圆锥曲线专题复习.doc

1 圆锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆 的左右焦点为 F1、F 2，P 为椭圆上一点，1492yx （1）若F 1PF2=900，求F 1PF2的面积 （2）若F 1PF2=600，求F 1PF2的面积 2、已知双曲线 的左右焦点为 F1、F 2，P 为双曲线上一点，45 2yx （1）若F 1PF2=900，求F 1PF2的面积 （2）若F 1PF2=600，求F 1PF2的面积 3、 是椭圆 的两个焦点，以 为圆心且过椭圆中心的,F)0(2bayx 1 圆与椭圆的一个交点为 。若直线 相切，求该椭圆的离心率。M12F与 圆 4、椭圆 的焦点为 。点 P为其上的动点，当 为钝角时。1492yx21F、 21PF 点 P横坐标的取值范围为多少？ 5、椭圆 和双曲线 有公共的焦点 、)0(2bayx )0,(2nmyx )0,(1c ， 为这两曲线的交点，求 的值)0,(2cF1PF 二、方程 已知圆 ，从圆上任意一点 P向 x轴作垂线段 ，点 M在 上，92yx /P/ 并且 ，求点 M的轨迹。/P 2.3【定义法】 （与两个定圆相切的圆心轨迹方程） ：一动圆与两圆： 都外切，则动圆的圆心0128122 xyyx和 的轨迹方程是什么？ 题型 1：求轨迹方程 例 1 （1）一动圆与圆 2650 xy外切，同时与圆 2690 xy内 y x M O 1 2 切，求动圆圆心 M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （2）双曲线 219xy 有动点 P， 12,F是曲线的两个焦点，求 12PF的 重心 的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆 C1： ，圆 C2：92yx 062yx 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标） （结合向量） 直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： (2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法 求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是 曲线的类型未知.主要方法有： 直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程 中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的 交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、 定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解 决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆 ，过左焦点 F1倾斜角为 的直xy2916 线交椭圆于 AB、 两点。求：弦 AB的长，左焦点 F1到 AB中点 M的长。 2、椭圆 ax2+by2=1与直线 x+y-1=0相交于 A、 B两点， C是线段 AB的中点.若 3 |AB|=2 ，直线 OC的斜率为 ，求实数 a、 b的值.22 例 1已知椭圆： 192yx，过左焦点 F作倾斜角为 6的直线交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB的长. 1）求直线 1yx被双曲线 214yx 截得的弦长； （一）中点问题 一、 【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦1462yx)1,2(MM 所在直线的方程。 1、在抛物线 y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _ 2、过椭圆 内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被 M平分，求此弦所在46 2 直线方程 3、椭圆 内有一点 P（3，2）过点 P的弦恰好以 P为中点，那么92yx 这弦所在直线的方程为 4、中心在原点，一焦点为 F1（0，5 ）的椭圆被直线 y=3x2 截得的弦的中 点横坐标是 ，求此椭圆的方程。21 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 3、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这1572xy 21x 条弦的中点 ，求点 的坐标M 已知椭圆 ,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程。2xy 4 （2）求过定点 (0,1)的直线被双曲线 214yx 截得的弦中点轨迹方程. 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例 5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦)50,(F23:xyl 的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。21 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6、已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，34yxmmxy4 椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解：设 ， 为椭圆上关于直线 的对称两点，),(1yxP),(2yxxy4 为弦 的中点，则 ，12321x1232 两式相减得， 0)(4)(321yx 即 )( 212221 x ， ，y1421x 这就是弦 中点 轨迹方程。xy321P 它与直线 的交点必须在椭圆内m4 联立 ，得 则必须满足 ，xyyx32243xy 即 ，解得2243)(13 （二） 1、已知抛物线 的焦点为 F，准线与 x轴的交点为 Q，直线 l经过点 Q与xy82 抛物线交于 A、B 两点； 已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x相交于 A,B两点，F 为 C的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k= 5 四、求离心率的值或范围 1.1、已知 a=2b，求 e 1.2、已知 b=2c，求 e 1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求 e 2、已知 a2b，求离心率的范围 3、过椭圆 的左焦点 F1作 x轴的垂线交椭圆于点 P，F 2为右焦点，若2byax F 1PF2=600，求离心率 4、过椭圆 的左焦点 F1作 x轴的垂线交椭圆于点 P，Q，F 2为右焦点，2yx （1）若F 1 F2P=450，求离心率 （2）若F 1 F2P45 0，求离心率的范围 （3）P F 2Q900，求离心率的范围 5、过双曲线 的左焦点 F1作 x轴的垂线交双曲线于点 P，Q，F 2为右2byax 焦点， （1）若F 1 F2P=450，求离心率 （2）若F 1 F2Pb0)和双曲线 的公共顶点, 21xyab21xyab P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于 A,B的动点,且有 + =( + ) (R,| |1),设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证: k1+k2+k3+k4为一个定值. 解、点 A(-a,0)；B(a,0)；由 + =( + ),依据向 量加法的平行四边形法则,则有 O、Q、P 三点共线；设 P(x1,y1)、 Q（x 2，y 2）,则 - =1,则 x12-a2 = y12； k 1+k2 = + x12a2 y12b2 a2b2 y1x1+a = = ； y1x1-a 2x1y1x12-a2 2b2a2 x1y1 同样有 k3+k4= ；由于 = ， 所求的定值为 0。 -2b2a2 x2y2 x1y1 x2y2 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化 简，从而得到其定值为 0。 二、最值问题： 常见解法有两种：几何法与代数法。若题目中的条件或结论能明显体 现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形 的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；将圆锥曲线中的最 值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再 充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去 求解。 【例题 3】 、抛物线 x2=4y的焦点 F和点 A(-1,8),P为抛物线上一点,则 |PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16 若将上题中点 A的条件改为 A(3,1),其它不变,则 应为_ 13 解析：由抛物线定义，可知当 A、P、H（如图 1）三点共线时，|PA|+|PF|最 小，其最小值为 9。 条件改动之后，则当 A、P、F 三点共线时（如图 2） ，|PA|+|PF|最小，其最 小值为 3。 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特 征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合 运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。 【例题 4】设 是抛物线 的焦点设 A、B 为抛物线 上异于原点的F2:4GxyG 两点，且满足 ，延长 ， 分别交抛物线 于点 C、D，求四边形0ABAF 面积的最小值ABCD 解：设 ， ；由题意知，直线 的斜率 存在，由对称性，1()xy， 2()Cxy， k 不妨设 0k 因直线 过焦点 ，所以直线 的方程为 点 A、C 的坐标满()F， AC1yx 足方程组 214yx， 得 ，由根与系数的关系知 则有：20 xk124.xk， 222221111()()()()ACyk 因为 ，所以 的斜率为 ，从而 的方程为 同理可BDBD1yxk 求得 224()41kk 当 时，等号成立所 2228()1()32ABCDS k 1k 以，四边形 面积的最小值为 点拨：本题首先通过计算，建立好四边形 面积的函数表达式，然后根ABCD 据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。 【例题 5】在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy 34xy （1）求圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 使P 成等比数列，求 的取值范围PAOB， ， PA 解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，即rO34xy 14 ；得圆 的方程为 （2）不妨设4213rO24xy 由 即得 212(0)()AxBx， ， ， ， 2(0)(AB， ， ， 设 ，由 成等比数列，得Py， APB， ， ，222()()xxyx 即 由于y()()yxA， ， 224y(1). 点 在圆 内，故 由此得 所以 的取值范围PO24.xy， 21PBA 为 20)， 点拨：本题同样是先通过计算，建立好“ ”的函数表达式，A 然后依据“点 在圆 内” ，得出相应的约束条件“ ”，从而得出所求。PO21y 三、求参数的取值范围范围问题： 求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：、第一种是不等式 （组）求解法 根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过 解不等式（组）再得出参数的变化范围；、第二种是函数的值域求解法： 把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化 范围。 【例题 6】 、若圆 x2+(y-1)2= 1上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c0 恒成立， 则 c的取值范围是_ 解：可设 ；则有 cos+sin+1+c0 恒成立，即有 c - cosiny (cos+sin+1)恒成立， c -1为所求。2 点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三 角函数的最值的问题，从而简捷易解。 【例题 7】 （2007 年福建高考题14 分）如图，已知 ，直线(10)F， ， 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且:1lxPPlQ QFA （）求动点 的轨迹 的方程；C （）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 AB， lMOy x1l F 15 （1）已知 ， ，求 的值；1MAF2B12 （2）求 的最小值 解析：（）由 得： ，QPA()0FQPA ， ， ()()0PFA20F 所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： CC24yx （） 、 （1）：由已知 ， ，得 则：1MAF2B120A 2 MAFB 过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，则有：， l 1B ；1F 由、得： ，即 12 AB120 （） 、 （2）：设直线 的方程为： ()xmy 设 ， ，又 ，联立方程组 ，1()Axy， 2()xy， 21M， 241yxm， ， 消去 得： ， ，240m2(4)0124y， 212MMAByy 2 211()()MMy224(1)424()m 221()6mA 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 最小值为 21MAB16 点拨：本题中“求 的值” ，首先是建立好条件不等式组，再化简12 计算得出所求。 P BQ M FO A x y 16 四、对称问题： 包括两种情形：、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；、轴对 称问题：主要抓住以下两个条件去处理-垂直，即已知点与对称点的连 线与对称轴垂直；中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。 【例题 7】如图, 直线 y= x与抛物线 y= x24 交于 A、B 两点, 线段 AB的垂2181 直平分线与直线 y=5 交于 Q点. (1) 求点 Q的坐标；(2) 当 P为抛物线上位于线段 AB下方(含点 A、B) 的 动点时, 求OPQ 面积的最大值. 解析:(1) 解方程组 得 或者 ； 即2 1y= x -48142xy284xy A(4,2),B(8,4), 从而 AB的中点为 M(2,1). 由 kAB= ,直线 AB的垂直1 平分线方程 y1= (x2). 21 令 y=5, 得 x=5, Q(5,5) (2) 直线 OQ的方程为 x+y=0, 设 P(x, x24). 点 P到直线 OQ的距离；81 d= = , ,S OPQ = =2 481x322x25OQ1dOQ .3165 P 为抛物线上位于线段 AB下方的点, 且 P不在直线 OQ上, 4 x4 4 或 4 40)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来 很方便：|AB|=x 1+x2+p；|AB|= (其中 为过焦点的直线 AB的倾斜角） 2psin2 3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种： 、设直线方程为 y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一 元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥曲线方程均未 定，因而通常计算量较大） ； 、利用点差法：例如在椭圆 内有一定点 P（x 0,y0),求以 P为中点 21xyab 的弦的直线方程时，可设弦的两端点为 A（x 1,y1)、B(x 2,y2) ，则 A、B 满足椭 圆方程，即有 两式相减再整理可得： = - 212xyab(x1+x2) (x1-x2) a2 ；从而可化出 k= = = (y1+y2) (y1-y2)b2 y1-y2x1-x2 (x1+x2)(y1+y2) -b2a2 x0y0 ； -b2a2 对于双曲线也可求得：k= = = ;抛物线也可用 y1-y2x1-x2 (x1+x2)(y1+y2) b2a2 x0y0 b2a2 此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。 4、解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是： 、解决焦点弦（过圆锥曲线的焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲 线的定义和焦半径公式； 、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数 法； 、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆 锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在 对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。 20 例 2.已知直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 A、B。（1）求实数 k的取值范围；（2）是否存在实数 k，使得以线段 AB为直 径的圆经过双曲线 C的右焦点 F？若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由。 解析：（1）将直线 的方程 代入双曲线 C的方程 后，整理 得 依题意，直线 l与双曲线 C的右支交于不同的两点 A、B， 设 ； 则 且 且 且 解联立不等式组得 k的取值范围为（2， ）。 （2）假设存在实数 k，使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点 F（c，0），则 FAFB， 所以 ， 即 又 ， 代入前式整理得 将 代入，化简得 21 解得 。 又 不合，舍去。 所以 符合题意。 注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。 例 3.设点 A和 B为抛物线 上原点以外的两个动点，已知 OAOB，OMAB 于 M，求点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解析：依题意，设 ，则 。 又 OAOB，得 即 化简得 。 而 ， 所以直线 AB的方程为 。 令 y0，并将 代入得 ，即直线 AB与 x轴交于定点 Q（4p，0）。又 OMAB，由平面几何知识得：动点 M的轨迹是以线段 OQ为直 径，以点（2p，0）为圆心的圆，其方程为 22 注：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策 略。 已知双曲线 P是双曲线上一点. 21,4xy （1）求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值； （2）已知点 A（3，0） ，求 的最小值. (9 分)A