，用料最省。3-1.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与3完全相同。4.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是 =3令得唯一驻点（舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省.5设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为厘米，以厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：，即：，令，得：（不合题意，舍去），这时由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才能使圆柱体的体积最大。