北京市西城区高考数学一模试卷理科解析.doc

北京市西城区2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设集合A=x|x2+4x0，集合B=n|n=2k1，kZ，则AB=（）A1，1B1，3C3，1D3，1，1，32在平面直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C是（）A关于x轴对称的图形B关于y轴对称的图形C关于原点对称的图形D关于直线y=x对称的图形3如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ay=x+f（x）By=xf（x）Cy=x2+f（x）Dy=x2f（x）4在平面直角坐标系xOy中，向量=（1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角形，则（）Am=4Bm4Cm1DmR5执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0，1，则输出的S=（）A4B16C27D366设x（0，），则“a（，0）”是“logxx+a”的（）A充分而不必要条件B必要而不成分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7设函数f（x）=Asin（x+）（A，是常数，A0，0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）Af（）f（）f（）Bf（）f（）f（）Cf（）f（）f（）Df（）f（）f（）8如图，在棱长为a（a0）的正四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1平面BCD，A1为BCD内一点，记三棱锥A1B1C1D1的体积V，设=x，对于函数V=f（x），则（）A当x=时，函数f（x）取到最大值B函数f（x）在（，1）上是减函数C函数f（x）的图象关于直线x=对称D存在x0，使得f（x0）（其中VABCD为四面体ABCD的体积）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1=1+i，则=10已知等差数列an的公差d0，a3=3，a2a4=5，则an=；记an的前n项和为Sn，则Sn的最小值为11若圆（x2）2+y2=1与双曲线C：（a0）的渐近线相切，则a=；双曲线C的渐近线方程是12一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是13在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案（用数字作答）14一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系根据图1，有以下四个说法：在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km；大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹其中，所有正确说法的序号是三、解答题（共6小题，满分80分）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A=，sinB=3sinC（1）若a=，求b的值；（2）求tanC的值16某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在60，70）和80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在70，80），80，90），90，100三组中，其中a，b，cN，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）（注：s2= （x）2+（x2）2+（x）2，其中为数据x1，x2，xn的平均数）17（14分）（2016西城区一模）如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，BAD=90，四边形CC1D1D为矩形，已知ABBC1，AD=4，AB=2，BC=1（1）求证：BC1平面ADD1；（2）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（3）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直？并说明理由18已知函数f（x）=xexaex1，且f（1）=e（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx22（k2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1x2|ln19（14分）（2016西城区一模）已知椭圆C：mx2+3my2=1（m0）的长轴长为2，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|=|BP|，求四边形OPAB面积的最小值20设数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为|aibi|（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）设A为满足递推关系an+1=的所有数列an的集合，bn和cn为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于162016年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设集合A=x|x2+4x0，集合B=n|n=2k1，kZ，则AB=（）A1，1B1，3C3，1D3，1，1，3【分析】求出A中不等式的解集确定出A，列举出B中的元素确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x+4）0，解得：4x0，即A=x|4x0，B=n|n=2k1，kZ=，5，3，1，1，AB=3，1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在平面直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C是（）A关于x轴对称的图形B关于y轴对称的图形C关于原点对称的图形D关于直线y=x对称的图形【分析】根据平方关系消去参数化为普通方程，由方程判断出图形特征即可【解答】解：由曲线C的参数方程为（为参数），消去得，（x2）2+y2=2，方程（x2）2+y2=2表示的图形是以（2，0）为圆心，为半径的圆曲线C是关于x轴对称的图形故选：A【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，考查了数形结合的思想方法，是基础题3如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ay=x+f（x）By=xf（x）Cy=x2+f（x）Dy=x2f（x）【分析】逐个计算g（x），观察与g（x）的关系得出答案【解答】解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）对于A，g（x）=x+f（x）=xf（x）=g（x），y=x+f（x）是奇函数对于B，g（x）=xf（x）=xf（x）=g（x），y=xf（x）是偶函数对于C，g（x）=（x）2+f（x）=x2f（x），y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（x）=（x）2f（x）=x2f（x）=g（x），y=x2f（x）是奇函数故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和奇偶性的判断，属于基础题4在平面直角坐标系xOy中，向量=（1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角形，则（）Am=4Bm4Cm1DmR【分析】O，A，B三点能构成三角形，可得，不共线，利用向量共线定理即可得出【解答】解：O，A，B三点能构成三角形，不共线，4+m0，解得m=4故选：B【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0，1，则输出的S=（）A4B16C27D36【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k、A、S的值，当k4时满足条件，退出循环，从而计算输出S的值【解答】解：模拟执行程序，可得A=0，S=1，顺序执行语句，k=1，A=0+1=1，S=11=1；不满足条件k4，执行循环体，k=3，A=1+3=4，S=14=4；不满足条件k4，执行循环体，k=5，A=4+5=9，S=49=36；满足条件k4，退出循环，输出S=36故选：D【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用问题，正确得到每次循环k，A，S的值是解题的关键，属于基础题6设x（0，），则“a（，0）”是“logxx+a”的（）A充分而不必要条件B必要而不成分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由x（0，），可得logx=1又a（，0），可得x+a即可判断出结论【解答】解：x（0，），logx=1又a（，0），x+aa（，0）”是“logxx+a”的充分条件，不是必要条件，例如a=0时故选：A【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7设函数f（x）=Asin（x+）（A，是常数，A0，0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）Af（）f（）f（）Bf（）f（）f（）Cf（）f（）f（）Df（）f（）f（）【分析】根据条件求出函数的周期和对称轴，利用函数周期性，对称性和单调性的关系进行转化比较即可【解答】解：由图象知=，则T=，则函数=，=，则函数在，上是增函数，且函数关于x=和x=对称，则f（）=f（）=f（），f（）=f（+）=f（）=f（），f（）=f（）=f（），f（）f（）f（），即f（）f（）f（），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求出函数的周期和对称轴，利用函数周期性，对称性和单调性的关系进行比较是解决本题的关键8如图，在棱长为a（a0）的正四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1平面BCD，A1为BCD内一点，记三棱锥A1B1C1D1的体积V，设=x，对于函数V=f（x），则（）A当x=时，函数f（x）取到最大值B函数f（x）在（，1）上是减函数C函数f（x）的图象关于直线x=对称D存在x0，使得f（x0）（其中VABCD为四面体ABCD的体积）【分析】由题意求出平面B1C1D1的面积，求出平面B1C1D1与平面BCD的距离，代入三棱锥体积公式求得函数V=f（x），然后利用导数求其单调区间和最值，逐一核对四个选项得答案【解答】解：如图，四面体ABCD是棱长为a的正四面体，顶点A在底面的射影为底面正三角形的中心，设为O，则BO为正三角形BCD底边CD中线的，即BO=，正四面体的高为h=平面B1C1D1平面BCD，B1C1D1BCD，又=x，又，设A到平面B1C1D1的距离为h，由，得，平面B1C1D1与平面BCD间的距离，即A1到平面B1C1D1的距离为则V=（0x1），V=，由V=0，得x=，当x（0，）时，V0，当x（）时，V0，当x=时，V有最大值等于故A正确，B，C错误，又，不存在x0，使得f（x0），D错误故选：A【点评】本题考查棱锥体积的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1=1+i，则=i【分析】由已知求得z2=1+i，代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z2=1+i，=，故答案为：i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10已知等差数列an的公差d0，a3=3，a2a4=5，则an=2n9；记an的前n项和为Sn，则Sn的最小值为16【分析】等差数列an的公差d0，a3=3，a2a4=5，可得，解得d，a1即可得出【解答】解：等差数列an的公差d0，a3=3，a2a4=5，解得d=2，a1=7an=7+2（n1）=2n9令an0，解得n4当n=4时，an的前n项和Sn取得最小值S4=4（7）+2=16【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11若圆（x2）2+y2=1与双曲线C：（a0）的渐近线相切，则a=；双曲线C的渐近线方程是y=x【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得a，进而得到渐近线方程【解答】解：双曲线C：（a0）的渐近线方程为y=x，圆（x2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1，由直线和圆相切，可得=1，解得a=，渐近线方程为y=x故答案为：，y=x【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和圆与渐近线相切，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题12一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是6【分析】由题意，三视图对应的几何体是正方体截去一个角得到，截面是一个等腰三角形，腰长为2，底为2，计算面积即可【解答】解：三视图对应的几何体如图，截面是一个等腰三角形，腰长为2，底为2，所以面积为=6；故答案为：6【点评】本题考查了由几何体的三视图求相关问题；关键是正确还原几何体13在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21种不同的志愿者分配方案（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题14一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系根据图1，有以下四个说法：在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km；大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹其中，所有正确说法的序号是【分析】结合图1分析可得，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为（1.8，2.4）之间，故，不正确；跑道应有3个弯道，且两长一短，故正确【解答】解：由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；故正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为（1.8，2.4）之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故不正确；最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故正确；故答案为：【点评】本题考查了学生的识图能力及数形结合的思想应用三、解答题（共6小题，满分80分）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A=，sinB=3sinC（1）若a=，求b的值；（2）求tanC的值【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：b=3c，利用余弦定理可得7=b2+c2bc，即可解得b的值（2）由三角形内角和定理可得B=C，从而可得sin（C）=3sinC，利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式即可计算得解tanC的值【解答】（本题满分为13分）解：（1）sinB=3sinC，由正弦定理可得：b=3c，由余弦定理：a2=b2+c22bccosA及A=，a=，可得：7=b2+c2bc，b2+（）2=7，解得：b=37分（2）A=，B=C，sin（C）=3sinC，即： cosC+sinC=3sinC，cosC=sinC，tanC=13分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在60，70）和80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在70，80），80，90），90，100三组中，其中a，b，cN，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）（注：s2= （x）2+（x2）2+（x）2，其中为数据x1，x2，xn的平均数）【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数（2）设“至少有1人体育成绩在60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在60，70）的概率（3）当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000=750人（2）设“至少有1人体育成绩在60，70）”为事件A，由题意，得P（A）=1=1，至少有1人体育成绩在60，70）的概率是（3）甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在70，80），80，90），90，100三组中，其中a，b，cN，当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意折线图、方差公式的合理运用17（14分）（2016西城区一模）如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，BAD=90，四边形CC1D1D为矩形，已知ABBC1，AD=4，AB=2，BC=1（1）求证：BC1平面ADD1；（2）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（3）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直？并说明理由【分析】（1）推导出CC1DD1，从而CC1平面ADD1，同理BCADD1，进而平面BCC1平面ADD1，由此能证明BC1平面ADD1（2）推导出ABBC，ABCC1，从而CC1平面ABCD，进而DD1平面ABCD，以D为原点，DA，DM，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值（3）设DD1=m，（m0），（0，1），由BC1CP，得1，与01矛盾，从而直线BC1与CP不可能垂直【解答】证明：（1）CC1D1D为矩形，CC1DD1，又DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，CC1平面ADD1，同理BCADD1，又BCCC1=C，平面BCC1平面ADD1，又BC1平面BCC1，BC1平面ADD1解：（2）平面ABCD中，ADBC，BAD=90，ABBC，又ABBC1，BCBC1=B，AB平面BCC1，ABCC1，又四边形CC1D1D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交于一点，CC1平面ABCD，CC1DD1，DD1平面ABCD，过D在底面ABCD中作DMAD，DA，DM，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DM，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0，0，2），=（4，0，2），设平面AC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得，平面ADD1的法向量=（0，1，0），cos=，平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为（3）直线BC1与直线CP不可能垂直理由如下：设DD1=m，（m0），（0，1），由B（4，2，0），C（3，2，0），D（0，0，0），得=（1，0，m），=（3，2，m），=（3，2，m），=（3，2，0），=（33，22，m），若BC1CP，则=（33）+m2=0，即（m23）=3，0，解得1，与01矛盾，直线BC1与CP不可能垂直【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18已知函数f（x）=xexaex1，且f（1）=e（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx22（k2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1x2|ln【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为求函数g（x）=（x1）exkx2+2的单调性，得到x1，x2的范围，从而证出结论【解答】（1）解：f（x）=（1+x）exaex1，f（1）=2ea=e，解得：a=e，故f（x）=xexex，f（x）=xex，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；（2）证明：方程f（x）=kx22，即为（x1）exkx2+2=0，设g（x）=（x1）exkx2+2，g（x）=x（ex2k），令g（x）0，解得：xln（2k），令g（x）0，解得：0xln（2k），g（x）在（0，ln（2k）递减，在（ln（2k），+）递增，由k2，得ln（2k）ln41，g（1）=k+20，g（ln（2k）0，不妨设x1x2，（其中x1，x2为f（x）的两个不相等的正实数根），g（x）在（0，ln（2k）递减，且g（0）=10，g（1）=k+200x11，同理根据函数g（x）在（ln（2k），+）上递增，且g（ln（2k）0，得：x2ln（2k）ln4，|x1x2|=x2x1ln41=ln，即：|x1x2|ln【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题19（14分）（2016西城区一模）已知椭圆C：mx2+3my2=1（m0）的长轴长为2，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|=|BP|，求四边形OPAB面积的最小值【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）设AP中点为D，由|BA|=|BP|，所以BDAP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=SOAP+SOMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值【解答】解：（1）椭圆C：mx2+3my2=1，即为+=1，所以a2=，b2=，a2=，b2=，可得2a=2=2，m=，可得a=，b=，即有椭圆C： +=1，由c=2，即e=；（2）设AP中点为D，由|BA|=|BP|，所以BDAP，由题意，可得直线BD的斜率存在，P（x0，y0）（y00），则D（，），直线AP的斜率为kAP=，直线BD的斜率为=，可得BD的方程为y=（x），令x=0可得y=，即B（0，），由+=1，可得x02=63y02，化简可得B（0，），则四边形OPAB的面积为S=SOAP+SOMB=3|y0|+3|=（2|y0|+）2=3，当且仅当2|y0|=，即y0=，时，等号成立所以四边形OPAB面积的最小值为3【点评】本题考查椭圆的方程和离心率的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题20设数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为|aibi|（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）设A为满足递推关系an+1=的所有数列an的集合，bn和cn为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16【分析】（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）由数列的递推公式，即可求得a，a3，a4，a5，求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列bn和cn规律，可知随着项数m越大，数列bn和cn的距离越大，由=bici|=，根据周期的定义，得|bici|=|bici|=864=2016，求得m的最大值；（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出cn，dn，fn，最总求得|fici|2和|fidi|2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中的元素个数小于或等于16【解答】解：（1）由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7，（2）设a1=p，其中p0，且p1，由an+1=，得a2=，a3=，a4=，a5=p，a1=a5，因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，所数列bn中，b4k3=2，b4k2=3，b4k1=，b4k=，kN*，所以cn中，b4k3=3，b4k2=2，b4k1=，b4k=，kN*，|bici|bici|，得项数m越大，数列bn和cn的距离越大，由=bici|=，得|bici|=|bici|=864=2016，所以m3456时， |bici|2016，故m的最大值为3455，（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，因为数列an中，ai=0或1，所以仅由数列前三项组成的数组（a1，a2，a3）有且仅有8个，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的a1，a2，a3，设这个数列分别为cn：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，dn：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，fn：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，所以，bn和cn中，ci=di，（i=4，5，6，7）中至少有三个成立，不妨设c4d4，c5d5，c6d6，由题意，c4和d4中一个等于0，而另一个等于1，又因为f4=0或1，所以f4=c4和f4=d4中必有一个成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一个成立，f6=c6和f6=d6中必有一个成立，所以“fi=ci（i=3，4，5）中至少有两个成立”或”fi=di（i=4，5，6）中至少有两个成立“中必有一个成立，所以|fici|2和|fidi|2中必有一个成立与题意矛盾，T中的元素个数小于或等于16【点评】本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查反证法的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题