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13太原理工大学硕士数理统计重点1统计量与抽样分布1.1基本概念： 总体X的样本X1，X2，Xn，则T(X1，X2，Xn)即为统计量样本均值样本方差修正样本方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩经验分布函数 其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有 n nl 二项分布B(n,p):EX=np DX=np(1-p)l 泊松分布: l 均匀分布U(a,b): l 指数分布: l 正态分布: 当时， 1.2统计量： T是的充分统计量与无关T是的完备统计量要使Eg(T)=0,必有g(T)=0且h非负T是的充分统计量T是的充分完备统计量是的充分完备统计量1.3抽样分布： 分布： T分布： 当n2时，ET=0 F分布： 补充：n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的联合概率密度n 的概率密度n 的概率密度l 函数： l B函数： 1.4次序统计量及其分布：X(k)的分布密度：X(1)的分布密度：X(n)的分布密度：2参数估计2.1点估计与优良性： 的均方误差：若是无偏估计，则对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计): 2.2点估计量的求法： 矩估计法：1 求出总体的k阶原点矩:2 解方程组 (k=1,2,.,m)，得即为所求最大似然估计法：1 写出似然函数，求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m2 解似然方程得到，即最大似然估计 i=1,2,.,m补充：n 似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计： T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：1 求出参数的充分完备统计量T2 求出，则是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数3 综合，是的MVUE或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUET是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1无偏估计的效率：是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计2.4区间估计： 一个总体的情况： 已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：两个总体的情况：，均已知时，求的区间估计：未知时，求的区间估计：未知时，求：非正态总体的区间估计：当时， ，故用Sn代替Sn-13统计决策与贝叶斯估计3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数风险函数：是关于的函数3.2贝叶斯估计： 1 求样本X=(X1,X2,.,Xn)的分布：2 样本X与的联合概率分布：3 求关于x的边缘密度4 的后验密度为：取时的贝叶斯估计为：贝叶斯风险为：取时，贝叶斯估计为：补充：n 的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为n3.3minimax估计对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),.，分别求出在上的最大风险值 在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4假设检验4.1基本概念： 零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,.,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W第一类错误（弃真错误）：第二类错误（存伪错误）：势函数：当时，为犯第一类错误的概率当时，为犯第二类错误的概率4.2正态总体均值与方差的假设检验： 一个总体的情况： 已知，检验：未知，检验：已知，检验：未知，检验：两个总体的情况：，未知时，检验：未知时，检验：单边检验：举例说明，已知，检验：构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为4.3非参数假设检验方法： 拟合优度检验: 其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数科尔莫戈罗夫检验： 实际检验的是斯米尔诺夫检验： 实际检验的是4.4似然比检验明确零假设和备选假设：构造似然比：拒绝域：5方差分析5.1单因素方差分析： 数学模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)总离差平方和组内离差平方和 组间离差平方和当H0成立时，构造统计量，当H0不成立时，有偏大特征且应用：n 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值再解题n 辅助量：5.2两因素方差分析： 数学模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)总离差平方和组内离差平方和 因素B引起的离差平方和当H0成立时，因素A引起的离差平方和当H0成立时，辅助量：构造统计量：6回归分析6.1一元线性回归：回归模型：i=1,2,.,n.的估计： 分布：的估计： 6.2多元线性回归： 回归模型： i=1,2,.,n.参数估计：7多元分析初步7.1定义及性质： 其中为X的均值向量，为X的协方差矩阵Y=CX+b，则若，刚7.2参数的估计与假设检验： 样本均值向量 样本离差阵最大似然估计 最小方差无偏估计
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