数值分析试题集.doc

数值分析试题集（试卷一）一（10分）已知，都是由四舍五入产生的近似值，判断及有几位有效数字。二（10分）由下表求插值多项式01223411三（15分）设，H（x）是满足下列条件的三次多项式求，并证明之。四（15分）计算，。五（15分）在0，2上取，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。七（10分）对模型，讨论改进的尢拉法的稳定性。八（15分）求方程在-1.2附近的近似值，。（试卷二）一 填空（4*2分）1 是区间0，1上的权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则，。2 ，则， 。3 设，当满足条件时，A可作LU分解。4 设非线性方程，其根，则求的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。二（8分）方程组AX=b，其中，1 试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，取何值时雅可比迭代收敛最快？2 选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的的取值范围。三（9分）常微分方程初值问题的单步法公式为，求该公式的精度。四（14分）设为对称正定方程组1 求使迭代过程收敛的数的变化范围；2 用此法解方程组（取初值，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。(试卷三)一 设，求的谱半径，范数为1的条件数。二 设，分别计算该函数的二、三阶差商，。三 设向量1 若定义，问它是不是一种向量范数？请说明理由。2 若定义，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。四 设，将矩阵分解为，其中是对角线元素的下三角阵。五 设有解方程的迭代法1 证明：对任意，均有（为方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六 对于求积公式1 求该求积公式的代数精度；2 证明它为插值型的求积公式。（试卷四）一 填空题（每空5分，共25分）1 设精确值为，若取近似值，该近似值具有位有效数字。2 设，则三阶差商。3 ，则。4 设，当满足条件 时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角阵。5 求积公式的代数精度为。二（10分）设，试求一个次数不超过2的多项式，使得三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式且其余项为 2 利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式这里：四（15分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明：）五（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。2、估计该迭代式的收敛速度。六（15分）方程组，其中，试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的取值，并用2至3个的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）（试卷五）一 填空题（每空5分，共25分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。2 设，则二阶差商。3 ，则。4 设，当满足条件 时，A可作LU分解。5 设是互异节点，对于，。二（10分）由下表求插值多项式01223411三（25分）1 设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式2 利用这个公式推导以下复化求积公式这里：3 对于给定精度，利用上述求积公式，选取合适的求积步长，计算的近似值。四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为，求该公式的精度。五（15分）设有解方程的迭代法1 证明：对任意，均有（为方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六（15分）设方程组1 给出雅可比迭代算式；2 说明其收敛性；3 取初始向量，给出其前6步迭代所求出的近似值。（说明：数据请以列表形式写出。）（试卷六）一 填空题（每空5分，共25分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。2 设，则二阶差商。3 ，则。4 设，当满足条件 时，A可作LU分解。5 设是互异节点，对于，。二（10分）由下表求插值多项式01223411三（25分）1 设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式2 利用这个公式推导以下复化求积公式这里：3 对于给定精度，利用上述求积公式，选取合适的求积步长，计算的近似值。四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为，求该公式的精度。五（15分）设有解方程的迭代法1 证明：对任意，均有（为方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六（15分）设方程组1 给出雅可比迭代算式；2 说明其收敛性；3 取初始向量，给出其前6步迭代所求出的近似值。（说明：数据请以列表形式写出。）（试卷六）一 填空题（每空5分，共25分）1 设精确值为，若取近似值，该近似值具有位有效数字。2 设，则三阶差商。3 ，则。4 设，当满足条件 时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角阵。5 求积公式的代数精度为。二（10分）设，试求一个次数不超过2的多项式，使得三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式且其余项为 2 利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式这里：四（15分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明：）五（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。2、估计该迭代式的收敛速度。六（15分）方程组，其中，试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的取值，并用2至3个的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）（试卷七）一 填空题（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。2 设，当满足条件时，A可作LU分解。3 设非线性方程，其根，则求的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。4 设，则， 。5 用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取个结点。二（21分）设，插值条件如下表012234111 给出满足上述插值条件的插值多项式；2 求其余项；3 给出，的近似值。三（25分）设1 推导中矩公式 ；2 导出复化中矩公式；3 利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。四（15分）求常数、，使解微分方程初值问题，的下列数值计算公式 （1）的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。五（15分）设为对称正定方程组1 求使迭代过程收敛的数的变化范围；2 用此法解方程组（取初值，给出前6次迭代的数据表）。第1问提示：考虑使迭代矩阵的范数的取值。（试卷八）一（15分）已知精确值为，若取近似值，试问该近似值具有几位有效数字。二（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：1、 该迭代是否收敛？2、若收敛，估计收敛速度。三（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式。x314y425四（20分）在1，1上，取节点，构造插值型求积公式，并求它的代数精度。五（15分）写出线性方程组的雅可比迭代式。六（20分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明：）（试卷九）一 填空题（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。，从而故具有4位有效数字。2 设，当满足何条件时，A可作LU分解。若，即：，则A可作LU分解。3 设非线性方程，其根，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。，其迭代式为，故因此，上述迭代为二阶局部收敛的4 设，求，。，5 用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为，欲使，取，结点个数即可。二（21分）设，插值条件如下表012234111 给出满足上述插值条件的插值多项式；2 求其余项；3 给出，的近似值。设，利用插值条件可得线性方程组，利用图形计算器，解此线性方程组可得 ，令，其中使为异于0，1，2的点在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在0，2上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即，故在函数库中建立插值多项式，可求得，三（25分）设1 推导中矩公式 ；2 导出复化中矩公式；3 利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。两边积分有 ，取结点，作复化中矩公式复化中矩公式为，其中，截断误差为欲计算定积分，这里，欲使，即 ，可取于是 ，在HP38G上进行计算可得 四（15分）求常数、，使解微分方程初值问题，的下列数值计算公式 （1）的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而将之与的展开式相比较，有解得 所求的数值公式为 五（15分）设为对称正定方程组1 求使迭代过程收敛的数的变化范围；2 用此法解方程组（取初值，给出前6次迭代的数据表）。（第1问提示：考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。）因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，对于迭代，其迭代矩阵的特征值为 从而 欲使，只需 ，即 ， 因此，只需 即可。对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故不妨取，于是有迭代式将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式 M1*M3+M2 M3，作四次迭代，可出得如下数表0050611080750752075090775308375087507625408187509187508508593750909375080937560859375092968750834375（试卷十）一 填空题（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。，从而故具有4位有效数字。2 设，当满足何条件时，A可作LU分解。若，即：，则A可作LU分解。3 设非线性方程，其根，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。，其迭代式为，故因此，上述迭代为二阶局部收敛的4 设，求，。，5 用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为，欲使，取，结点个数即可。二（21分）设，插值条件如下表012234111 给出满足上述插值条件的插值多项式；2 求其余项；3 给出，的近似值。设，利用插值条件可得线性方程组，利用图形计算器，解此线性方程组可得 ，令，其中使为异于0，1，2的点在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在0，2上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即，故在函数库中建立插值多项式，可求得，三（25分）设1 推导中矩公式 ；2 导出复化中矩公式；3 利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。两边积分有 ，取结点，作复化中矩公式复化中矩公式为，其中，截断误差为欲计算定积分，这里，欲使，即 ，可取于是 ，在HP38G上进行计算可得 四（15分）求常数、，使解微分方程初值问题，的下列数值计算公式 （1）的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而将之与的展开式相比较，有解得 所求的数值公式为 五（15分）设为对称正定方程组1 求使迭代过程收敛的数的变化范围；2 用此法解方程组（取初值，给出前6次迭代的数据表）。（第1问提示：考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。）因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，对于迭代，其迭代矩阵的特征值为 从而 欲使，只需 ，即 ， 因此，只需 即可。对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故不妨取，于是有迭代式将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式 M1*M3+M2 M3，作四次迭代，可出得如下数表0050611080750752075090775308375087507625408187509187508508593750909375080937560859375092968750834375（试卷十一）一 填空题（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。，从而故具有4位有效数字。2 设，当满足何条件时，A可作LU分解。若，即：，则A可作LU分解。3 设非线性方程，其根，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。，其迭代式为，故因此，上述迭代为二阶局部收敛的4 设，求，。，5 用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为，欲使，取，结点个数即可。二（21分）设，插值条件如下表012234111 给出满足上述插值条件的插值多项式；2 求其余项；3 给出，的近似值。设，利用插值条件可得线性方程组，利用图形计算器，解此线性方程组可得 ，令，其中使为异于0，1，2的点在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在0，2上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即，故在函数库中建立插值多项式，可求得，三（25分）设1 推导中矩公式 ；2 导出复化中矩公式；3 利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。两边积分有 ，取结点，作复化中矩公式复化中矩公式为，其中，截断误差为欲计算定积分，这里，欲使，即 ，可取于是 ，在HP38G上进行计算可得 四（15分）求常数、，使解微分方程初值问题，的下列数值计算公式 （1）的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而将之与的展开式相比较，有解得 所求的数值公式为 五（15分）设为对称正定方程组1 求使迭代过程收敛的数的变化范围；2 用此法解方程组（取初值，给出前6次迭代的数据表）。（第1问提示：考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。）因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，对于迭代，其迭代矩阵的特征值为 从而 欲使，只需 ，即 ， 因此，只需 即可。对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故不妨取，于是有迭代式将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式 M1*M3+M2 M3，作四次迭代，可出得如下数表0050611080750752075090775308375087507625408187509187508508593750909375080937560859375092968750834375