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2010级高等数学(上)A解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1已知极限，则常数的值分别是(空1)。解：1-a=0a=1或：所以1-a=0,a+b=0a=1,b=-1。或：所以1-a=0,1+b=0a=1,b=-1。2函数的第一类间断点是(空2)。解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。，x=3是第一类间断点。x=-1是第二类间断点。x=0是第二类间断点。3设函数可导，则(空3)。解：4设函数在处取得极值，则(空4)。解：在x=1处取极值，则，即6+2a=0，解得5设是函数的一个原函数，则不定积分(空5)。解：求导得则6定积分(空6)。解：=2二、选择题：(每题3分,共15分)(请将正确选项填入下表，否则不给分)1设函数，则在处(D)。A.不连续也不可导B.连续，但不可导C.不连续，但可导D.连续且可导解：在x=0处连续。f(x)在x=0处可导。2设可导，函数，则微分()。A.B.C.D.解：3若函数，则方程的实根个数是()。A3B.2C.1D.0解：函数在(-,+)上连续，且可导，又因为f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知在(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即=0至少有2个根。但是2次多项式，至多有2个根。所以=0有2个根。4设函数，则不定积分()。A.B.C.D.解：5在下列反常积分中收敛的是()。A.B.C.D.解：A.B.C.D.三、(6分)求极限解：3分由于2分所以=1分或设，则1分1分2分所以2分四、(6分)解：2分2分2分五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1解：2分2分1分2解：1分=1分=1分=1分1分六、(12分)求函数f(x)=xe-x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。解：2分令，得x=1；1分(-,1)1(1,+)+0-增极大值e-1减1分令，得x=2；1分(-,2)2(2,+)-0+凸拐点2e-2凹1分函数f(x)单调增区间是(-,1)；1分函数f(x)单调减区间是(1,+)。1分当x=1时取极大值f(1)=e-11分函数f(x)的图像在(-,2)是凸的；1分函数f(x)的图像在(2,+)是凹的。1分拐点是(2,2e-2)1分七、计算下列定积分：(每题5分，共计10分)11分1分1分1分=1分2.2分1分1分1分八、(10分)设平面图形由曲线和直线及围成。求：此平面图形的面积；此平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。解：4分6分九、(8分)证明：当时，。证明：当x=0时，。1分当x0时，设，1分则f(x)在0,+)上连续，在(0,+)内可导，1分且f(0)=0,。1分在0,+)上连续，在(0,+)内可导，且;。在0,+)上连续，在(0,+)内可导，且=0，因为在任意有限的区间内，只有有限个零点，所以在0,+)上单调递增，1分当x0时，所以在0,+)上单调递增，从而，所以f(x)在0,+)单调递增，f(x)f(0)=01分即。1分总之，当时，。1分十、(5分)设函数，在上存在二阶导数，且，。证明：存在使得。证：令，2分因为，在上存在二阶导数，所以在a,b上连续且可导，1分又因为；故；1分所以由罗尔定理知存在使得，即所以1分2010高等数学(上)B解答一、填空题：(每题3分，共18分)1、极限= -2 。解：= -22、函数的间断点为 x=3 。3、设函数，则y。解：4、设函数在x=1处取得极值，则a= -3 。解：，即6+2a=0，解得a= -35、设是函数f(x)的一个原函数，则不定积分。解：6、定积分=。解：二、选择题：(每题3分，共15分)1、设函数在(-,+)上连续，则a= A。A.1B.eC.2D.解：在x=0连续，lna=0，即a=12、设函数f(x)可导，y=f(x2)，则微分dy= 。A.B.C.D.解：=3、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程的实根个数是 B 。A.4B.3C.2D.1解：函数在(-,+)上连续，且可导，又因为f(0) = f(1) = f(2) = f(3)，由罗尔定理知在(0,1),(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即=0至少有3个根。但是3次多项式，至多有3个是实根。所以=0有3个实根。4、不定积分= 。A.B.C.D.解：5、在下列反常积分中收敛的是 B 。A.B.C.D.解：A.B.C.D.三、(6分)求极限。解：2分4分四、(6分)设函数y=y(x)由参数方程确定，求二阶导数解：，2分2分2分五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1、解：2分1分2分2、解：1分1分1分1分1分六、(12分)求函数的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。解：1分令得x=11分x(-,1)1(1,+)+0-f(x)增极大值e减2分在x=1处取得极大值f(1)=e；1分所以函数在(-,1上单调增加；在1,+)上单调减小；1分1分令得x=21分x(-,2)2(2,+)-0+f(x)凸拐点2凹2分函数图像在(-,2上是凸的；在2,+)上是凹的；1分拐点是(2,2)。1分七、计算下列定积分：（每题5分，共计10分）1、1分1分1分1分1分2、1分2分1分1分八、（10分）求由曲线y=sinxcosx,y=1,x=0和所围成的平面图形的面积，并求由此图形绕x轴旋转体的体积。解：5分5分九、证明：当x0时，。证：设，则f(x)在0,+)上连续，在(0,+)内可导，且f(0)=0,所以f(x)在0，+)上单调递增，当x0时，f(x)f(0)=0，即十、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0, 。试证：存在x(0,1)使得(x)=1。证：设F(x)=f(x)-x，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且，F(1)=f(1)-1=-10B.在上单增且0C.在上单减且0D.在上单增，但的符号无法确定解：因为，所以单调减少;又因为ab，f(b)f(a)0所以F(x)在x=0处取得极小值，F(0)=0。5函数的间断点是_。解：f(0),x=0处间断f(1-)=f(1+)=f(1),在x=1处连续三、判断题：每题2分，共10分注意：请将答案（对、错）填入下表，否则不给分。题号12345答案错错错对错1是函数的第一类间断点。解：，是第二类间断点。2若在处可导，则在处必可导。解：反例，f(x)=x在x=0处。3设函数可导，则是在点处有极值的充分条件。解：反例，f(x)=x在x=0处。4函数在上连续是在上可积的充分条件。5。解：四、求极限(每题6分，共12分)1解：3分6分2解：由于12分而，4分所以由夹逼准则可知=1。6分五、求导数(每题6分，共12分)1设，求。解：3分6分2设，求。解：注意到2分因此，4分进而，6分六、求积分(每题6分，共18分)1解：令，则。于是2分3分5分。6分2设，求。解：设，则，且当时，；当时，。于是2分3分5分。6分3解：2分4分。6分七、(8分)求微分方程满足初始条件的特解。解：分离变量可得2分两边积分4分得微分方程通解为。5分即6分代入初始条件得。因此微分方程的特解为。8分八、(6分)证明：当时，证：设，则在1,+)上连续，在(1,+)内可导。2分注意到当时，。所以在1,+)上单调增加。4分因此，当时，有。即当时，。6分九、(8分)求由曲线与所围成的图形的面积，并求上述所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。解：由求得交点(1,1)。于是曲线所围图形面积2分4分旋转体的体积6分8分十、(6分)设函数在上可导，证明：在内至少存在一点，使得。证：设，则在上连续，在内可导。2分注意到，所以由罗尔定理知存在使得。4分由，即得结论成立。6分2012 _2013_学年第 1 学期 高等数学（上） 期末试卷标准答案及评分标准 A 卷 专业 各 班级 2012级各班 一、填空题（每题3分，共15分） 1、极限 -2 。2、设函数可导，则。3、反常积分 。4、定积分 。5、微分方程 的通解为 。二、选择：（每题3分, 共15分） （ A ） 。 A、 1 B、 e C、 2 D、 1/e2、曲线 （ A ） 。 A. B. C. D.3、由方程 所确定的隐函数的导数（ C ）。 A. B. 0 C. 1 D. 24、若为的一个原函数，则 （ C ） 。 A B. C. D. 5、下列反常积分中收敛的是（ C ）。 A B. C. D. 三、计算下列各题 （每题6分，共24分） 1、求极限 解： = 3分 = 5分= 6分 2、解：3分 6分 3、求不定积分： 解： 2分 =4分=6分4、设，求。 解：4分 6分四、（12分） 曲线与原点所引切线和轴三者所围成的平面图形为D， 求 1）平面图形D的面积；2）D绕x轴旋转所成旋转体的体积。解：设切点为，则切线为：，它过（0，0）点，故 所以切线方程为：。3分故 1）6分 2） =。12分五、（12分）解： 4分 6分 列表：(一,1)1（1，2）2（2，+）+极大值拐点+7分 8分 9分 10分 11分 12分六 、（6分） 已知连续函数 满足方程，求解：原方程两边对求导数 3分 解得： 5分 又 ， 所以 所以 6分七、（10分）、设，求在 上的最大值与最小值。 解：2分 =6分8分10分八、（6分） 设在上可微，当时，恒有且。证明：在上存在唯一的一点使 得。证明：令则在0，1上可导，1分 3分 所以由零点定理知， 在（0，1）上存在零点。5分 又，所以在0，1上是单调的。 从而，在（0，1）上有唯一的点，使得即。 6分
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