数学中考综合题及答案解析.docx

数学中考综合题及答案解析1.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若EBF=45，则EDF的周长等于 2.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=，则HC的长为（）A4BCD63.如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，ABBC，BCCD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=BE，则点F到边CD的距离是（）A3BC4D4.如图，D是等边ABC边AB上的点，AD=2，DB=4现将ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则=ABC是等边三角形，A=B=C=60，AB=AC=BC=6，由折叠的性质可知，EDF=C=60，EC=ED，FC=FD，AED=BDF，AEDBDF，=，=，故答案为：5.如图，O是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作ODAB于点D，延长DO交O于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF（1）若POC=60，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是O的切线【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明POEADO可得DO=EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用CEPCAP找出角的关系求解方法2、先计算判断出PD=BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论【解答】（1）解：AC=12，CO=6，=2；答：劣弧PC的长为：2（2）证明：PEAC，ODAB，PEA=90，ADO=90在ADO和PEO中，POEAOD（AAS），OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，OA=OP，OAP=OPA，由（2）得OD=EO，ODE=OED，又AOP=EOD，OPA=ODE，APDF，AC是直径，APC=90，PQE=90PCEF，又DPBF，ODE=EFC，OED=CEF，CEF=EFC，CE=CF，PC为EF的中垂线，EPQ=QPF，CEPCAPEPQ=EAP，QPF=EAP，QPF=OPA，OPA+OPC=90，QPF+OPC=90，OPPF，PF是O的切线法二：设O的半径为rODAB，ABC=90，ODBF，ODECFE又OD=OE，FC=EC=rOE=rOD=rBCBF=BC+FC=r+BCPD=r+OD=r+BC PD=BF 又PDBF，且DBF=90，四边形DBFP是矩形OPF=90OPPF，PF是O的切线方法3、AC为直径，ABC=90又ADO=90，PDBFPCF=OPCOP=OC，OCP=OPCOCP=PCF，即ECP=FCPPDBF，ODE=EFCOD=OE，ODE=OED又OED=FEC，FEC=EFCEC=FC在PEC与PFC中PECPFC（SAS）PFC=PEC=90四边形PDBF为矩形DPF=90， 即PF为圆的切线zx007Az7如图，在ABC中，A=90，AC=3，AB=4动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿BCA匀速运动当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，过点P的一条直线与BC交于点D设运动时间为t秒，当t为或2或秒时，将PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合【解答】解：A=90，AC=3，AB=4，BC=5，分两种情况：当Q在BC上时，如图1，由题意得：PA=t，BQ=4t，由B与Q对称可知：PDBQ，BD=DQ=2t，PB=PQ=4tPDB=A=90，B=B，PDBCAB，t=；当Q在AC上时，如图2，CQ=4t5，AQ=ACCQ=3（4t5）=84t，连接BQ，B、Q对称，PD是BQ的垂直平分线，PB=PQ=4t，RtPQA中，由勾股定理得：PQ2=PA2+AQ2，（4t）2=t2+（84t）2，2t27t+6=0，（t2）（2t3）=0，t1=2，t2=，Q在AC上，t2，t=2时，Q与A重合，如图3，综上所述，当t为秒或2秒或秒时，将PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合故答案为：或2或已知：ABC和ADE按如图所示方式放置，点D在ABC内，连接BD、CD和CE，且DCE=90（1）如图，当ABC和ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；（2）如图，当BA=BC=2AC，DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；（3）如图，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系【分析】（1）先判断出BAD=CAE，进而判断出ABDACE，最后用勾股定理即可得出结论；（2）先判断出ABCADE，进而得出BAC=DAE，即可判断出BADCAE，最后用勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）CD2+BD2=AD2，理由：ABC和ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE=DE，BAC=DAE=60，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE，在RtDCE中，CD2+CE2=DE2，CD2+BD2=AD2，（2）CD2+BD2=AD2，理由：BA=BC=2AC，DA=DE=2AE，ABCADE，BAC=DAE，BAD=CAE，BADCAE，=2，BD=2CE，在RtDCE中，CD2+CE2=DE2，CD2+BD2=AD2，（3）（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2，理由：AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p，DE=AD，ABCADE，BAC=DAE，ABDACE，CE=BD，在RtDCE中，CD2+CE2=DE2，CD2+BD2=AD2，（mCD）2+（pBD）2=（nAD）26如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，矩形一定是等角线四边形（填写图形名称）；若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足ACBD时，四边形MNPQ是正方形（2）如图2，已知ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，D为平面内一点若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是3+2；设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由【分析】（1）只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；当ACBD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；（2）如图2中，作DEAB于E根据S四边形ABCD=SADE+S梯形DEBC计算，求出相关线段即可；如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，只要证明当ACBD且A、C、E共线时，四边形ABED的面积最大即可【解答】解：（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，矩形的对角线相等，矩形一定是等角线四边形，故答案为矩形当ACBD时，四边形MNPQ是正方形理由：如图1中，M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，PQ=MN=AC，PN=QM=BD，PQAC，MQBD，AC=BD，MN=NP=PQ=QM，四边形MNPQ是菱形，1=2，2=3，1=90，3=90，四边形NMPQ是正方形故答案为ACBD（2）如图2中，作DEAB于E在RtABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，AC=5，AD=BD，DEAB，AE=BE=2，四边形ABCD是等角线四边形，BD=AC=AD=5，在RtBDE中，DE=，S四边形ABCD=SADE+S梯形DEBC=AEDE+（DE+BC）BE=+（+3）2=3+2故答案为3+2如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，作DHAE于H，BGAE于G则DHDQ，BGBQ，四边形ABED是等角线四边形，AE=BD，S四边形ABED=SABE+SADE=AEDH+AEBG=AE（GB+DH）AE（BQ+QD），即S四边形ABEDAEBD，当G、H重合时，即BDAE时，等号成立，AE=BD，S四边形ABEDAE2，即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，AEAC+CE，AE5+1，AE6，AE的最大值为6，当A、C、E共线时，取等号，四边形ABED的面积的最大值为62=18如图，已知一次函数y=x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N当N与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当APQ与CDE相似时，求点P的坐标【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）根据同角的三角函数得：tanOAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，4x+4），证明AHNMEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；如图2，先计算E与G重合，易得QAP=OAB=DCE，所以APQ与CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i）当DCEQAP时，证明ACONCE，列比例式可得CO=，根据三角函数得：tanQNA=tanDNF=，AQ=20，则tanQAH=tanOAB=，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；ii）当DCEPAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，6）【解答】解：（1）当x=0时，y=4，A（0，4），OA=4，当y=0时，x+4=0，x=3，B（3，0），OB=3，由勾股定理得：AB=5；（2）如图1，过N作NHy轴于H，过M作MEy轴于E，tanOAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，M（3x，4x+4），由旋转得：AM=AN，MAN=90，EAM+HAN=90，EAM+AME=90，HAN=AME，AHN=AEM=90，AHNMEA，AH=EM=3x，N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NGx轴，NG=OH，则5x=3x+4，2x=4，x=2，M（6，4）；如图2，由知N（8，10），AN=DN，A（0，4），D（16，16），设直线DM：y=kx+b，把D（16，16）和M（6，4）代入得：，解得：，直线DM的解析式为：y=2x16，直线DM交x轴于E，当y=0时，2x16=0，x=8，E（8，0），由知：N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），E与切点G重合，QAP=OAB=DCE，APQ与CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：i）当DCEQAP时，如图2，AQP=NDE，QNA=DNF，NFD=QAN=90，AONE，ACONCE，CO=，连接BN，AB=BE=5，BAN=BEN=90，ANB=ENB，EN=ND，NDE=NED，CNE=NDE+NED，ANB=NDE，BNDE，RtABN中，BN=5，sinANB=NDE=，NF=2，DF=4，QNA=DNF，tanQNA=tanDNF=，AQ=20，tanQAH=tanOAB=，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，5x=20，x=4，QH=3x=12，AH=16，Q（12，20），同理易得：直线NQ的解析式：y=x+14，P（0，14）；ii）当DCEPAQ时，如图3，APN=CDE，ANB=CDE，APNG，APN=PNE，APN=PNE=ANB，B与Q重合，AN=AP=10，OP=APOA=104=6，P（0，6）；综上所述，APQ与CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，6）35【操作发现】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上（1）请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连接BB；（2）在（1）所画图形中，ABB=45【问题解决】如图，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在ABC内，且APC=90，BPC=120，求APC的面积小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC绕点A按顺时针方向旋转60，得到APB，连接PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将APB绕点A按逆时针方向旋转60，得到APC，连接PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程（一种方法即可）【灵活运用】如图，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAE=ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）【分析】【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明ABB是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时针方向旋转60，得到APC，只要证明PPC=90，利用勾股定理即可解决问题；【灵活运用】如图中，由AEBC，BE=EC，推出AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG则BD=CG，只要证明GDC=90，可得CG=，由此即可解决问题【解答】解：【操作发现】（1）如图所示，ABC即为所求；（2）连接BB，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，AB=AB，BAB=90，ABB=45，故答案为：45；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时针方向旋转60，得到APC，APP是等边三角形，APC=APB=36090120=150，PP=AP，APP=APP=60，PPC=90，PPC=30，PP=PC，即AP=PC，APC=90，AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=72，PC=2，AP=，SAPC=APPC=7；【灵活运用】如图中，AEBC，BE=EC，AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG则BD=CG，BAD=CAG，BAC=DAG，AB=AC，AD=AG，ABC=ACB=ADG=AGD，ABCADG，AD=kAB，DG=kBC=4k，BAE+ABC=90，BAE=ADC，ADG+ADC=90，GDC=90，CG=BD=CG=39平面内，如图，在ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90得到线段PQ（1）当DPQ=10时，求APB的大小；（2）当tanABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留）【分析】（1）分两种情形当点Q在平行四边形ABCD内时，当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；（2）如图2中，连接BQ，作PEAB于E在RtAPE中，tanA=，设PE=4k，则AE=3k，在RtPBE中，tanABP=2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，当点Q在平行四边形ABCD内时，APB=180QPBQPD=1809010=80，当点Q在平行四边形ABCD外时，APB=180（QPBQPD）=180（9010）=100，综上所述，当DPQ=10时，APB的值为80或100（2）如图2中，连接BQ，作PEAB于EtanABP：tanA=3：2，tanA=，tanABP=2，在RtAPE中，tanA=，设PE=4k，则AE=3k，在RtPBE中，tanABP=2，EB=2k，AB=5k=10，k=2，PE=8，EB=4，PB=4，BPQ是等腰直角三角形，BQ=PB=4（3）如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BEAD于E，PFBC于F则四边形BEPF是矩形在RtAEB中，tanA=，AB=10，BE=8，AE=6，PF=BE=8，BPQ是等腰直角三角形，PFBQ，PF=BF=FQ=8，PB=PQ=8，PB旋转到PQ所扫过的面积=32如图4中，当点Q落在CD上时，作BEAD于E，QFAD交AD的延长线于F设PE=x易证PBEQPF，PE=QF=x，EB=PF=8，DF=AE+PE+PFAD=x1，CDAB，FDQ=A，tanFDQ=tanA=，=，x=4，PE=4，=4，在RtPEB中，PB=4，PB旋转到PQ所扫过的面积=20如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，PB旋转到PQ所扫过的面积=16，综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32或20或1638如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=4时，求的长（结果保留）；（3）若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围【分析】（1）连接OQ只要证明RtAPORtBQO即可解决问题；（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由APO的外心是OA的中点，OA=8，推出APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8；【解答】（1）证明：连接OQAP、BQ是O的切线，OPAP，OQBQ，APO=BQO=90，在RtAPO和RtBQO中，RtAPORtBQO，AP=BQ（2）RtAPORtBQO，AOP=BOQ，P、O、Q三点共线，在RtBOQ中，cosB=，B=30，BOQ=60，OQ=OB=4，COD=90，QOD=90+60=150，优弧的长=，（3）APO的外心是OA的中点，OA=8，APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC819定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解【解答】解：（1）如图1所示：（2）AEF是“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是BC的中点，BE=EC=2a，CD：FC=4：1，FC=a，DF=4aa=3a，在RtABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边OP=1，PQ最小时，POQ的面积最小，即：OQ最小，由垂线段最短可得斜边最小为3，由勾股定理可得PQ=2，根据面积得，OQPM=OPPQ，PM=123=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（，），（，）【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出AEF的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键21【操作发现】（1）如图1，ABC为等边三角形，先将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于30），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=30，连接AF，EF求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于45），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45，连接AF，EF请直接写出探究结果：EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC=BC，BAC=B=60，求出ACF=BCD，证明ACFBCD，得出CAF=B=60，求出EAF=BAC+CAF=120；证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF即可；（2）由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，BAC=B=45，证出ACF=BCD，由SAS证明ACFBCD，得出CAF=B=45，AF=DB，求出EAF=BAC+CAF=90；证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论【解答】解：（1）ABC是等边三角形，AC=BC，BAC=B=60，DCF=60，ACF=BCD，在ACF和BCD中，ACFBCD（SAS），CAF=B=60，EAF=BAC+CAF=120；DE=EF；理由如下：DCF=60，DCE=30，FCE=6030=30，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCE（SAS），DE=EF；（2）ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，BAC=B=45，DCF=90，ACF=BCD，在ACF和BCD中，ACFBCD（SAS），CAF=B=45，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90；AE2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90，DCE=45，FCE=9045=45，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCE（SAS），DE=EF，在RtAEF中，AE2+AF2=EF2，又AF=DB，AE2+DB2=DE224如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm求sinEAD的值；若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间【分析】（1）只要证明四边相等即可证明；（2）设AE交CD于K由DEAC，DE=OC=OA，推出=，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在RtADK中，AK=3，根据sinDAE=计算即可解决问题；作PFAD于F易知PF=APsinDAE=AP，因为点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是ACD的中位线，由此即可解决问题【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形OD=OB=OC=OA，EDC和ODC关于CD对称，DE=DO，CE=CO，DE=EC=CO=OD，四边形CODE是菱形（2）设AE交CD于K四边形CODE是菱形，DEAC，DE=OC=OA，=AB=CD=6，DK=2，CK=4，在RtADK中，AK=3，sinDAE=，作PFAD于F易知PF=APsinDAE=AP，点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是ACD的中位线，OF=CD=3AF=AD=，PF=DK=1，AP=，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题25如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G（1）求证：CDECBF；（2）当DE=时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由【分析】（1）先判断出CBF=90，进而判断出1=3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出GBFEAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出GBF和ECF是等腰直角三角形，即可得出GFB=CFE=45，即可得出结论【解答】解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，D=ABC=DCB=90，CBF=180ABC=90，1+2=DCB=90，CFCE，ECF=90，3+2=ECF=90，1=3，在CDE和CBF中，CDECBF，（2）在正方形ABCD中，ADBC，GBFEAF，由（1）知，CDECBF，BF=DE=，正方形的边长为1，AF=AB+BF=，AE=ADDE=，BG=，CG=BCBG=；（3）不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AECG，AE=CG，ADAE=BCCG，DE=BG，由（1）知，CDECBF，DE=BF，CE=CF，GBF和ECF是等腰直角三角形，GFB=45，CFE=45，CFA=GFB+CFE=90，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，解（1）的关键是判定1=3，解（2）的关键是判断出GBFEAF，解（3）的关键是判断出CFA=90，是一道常考题在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值【分析】（1）连接AP，过C作CDAB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2x，由ABC是等边三角形，得到B=C=60，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接AP，过C作CDAB于D，ABC是等边三角形，AB=AC，SABC=SABP+SACP，ABCD=ABPM+ACPN，PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）设BP=x，则CP=2x，ABC是等边三角形，B=C=60，PMAB，PNAC，BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），四边形AMPN的面积=（2x）x+2（2x）（2x）=x2+x+=（x1）2+，当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键29如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC，AD=2BC，ABD=90，E为AD的中点，连接BE（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分BAD，BC=1，求AC的长【分析】（1）由DE=BC，DEBC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在RtACD中只要证明ADC=60，AD=2即可解决问题；【解答】（1）证明：AD=2BC，E为AD的中点，DE=BC，ADBC，四边形BCDE是平行四边形，ABD=90，AE=DE，BE=DE，四边形BCDE是菱形（2）解：连接ACADBC，AC平分BAD，BAC=DAC=BCA，AB=BC=1，AD=2BC=2，sinADB=，ADB=30，DAC=30，ADC=60，在RtACD中，AD=2，CD=1，AC=【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型35定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90，若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【分析】（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）AB=CD=1，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，四边形ABCD是菱形，ABC=90，四边形ABCD是正方形，BD=AC=如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5【点评】本题考查四边形综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题39如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形（）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（）若AP=，求CF的长【分析】（）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出OCF=OFC，OCP=OPC，最后判断出ADPCDF，得出比例式即可得出结论方法2、先判断出CEF=FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出DAP=DCF，此后同方法1即可得出结论方法3、先判断出PMEDNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出ADPCDF，得出比例式即可得出结论【解答】解：（）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，ADC=90，DC=AB=6，AC=10，要使PCD是等腰三角形，当CP=CD时，AP=ACCP=106=4，当PD=PC时，PDC=PCD，PCD+PAD=PDC+PDA=90，PAD=PDA，PD=PA，PA=PC，AP=AC=5，当DP=DC时，如图1，过点D作DQAC于Q，则PQ=CQ，SADC=ADDC=ACDQ，DQ=，CQ=，PC=2CQ=，AP=ACPC=10=；所以，若PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，四边形ABCD和PEFD是矩形，ADC=PDF=90，ADP+PDC=PDC+CDF，ADP=CDF，BCD=90，OE=OD，OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，OC=PF，OP=OF=PF，OC=OP=OF，OCF=OFC，OCP=OPC，OPC+OFC+PCF=180，2OCP+2OCF=180，PCF=90，PCD+FCD=90，在RtADC中，PCD+PAD=90，PAD=FCD，ADPCDF，AP=，CF=方法2、如图，四边形ABCD和DPEF是矩形，ADC=PDF=90，ADP=CDF，DGF+CDF=90，EGC+CDF=90，CEF+CGE=90，CDF=FEC，点E，C，F，D四点共圆，四边形DPEF是矩形，点P也在此圆上，PE=DF，ACB=DCF，ADBC，ACB=DAP，DAP=DCF，ADP=CDF，ADPCDF，AP=，CF=方法3、如图3，过点P作PMBC于M交AD于N，PND=90，PNCD，AN=，ND=8=（10）同理：PM=（10）PND=90，DPN+PDN=90，四边形PEFD是矩形，DPE=90，DPN+EPM=90，PDN=EPM，PND=EMP=90，PNDEMP，=，PD=EF，DF=PE，ADP=CDF，ADPCDF，=，AP=，CF=【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（）的关键是分三种情况讨论计算，解（）的关键是判断出ADPCDF，是一道中考常考题40如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出A=DCF=45、AD=CD，结合AE=CF可证出ADECDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=CDF，通过角的计算可得出EDF=90，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GDEF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DEAC于E，根据等腰直角三角形的性质可得出DE的长度，从而得出2DE2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值【解答】（1）证明：连接CD，如图1所示ABC为等腰直角三角形，ACB=90，D是AB的中点，A=DCF=45，AD=CD在ADE和CDF中，ADECDF（SAS），DE=DF，ADE=CDFADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，EDF为等腰直角三角形O为EF的中点，GO=OD，GDEF，且GD=2OD=EF，四边形EDFG是正方形；（2）解：过点D作DEAC于E，如图2所示ABC为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=4，DE=BC=2，AB=4，点E为AC的中点，2DE2（点E与点E重合时取等号）4S四边形EDFG=DE28当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4【点评】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GDEF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4S四边形EDFG8