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概率论与数理统计期末试题一一、 填空题（每小题4分，共40分）1、 设与为互不相容的两个事件，则 0 。2、 事件与相互独立， 则 0.5 。3、 设离散型随机变量的分布函数为 且 ，则 。 4、 某人投篮命中率为，直到投中为止，所用投球数为4的概率为_。5、 设随机变量与相互独立，服从“0-1”分布，；服从的泊松分布，则6、 已知 则7、 设总体服从正态分布从总体中抽取样本则统计量服从_分布。8、 设总体服从正态分布其中为未知参数，从总体中抽取容量为16的样本，样本均值则总体均值的的置信区间为_（4.51，5.49）_。（）9、 若，且与相互独立，则服从_分布。二、 计算题（每小题10分，共60分）1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。解： （1）一只是正品一只是次品的概率为： （2）第二次才取得次品的概率为： （3）令表示“第一次取出的是正品” ，表示“第一次取出的是次品” 表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为： 2、 （10分）设随机变量的概率密度 0 其它 求：（1）的值；（2）的分布函数；（3）解：（1）由可得， 所以， 0 其它（2） ， ， . 1 （3） . 3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）和的联合分布律；（2）和的边缘分布律。解：（1）和的联合分布律为： （2）和的边缘分布律。 由于与相互独立，所以和的边缘分布律分别为： .4、 （10分）设总体的概率密度为 0， 其它 （1） 求的最大似然估计量；（2）求的矩估计量。解：（1）似然函数为： 取对数为：. 由得， 则的最大似然估计量为：。 （2） 由得，的矩估计量为：5、 （10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布，现测得9炉铁水的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（）？（注： ）解： 在原假设成立的条件下，已知 则 ，由得拒绝域为： 当时， 所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。1、设与为互斥事件，则 0 8、已知总体，均未知，现从总体中抽取样本则的矩估计量；的矩估计量。10、设随机变量 且 ，则 6 ， 0.4 。1、（10分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为 ， 乘飞机的概率为 ，如果乘火车来，迟到的概率为 ， 乘飞机来，迟到的概率为 ， 求：（1）此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？解：设C=“此人迟到”，A=“乘火车”，B=“乘飞机”则，（1）由全概率公式： （2）由贝叶斯公式： 2、（10分）某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以 表示乘客的候车时间，求：（1）乘客候车时间的概率分布。（2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。解：（1） （2） 6、（10分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了10只甲种灯泡和8只乙种灯泡，测得平均寿命分别为 甲 =1400（小时）和乙 =1250（小时），样本标准差分别为 甲=52（小时） 和 乙=64（小时），设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等，试计算两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间。 （注： , ）解：因为两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等采用统计量， 又知 甲 =1400 乙 =1250，甲=52，乙=64， 两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间的下限为：=1400-1250-2.119957.560.474342=92.12置信区间的上限为：=1400-1250+2.119957.560.474342=207.88 两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间（92.12，207.88） 1、设与为相互独立的两个事件，则 。3、已知，则 ； 。（请采用的形式表示计算结果）10、设总体服从正态分布，从总体中抽取样本样本均值为，样本方差为，若未知，检验假设，则使用的统计量为 ，在显著性水平下关于的拒绝域为 。1、 已知一群人中，男人的色盲患者为，女人的色盲患者为0.25%，又知这群人中男女人数相等，现从其中随机抽取一人，求：（1）这个人是色盲的概率？（2）若这个人恰好是色盲，求其是男性的概率？解：（1）令表示“这个人是色盲”，表示“这个人是男的”。七、（15分）设是来自几何分布 ，的样本，试求未知参数的极大似然估计. 解 -5分 -10分解似然方程 ，得的极大似然估计 。-15分一、填空题（每小题3分，共15分）1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为_.2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.5 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_. 解：1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ，故 . 3设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以 4，故 . 5似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品 则（1） （2） .七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受.（1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，则事件、中仅发生或仅不发生的概率为_.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则_.（4） 设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ）解（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2）设四个球是同一颜色的， 四个球都是白球，四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 . （3） 其中 ， ， . （5） 即 ，亦即 .（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） （2）的分布函数为 （3）.10
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