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概率论与数理统计第一章 随机事件与概率基本概念：随机试验E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果样本点w -随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间W-随机试验E的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系：A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、AB D、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A与B相互独立 D、A与B互不相容例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A“甲命中目标且乙未命中目标”，则： =（ D ）A) 甲未命中目标且乙命中目标 B) 甲乙都没命中目标C) 甲未命中目标 D) 甲未命中目标或乙命中目标事件之间的运算：事件的交AB或AB事件的并AB事件的差A-B 注意： A-B = A = A-AB = (AB)-BA1,A2,An构成W的一个完备事件组(或分斥)指A1,A2,An两两互不相容，且Ai=W例1设事件A、B满足A=，由此推导不出 (D)A、AB B、 C、AB=B D、AB=B例2若事件B与A满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A= D、B=运算法则：交换律AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = =文氏图 事件与集合论的对应关系表：记号概率论集合论W样本空间，必然事件全集不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一个子集A的对立事件A的补集AB事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等AB事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=事件A与事件B互不相容（互斥）A与B没有相同的元素古典概型：古典概型的前提是W=w1, w2, w3, wn, n为有限正整数，且每个样本点wi出现的可能性相等。P(A)=例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。解：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|W|=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C3！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC)，另有一个杯子恰有1个球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；则P(A2)=36/64 =9/16 例2从1,2,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。解：p1=, p2= = 古典概型基本性质：(1)非负性，对于任一个事件A，有P(A)0;(2)规范性:P(W)=1或P()=0;(3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,An有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An)概率的公理化定义：要求函数P(A)满足以下公理：(1)非负性，有P(A)0;(2)规范性:P(W)=1;(3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,An有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An)概率公式：求逆公式 P()=1- P(A)加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当AB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A = A-AB = (AB)-B条件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)0) P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0)全概率公式：P(A)= P(A|Bi)P(Bi) 其中B1,B2,Bn构成W的一个分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)= = （由果溯因）例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占45%。据以往记录，吸烟的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有5%确患有肺癌（1）在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率; （2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率. 解 ：设 A=患有肺癌, B=可疑病人吸烟, 则由条件得：P(B)=0.45, P（）=0.55, , .（1）由全概率公式得：=0.68.（2）由贝叶斯公式得：.2.在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假如有80%的学生知道指定问题的正确 答案，不知道正确答案的作随机猜测，求：1）任意指定的一个学生能正确回答率;（5分）2）已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率解 设 A=正确回答, B=随机猜测, 则由条件得：P(B)=0.2, P（）=0.8, , . （1）由全概率公式得：=0.84. （2）由贝叶斯公式得： 3.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为0.2、0.4、0.4，乘火车来迟到的概率为0.5，乘轮船来迟到的概率为0.2，乘飞机来不会迟到. 试求：（1）他来迟到的概率是多少？(5分) （2）如果他来乙地迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少？(5分)解:设 A=迟到, B1=乘火车, B2=乘轮船, B3=乘飞机, 则由条件得：P(B1)=0.2, P(B2)=0.4, P(B3)=0.4, , , . （3分）（1）由全概率公式得：0.18. （7分）（2）由贝叶斯公式得： （10分）4.将两种信息分别编码为A和B传递出去，由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接收站收到信息时，信息A被误收为B的概率是0.02,而B被误收为A的概率是0.01。整个传送过程中，信息A与B传送次数比为2 :1，(1)求收到信息是A的概率;(8分)(2)试求当收到信息是A时，问原发信息也是A的概率.(7分)一、 解 设 A=收到信息是A, B1=发出信息为A, B2=发出信息为B，则由条件得： P(A|B1)=0.98, P(A|B2)=0.01, P（B1）=2/3，P（B2）=1/3（3分）（1）由全概率公式得：P（A）=0.982/3+0.011/30.66 （8分）（2）由贝叶斯公式得：P（B1|A）=（3分） = （7分）概论的性质：应用题：若事件相互独立，且，则= 0.625 例1设两两相互独立的三个事件A, B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件A与B独立 2. 事件A与事件B独立事件A与事件独立事件与事件B独立事件与事件独立事件A1,A2,An相互独立-指任意k个事件Ai1,Ai2,Aik满足P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中k=2,3,n。例1设P(A)1/2，P(B)1/3，P(A | B)1/4，则P( AB)_3/4_例2已知, , , 则= ( D )(A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75贝努里概型：指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P()=1-p。二项概率-在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数：分布函数定义：F(x)=Pxx, -x+分布函数(x)实质上表示随机事件Pxx发生的概率。分布函数F(x)的性质 (1)0F(x)1;(2) F(x)=0, F(x)=1(3)单调非减，当x1x2时，F(x1)F(x2)(4)右连续 F(x)=F(x0)一些概率可用分布函数来表示Paxb=F(b)-F(a),Px=a=F(a)-F(a-0), Pxa=1-F(a), Pxa=1-F(a-0), 例1.设随机变量x的分布函数为 F(x)= , 则 Pxp/4 = ( ) (选C，因为Pxp/4 =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、/2 D、1例2.设随机变量x1和x2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，为使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5(选A，因为F(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=a-b )例3.连续型随机变量 x 的分布函数为 F(x) = A + B arctanx, -x求：(1) 常数A,B； (2) x 落入（-1，1）的概率。解：因为F(+)=1, F(-)=0，所以A + Bp/2=1，A - Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = + arctanx .x 落入（-1，1）的概率为P-1x1=F(1)-F(-1) = + arctan1 ( + arctan(-1)= + = 例4.设X是一个连续型随机变量，其概率密度为f (x )，分布函数为F ( x )，则对于任意x值有( A ) ( A ) P (X = x ) = 0 ( B ) ( C ) P ( X = x ) = f ( x ) ( D ) P (X = x) = F ( x )5.设随机变量的概率密度为 .求（1）系数；（2分）（2）的分布函数；（4分）（3）概率.解 由题意得：（1） , A=.（2）（3）设随机变量具有概率密度（1）确定常数；（2）求的分布函数；（3）求.离散型随机变量：定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列： 其中每一个 pi0 且 =1离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。离散型随机变量常见分布：1)两点分布X(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为PX=0=p, PX=1=1-p2)二项分布XB(n,p)；分布律为 b(k;n,p)= PX=k= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n) 其中 0p13)泊松分布XP(l)；分布律为 PX=k= e-l (k=0,1,2,3,) 。4)几何分布：XGe(p)；分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 。在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X为事件A首次出现时的试验次数，则X的可能取值为1,2,称X服从几何分布。如果说恰好出现K次，则用二项分布b(k;n,p)= PX=k= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n) 其中 0p15)超几何分布：X h(n,N,M)；分布列为 PX=k= (k=0,1,2,3,r, 其中r=minM,n) 。 设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品个数X服从超几何分布。离散型例题：例1设随机变量x的分布列为Px=k=，k=1,2,，则常数C= ( )A、1/4 B、1/2 C、1 D、2(因为Px=k=1, 即=1, 所以c=1 )例2某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用仅。求耗用子弹数x的分布列。解：x的分布列为x 1 2 3 4 5概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3设离散型随机变量x的概率分布为x 0 1 2p 0.3 0.5 0.2其分布函数为F(x)，则F(3)= ( )A、0 B、0.3 C、0.8 D、1(选D，因为F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)连续性随机变量：定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量x的分布函数F(x)，存在非负可积函数p(x)，使得对于任意实数x，有 F(x)= p(u)du， 则称x为连续型随机变量，其中p(x)为的概率密度函数.密度函数必须满足条件：(1) p(x)0, -x+(2) p(x)dx=F(+)=1连续型随机变量的性质：1.分布函数是连续函数；2 F(x)=p(x);3 Px=a=0, 所以Paxb= Paxb= Paxb= Paxb= p(x)dx 4 Pxxx+Dx p(x)Dx常见连续型型随机变量的分布：1)均匀分布xUa,b；密度函数 p(x)= 分布函数F(x)= 2)指数分布xexp(l)；密度函数 p(x)= 分布函数F(x)= 3)正态分布xN(m,s2)；密度函数p(x)= e (-x+) 分布函数F(x)= edt标准正态分布N(0,1)，它的分布函数F(x)可查表得到，一般F(x)=F( )。例： 已知N（2 ，），且P 2 4 =0.3,则P 0 =（ B ）A) 0.8 B) 0.2 C ) 0.4 D). 0.52、甲在上班路上所需的时间（单位：分）XN（50，100）已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）甲迟到的概率；解：P（甲迟到） 连续型例题：例1设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=EX2= .解：因为X 服从参数为1的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2， 于是 PX=EX2=PX=2=e 1 例2设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数 F(y)。解: XE(l), 因为EX=1/l=5 l=1/5, 每次开机无故障的时间Y=minX,2,易见当y0 时，F(y)=0；当y2时，F(y)=1；当0y2时，F(y)=PYy=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以Y的分布函数 F(y)= 随机变量的函数的概率分布：1离散型的求法设离散型随机变量X的分布律为： ,则X的函数Y=g(X)的分布律为：, 当g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。2连续型的公式法：设X为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域a,b，且g(x)0，记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为fY(y)=3连续型的直接变换法(分布函数法)：FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS，其中S=x|g(x)y，然后再把FY(y)对y求导，即得fY(y)fY(y)=随机变量的函数的概率分布的例题：例1设X的分布律为：，求Y=(X-1)2的分布律。解：先由X的值确定Y的值，得到，将Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y的分布律。例2设随机变量X的分布函数为FX(x)，求随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y).解：FY(y)=PYy= P3X+2y= PX= FX() 例3设随机变量X的密度函数为fX(x)= ,求随机变量Y=3X+2的密度函数fY(y).解：用公式法：设y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为x=h(y)= , -11 -1y5, |h(y)|= 则Y=g(X)的密度函数为fY(y)= = 例4设X在区间0,2上服从均匀分布，试求Y=X3的概率密度。解：因XU0,2，所以 fX(x)= 。 用分布函数法分段讨论：当y0时, FY(y)=PYy= PX3y= 0，当0y8时, FY(y)=PYy= PX3y= PX=dx，fY(y)= FY(y)= (y)= ,当y8时, FY(y)=PYy= PX3y= PX=dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 5.已知的概率密度为，则3的概率密度函数为_6.设，则随机变量在（，）内的概率密度函数为7.设随机变量 X在(0,1)服从均匀分布, 则 的概率密度为第三章 多维随机变量及其概率分布二维随机变量：二维随机向量(x,h)的联合分布函数指F(x,y)=Pxx,hy0F(x,y)1 ; F(-,+)= F(x,-)= F(-,y)=0; F(+,+)=1; Px1xx2,y1hy2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)二维随机向量(x,h)的边缘分布函数Fx(x)= Pxx=F(x,+), Fh(y)= Phy=F(+,y)二维离散随机变量：二维离散型随机变量及其概率分布 Px=xi,h=yj=pij , 其中 pij=1 且 pij0 可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示x的边缘分布列为 Px=xi=pij = pi*h的边缘分布列为 Ph=yj=pij = p*例1设二维随机向量（x,h）的联合分布律为hx1211/61/321/4a则常数a= （ ）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2答案：pij=1 所以 a=1/4 , 选B. 二维连续随机变量：二维连续型随机向量(x,h)的分布函数F(x,y)= p(u,v)dudv p(x,y) 称为随机向量(x,h)的联合密度函数p(x,y)0, p(x,y)dxdy=1 , =p(x,y)利用密度函数求概率 P(x,h)D=二维连续型随机向量(x,h)的边缘分布, px(x)，ph(y) 称为边缘密度函数px(x)= p(x,y)dy ph(y)= p(x,y)dx条件分布：离散型：在条件Y=yj下随机变量X的条件概率分布为PX=xi|Y=yj= = , i=1,2,连续型：在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分别为：FX|Y(x|y)= fX|Y(x|y) = 例1：设随机变量X在区间 (0,1)上服从均匀分布，在X=x (0x1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求：随机变量X和Y的联合概率密度；解：X的概率密度为 fX(x)= ，在X=x (0x1)的条件下，Y的条件概率密度为fY|X(y|x)= 当 0yx1时，随机变量X和Y的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x在其它点 (x,y)处，有 f(x,y) =0，即X和Y的联合概率密度为f(x,y) = 例2：设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度为fY(y)= ，记Z=X+Y， 求PZ1/2 | X=0。解：(1) PZ|X=0= PX+Y|X=0= PY=1dy= . 二元正态分布：二元正态分布N(m1,m2,s12,s22,r)的密度函数p(x,y)= exp- - + 二元正态分布N(m1,m2,s12,s22,r)的边缘密度分布仍是正态分布 xN(m1,s12) , hN(m2,s22)边缘概率密度为 fX(x)= e, fY(y)= e二元均匀分布：(X,Y)在区域D上服从均匀分布设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= ，则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布。例1:设 (X,Y) 服从区域D：(x, y)：axb, cyd上的均匀分布，求（1）(X,Y) 的联合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ;解：(1) f(x,y)= ;(2) pX(x)= p(x,y)dy =, pY(y)= p(x,y)dx=例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。试求：(1)常数A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。解：由分布函数性质，得到F(+,+)=A(B+)(C+), F(x,-)=A(B+arctan)(C-)=0, F(-,y)=A(B-)(C+arctan)=0, 解得 A=, B=C= . 即F(x,y)= (+arctan)(+arctan)。(2) f(x,y) = = . 例2: 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1。.解：PmaxX,Y1=PX1且Y1，因为X与Y相互独立，所以PX1且Y1= PX1PY1= 。（这里PX1=dx= ） 例3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) = 求：(1) (X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)；(2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) 。解：(1) fX(x)= f(x,y)dy1dy= 2x, 所以边缘概率密度fX(x)= fY(y)= f(x,y)dx1dx= 1-y, 所以边缘概率密度fY(y)= (2) FZ(z)=P2x-yz=1-=1-dx1dy =1-(2x-z)dx= z - 得到FZ(z)= ，所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ(z)= 4.设随机变量和具有联合概率密度；求边缘概率密度及例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= 求(1)常数C; (2)PX+Y1;(3)联合分布函数F(x,y).解：(1)由的概率密度性质得到1=f(x,y)dxdy=(x2+cxy)dxdy=+c c= ;(2)PX+Y1=dx(x2+)dy=(x3+x2+x)dx = (3) 当x0或y0时，F(x,y)= p(u,v)dudv=0;当0x1, 0y2时，F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+)dudv=+;当0x1, y2时，F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+)dudv=+; 当x1, 0y2时，F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+)dudv=+;当x1, y2时，F(x,y)= p(u,v)dudv=1综上所述F(x,y)= 独立性：若F(x,y)=Fx(x)Fh(y)，则称随机变量x与h相互独立。几个充要条件：连续型随机变量x与h相互独立 p(x,y)=px(x)ph(y) 离散型随机变量x与h相互独立 pij=pipj 二元正态分布N(m1,s12,m2,s22,r) 随机变量x与h相互独立r=0。X与Y相互独立f(X)与g(Y)也相互独立。例：袋中有2只白球，3只黑球,现进行无放回地摸球，定义：x = h= 求:(1)（x，h）的联合分布；（2）x，h 的边际分布；（3）x，h 是否相互独立？解:(x,h)的联合分布与边际分布为x h01px03/103/106/1013/101/104/10ph6/104/10因为p(0,0)=3/10px(0)ph(0)=9/25所以x与h不独立。例2：设A, B是二随机事件；随机变量 X= Y=试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。例3设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)= , 求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。解：关于X的边缘概率密度fX(x)= f(x,y)dy, 当0x1时，fX(x)= 8xydy=4x3, 当x1时，fX(x)=0; 所以 fX(x)= 。同理当0y1时，fY(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况fY(y)=0, 所以关于Y的边缘概率密度fY(y)= . 因为当0x1, 0y1时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。设二维随机变量(X,Y )的概率密度函数为关于2.求: (1) Y关于X的边缘分布密度函数，并判断X与Y是否独立？(6分)(2) . (4分)解 由条件得：当 时，则 ，从而当时，则 从而（1） 因为 , ，所以X与Y不独立.（2）两个随机变量的函数的分布：几条结论：1. XP(l1), YP(l2), 若X与Y相互独立，则X+YP(l1+l2);2. XN(m1,s12), Y N(m2,s22), X与Y相互独立，则X+Y N(m1+m2,s12+s22);3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y)，设X与Y相互独立，则Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx=f(x, z-x)dx 或fZ(z)= fX(z-y)fY(y)dy=f(z-y, y)dy.例1:已知的联合概率分布为 , 求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。解：令Z1=X+Y，则Z1的加法表为,令Z2=XY，则Z2的乘法表为,(1) Z1的分布律为, 即(2) Z2的分布律为, 即 例2:设随机变量X,Y相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，求X+Y的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以Z=X+Y在有效区间0,2上取值。利用卷积公式得到fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1 0xz, z-1x1.当0z1时，fZ(z)= 11dx=z; 当1z2时，fZ(z)= 11dx=2-z;当的其余取值时，fZ(z)=0。所以Z的概率密度fZ(z)= 多维随机变量：n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数F(x1,x2,xn)=PX1x1, X2x2,Xnxn.如果X1,X2,Xn相互独立，且每个XiN(mi,si2), 则X=a1X1+a2X2+anXn N(, )如果X1,X2,Xn相互独立，Xj的分布函数为FXj(xj)，则M=maxX1,X2,Xn的分布函数为 Fmax(z)=FX1(x1)FX2(x2) FXn(x1n)， 则m=minX1,X2,Xn 的分布函数为 Fmin(z)=1- (1-FX1(x1)(1-FX2(x2) (1-FXn(x1n)第四章 随机变量的数字特征数学期望：1. 随机变量数学期望的定义离散型 E(x)= E(g(x)= 连续型E(x)= xp(x)dx E(g(x)= g(x)p(x)dx 2. 二维随机变量(X,Y)的数学期望：离散型 E(X)=*=xipij E(Y)= yjp*j=yipij 连续型E(X)= xfX(x)dx= xf(x,y)dxdyE(Y)= yfY(y)dy= yf(x,y)dxdy3. 二维随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望：Eg(X,Y)= g(xi,yj)pij Eg(X,Y)= g(x,y)f(x,y)dxdy 4. 数学期望的性质E(c)=c , E(ax)=ax , E(xh)=ExEh 若x与h相互独立，则 E(xh)=ExEh方差：1.随机变量方差的定义- D(X)=EX-E(X)2 = EX2 (EX)2 D(X)= x-E(X)2 f(x)dx2.方差性质：D(c)=0 , D(ax)=a2x , D(ax+b)=a2Dx , D(xh)=Dx+Dh2cov(x,h)若x与h相互独立，则 D(xh)=Dx+Dh协方差：1.x与h的协方差cov(x,h)=E(x-Ex)(h-Eh) (或为sxh)2.协方差的性质：cov(x,x)= Dxcov(x,h)=cov(h,x), cov(x,c)=0cov(ax,bh)=ab cov(x,h) , cov(x,hz)=cov(x,h)cov(x,z)3.协方差矩阵：设n维随机变量X1,X2,Xn, 记cij=cov(Xi,Xj)，则称阶矩阵C=(cij)nn为X1,X2,Xn的协方差矩阵例1：设x的密度函数p(x) = 求：Ex解1= p(x)dx c=3/2;Ex= xp(x)dx= xdx=lnx=ln3. 例2设 x1，x2 是随机变量 x 的两个任意取值，证明：E(x - )2 Dx 。证：E(x - )2=Ex2-x(x1+x2)+ ()2= Ex2-(Ex)(x1+x2)+ ()2- (Ex)2+(Ex)2=Dx+(Ex)2- (Ex)(x1+x2)+ ()2=Dx +(Ex - )2Dx . 例3设随机变量的概率密度为fX(x)= e- |x| ,-x0ll均匀分布Ua,bp(x)=几何分布XGe(p)分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 超几何分布X h(n,N,M)PX=k= k=0,1,2,3, minM,n指数分布exp(l)p(x)=正态分布N(m,s2)p(x)= e (-x+)ms2二维正态分布N(m1,s12,m2,s22,r)p(x,y)= exp- - + Ex=m1Eh=m2Dx=s12Dh=s22第五章 大数定律及中心极限定理切比雪夫不等式：P|x-Ex|e , P|x-Ex|e 1 - 例1：设随机变量x1, x2, x3，独立同分布，且xi服从参数为l的指数分布，i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明：P0x1+x2+x36/l2/3 .证：xiexp(l), ExI=1/l; 令X=x1+x2+x3 ,则EX=E(x1+x2+x3)=3/l，DX=D(x1+x2+x3)=3/l2.P0x1+x2+x36/l= P0X6/l= P-3/lX-3/l3/l= P|X-3/l|3/l1 - = 1- = 1- = 例2：已知随机变量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估计X落在(80,120)内的概率。解：P80X120= P-20X-10020= P|X-E(X)|0，样本均值 所满足的切比雪夫不等式为（ B ）APBP1CP1DP例5.设随机变量XU（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X|）_0.25 _大数定律：切比雪夫大数定理：设随机变量X1,X2,Xn相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给定正数e，恒有P| | e= 1。伯努利大数定理：设nA是在n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意给定正数e，恒有P| - p|e= 1 (或 P| - p| e= 0)辛钦大数定理：设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EXk=m，则对任意给定正数e，恒有P| m | e= 1中心极限定理：棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量Yn (n=1,2,3,)服从参数为n, p的二项分布，即YnB(n,p)，则对任意实数x，恒有 Px= F(x) = edt edt这一定理说明，服从二项分布B(n,p)的随机变量Yn作标准化后的随机变量的极限分布是标准正态分布N(0,1)。中心极限定理(林德贝格-勒维)：设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EXk=m，和方差D(Xk)=s20，随机变量Yn=(-nm)/s 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数x，恒有 Fn(x)= PYnx= F(x) = edt这一定理说明，的标准化随机变量Yn=(-nm)/s 的极限分布是标准正态分布N(0,1)中心极限定理的应用：将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为_0.0228_.（附：（2）=0.9772）设随机变量XB(100,0.2),应用中心极限定理可得PX30=_0.0062 _. (已知(2.5)=0.9938)例1：某计算机系统由120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由10个终端同时使用打印机的概率。解：设X为同时使用打印机的终端的个数，则XB(120,p)，这里p=3/60=0.05。E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 PX10=1 PX10=1 PX10=1 P 利用中心极限定理上式近似等于 =1-F(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由10个终端同时使用打印机的概率为0.0379 例2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6)区间的概率不小于0.9？解：设共进行次试验，X为出现正面的次数，则XB(N,p)，这里p=1/2=0.5。E(X)=np=0.5N, D(X)=npq=0.25N 。所求的为 P0.4X/N0.60.9。 将X标准化 P0.4X/N0.6= P0.4NX0.6N = P= P-0.20.22F(0.2) 1 0.9F(0.2)0.95, 查表F(1.645)=0.95，则0.21.645 N 67.65， 即至少抛68次才能满足要求。 例3：设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式P|X+Y|6 . 解: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2r = !+4+2(-0.5)12= 3,则根据切比雪夫不等式P|X+Y|6= P|X+Y - E(X+Y)|6 = = 例4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（F(2)=0.977，其中F(x)是标准正态分布函数）解: 设Xi为第i箱重量(千克)，i=1,2,n。则EXi=EX=50，DXi=50。令Z=, 则EZ=50n, DZ=25n. 要求PZ50000.977,利用中心极限定理 PZ5000= P=F()0.977因为F(2)= 0.977，所以2 25n2-5001n+2500000 n98. 每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 例4：设随机变量X1,X2,Xn相互独立，Sn=X1+X2
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