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1 初三上数学期末总复习-典型例题选讲 （各章节重点、常考题型） 1、二次根式 例题 1：若式子 有意义，则 x 的取值范围为（ ）23x A、x2 B、x3 C、x2 或 x3 D、x2 且 x3 例题 2：实数 a 在数轴对应点如图所示， 则 的值是（ ）2()a （A）2 a+2 （B）2 a-2 （C）2 （D）-2 例题 3：下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.21a12852 例题 4：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A 3和 18 B 3和 1 C 22.1abDa和 例题 5：填空： 1） 计算： = 82 2） 若 ，则 m n 的值为 0)1(32nm 3） 比较大小： （填“”或“”）3_ 4)若 x2，化简 的正确结果是 _.xx)2( 例题 6：计算： （1） （2） 173 xx3)1246( 例题 7：先化简再求值： ，其中 。)1(12xxx 例题 8：如下图，实数 a、b 在数轴上的位置，化简 a2 - b2 - (a-b)2 . a b o 1-1 a -2 0 2 例题 9：已知 ， ，计算 的值。5xy3xyyx 二、二次方程 例题 1：下列方程是一元二次方程的有_ (1) ; (2) ; (3) =0;x752035)12(2x2342x (4) ; (5) ; (6) .02 yx 15)( 例题 2：方程 4x2=13-2x 化为一般形式为_，它的二次项是_, 一次项是 _，常数项是_. 它的二次项系数是_, 一次项系数是_，常数项是_. 例题 3：当 m=_时，关于 x 的方程(m-2)x 2+mx=5 是一元一次方程； 当 m_时，关于 x 的方程(m-2)x 2+mx=5 是一元二次方程。 关于 x 的方程 是一元二次方程，则 k 的值为_01)1(kk 例题 4：解方程： （1）直接开方法 4（1x） 29=0 （2）配方法 0124x （3）公式法 （3）十字相乘 0132x 0312x 3 （5）因式分解 (6) 0)1(3)(xx xx2)1( 例题 5：若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是012)(xm _ 例题 6：不论 m 取何值，方程 都有两个不相等的实数根。3)7(9m 例题 7：已知方程 的两根是 ，不解方程，求下列各式的值。0132x21,x （1） （2）21 )1)(21xx （3） （4）21x 21x 例题 8：已知关于 x 的方程 的两个根为-5 和 7，求 m-n02nmx 例题 9：应用题 1、面积问题： 如图, 东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩 形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为 x,面积为 y. (1) 求 y 与 x 的函数关系式,并求自变量 x 的取 值范围; 4 (2) 生物园的面积能否达到 210 平方米?说明理由. 2、传染、分支问题： 某养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场一只带病毒的小鸡经过两天的传染后使鸡场共有 121 只 小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？ 3、循环问题： 一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张。已知全组共送贺年卡 169 张，求这个小组的人数。 4、工程问题： 甲、乙两工程队各承包 1000 米道路维修工程，已知甲比乙每天完成的工程量比甲多 10 米， 结果甲比乙少用 5 天时间，问甲乙每一天各个完成多少米。 5、增长率问题 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 20 亿元对各市的农村饮用水的“改水工程” 予以一定比例的补助。2008 年，A 市在省财政补助的基础上投入 600 万元用于“改水工程” ，计划 以后每年以相同的增长率投资，2010 年该市计划投资“改水工程”1176 万元。 （1）求 A 市投资“改水工程”年平均增长率；（2）A 市三年共投资“改水工程”多少万元？ 6、商品价格问题 百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了迎 5 接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经 市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可以多售出 2 件。 （1）要项平均每天销售这种童装盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？ （2）若要使百货商店平均每天盈利最多，请你帮助设计方案。 三、旋转 例题 1：如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 例题 2：如图所示，其中是中心对称图形的是（ ） 例题 3：如图 4，P 为正方形 ABCD 内的一点，ABP 绕点 B 顺时针旋转得到CBE，则PBE 的度 数是（ ） A、 B、 C、 D、70809010 图 3 图 4 例题 4：如图 4，AOB=90，B=30，AOB可以看作是由AOB 绕点 O 顺时针旋转 角 度得到的 若点 A在 AB 上，则旋转角 的大小可以是（ ） A、 B、 C、 D、30456090 例题 5：如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE=14，ABF 是ADE 的旋转图形 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？ 6 （4）如果连结 EF，那么AEF 是怎样的三角形？ 例题 6：在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系 ABC 的三个顶点都在格点上，xoy 点 A 的坐标是（4，4 ） ，请解答下列问题； （1）先将ABC 向左平移 6 个单位得到 ，再作出画出 ABC 关于 X 轴对称的 ；1CBA 2CBA （2）做出ABC 关于原点对称的三角形 。3 （3）将 绕点 C 顺时针旋转 902B 例题 7：如图所示，正方形 ABCD 的 BC 边上有一点 E，DAE 的平分线交 CD 于 F，试用旋转的思想 方法说明 AE=DF+BE F EB C A D 例题 8：如图 1，点 O 是线段 AB 的中点，分别以 AO 和 OB 为边在线段 AB 的同侧作等边三角形 OAM 和等边三角形 OBN，连结 AN、 BM 相交于点 P （1）证明 ; （2）求 的大小；NMAB （3）如图 2，若 OAM 固定,将 OBN 绕着点 O 旋转 角度如图, OBN 形状和大小不变，试探究 大小是否发生变化，并对结论给予证明APB 7 P NM BOA A O B M NP 图 2图 1 四、圆 例题 1： 1）.如图 1， 内接于 ，若 ，则 的大小为（ ）ABC O 28ABC A B C D285606 图 1 C A B O 图 3 2） 如图 2，AB 是O 的直径，ABC=30，则BAC =（ ） A90 B60 C45 D30 3） 、如图 3， 的直径，弦 ，则弦 的BO是 03cmDAEBO于 点 ， ， 的 半 径 为 CD 长为（ ） A B C Dcm23c23cm9c 例 2. 如图，AB、CD 是O 的直径，DF、BE 是弦，且 DF=BE 求证：D = B. D B O A C F E 图 2 8 例 4. 如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，CEA30，求 CD。 O E D C BA 例 5.如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 AB CD 于点 E。连接 AC、OC、BC。 （1）求证： ACO= BCD。 （2）若 EB= ，CD= ，求O 的面积。8cm24c E D B A O C 例题 6：如图， PA， PB 分别为 O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、 B， P=70，则C= 5 P C B A O 例题 7：圆最长弦为 12 ，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 ，那么（ ）cmd A B C Dd6cmd126cd6cm12 例题 8：两圆既不相交又不相切，半径分别为 3 和 5，则两圆的圆心距 d 的取值范围是（ ） Ad8 B0d2 C2d8 D0d2 或 d8: 例题 9：已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点 B 的切线，O 的弦 AD 平行于 OC 求证：DC 是O 的切线 例题 10：如图，O 的直径 AB=6，C 为圆周上的一点，BC=3.过点 C 作O 的切线 GE，作 ADGE 9 于点 D， 交O 于点 F. 求：（1）求证：ACG=B， （2）计算线段 AF 的长. BA C E D F O G 例题 11：已知：如图，PA，PB，DC 分别切O 于 A，B，E 点 (1)若P=40，求COD；(2)若 PA=10cm，求PCD 的周长 例题 12：如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，点 在ABC ABOACBDEF 的延长线上，且 .AC12F 求证：直线 是 的切线； 若 ，BE:AB=1：2，求 和 的长.O5 O EB FCDA 例题 13：矩形 ABCD 的边 AB=8， AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻滚， 当它翻滚至类似开始的位置 时(如图所示) ，求顶点 A 所经过的路线长1ABCD 例题 14：如图所示的扇形中，半径 R=10，圆心角 =144用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1) 求这个圆锥的底面半径 r; (2) 求这个圆锥的高. 10 例题 15：如图，已知一底面半径为 3，母线长为 9 的圆锥，在地面圆周上有一蚂蚁位于 A 点，它 从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出 最短路径的长. 例题 16：（2012 广州中考题）如图 1，O 中 AB 是直径，C 是O 上一点，ABC45，等腰直 角三角形 DCE 中DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上 (1)证明：B、C、E 三点共线； (2)若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN OM；2 (3)将DCE 绕点 C 逆时针旋转 (0 090 0)后，记为D 1CE1(图 2)，若 M1是线段 BE1的中 点，N 1是线段 AD1的中点，M 1N1 OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由2 图 3 图 4 例题 17：（广州 2013-24）已知 是 的直径， ，点 在线段 的延长线上运动，点ABO4ABCAB 在 上运动 (不与点 重合)，连接 ，且 .DOCD (1) 当 时(如图 12)，求证： 是 的切线；2C (2) 当 时， 所在直线于 相交，设另一交点为 ，连接 .E 11 当 为 中点时，求 的周长；DCEACE 连接 ，是否存在四边形 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时 的值；OODAED 若不存在，请说明理由. 图12 O CDBA 5、概率 例题 1：下列事件中，属于不确定事件的有（ ） 太阳从西边升起； 任意摸一张体育彩票会中奖； 掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； 小明长大后成为一名宇航员 A B C D 例题 2：下列说法错误的是（ ） A必然发生的事件发生的概率为 1 B不可能发生的事件发生的概率为 0 C不确定事件发生的概率为 0 D随机事件发生的概率介于 0 和 1 之间 例题 3：某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人， 则选出的恰为一男一女的概率是 ( ) A B C D45352515 例题 4：甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定游 戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后 所指颜色相同，则甲去；否则乙去 （如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向 一种颜色为止） （1）转盘连续转动两次，指针所指颜色共有几种情况？通过画树状图或列表法加以说明； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由 红 黄 蓝 12 例题 5：一家医院某天出生了 3 个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这 3 个婴儿中， 求出现 1 个男婴、2 个女婴的概率是多少？ 例题 6：如图， （1） ，A、B 两个转盘分别被分成三个、四个相同的扇形，分别转动 A 盘、B 盘各一 次（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字为止） 。 （1）用列表（或画树状图）的方法，求两个指针所指的区域内的数字之和大于 7 的概率。 A 图 1 B 65 4 7 65 4 3 3 2 2 1 1 A 图 2 B （第 3 题图） （2）如果将图（1）中的转盘改为图（2） ，其余不变，求两个指针所知区域的数字之和大于 7 的 概率。 例题 7：小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小 亮都想先挑选于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：在一个不透明的袋子里 装有除数字以外其它均相同的 4 个小球，上面分别标有数字 1、2、3、4一人先从袋中随机摸出 一个小球，另一人再从袋中剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球若摸出的两个小球上的数字和 为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选 （1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由 13 六、二次函数 例 1：若 是二次函数，则 _ mxy2)(2 m 例 2：抛物线 的开口方向是 ；顶点为 ；对称轴是 ；最值是 42 ； 例 3：已知函数 的图像关于 y 轴对称，则 m_.2)(2xmxy 例 4：函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）362k k A、 B、 C、 D、0k且 303k且 例 5：二次函数 的图像沿 轴向左平移 2 个单位，再沿 轴向上平移 3 个单位，2yxbcxy 得到的图像的函数解析式为 ，则 b 与 c 分别等于（ ）21y A、6，4 B、8，14 C、6，6 D、8，14 例题 6：函数 的图像如图所示，则 a、b、c， ， ， 的)0(2acbxy cba 符号为_ 例题 7：在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为（ ） 。yaxb2yaxb 14 例题 8：函数 y=ax2-a 与 y= (a0)在同一直角坐标系中的图像可能是( )ax （A） （B） （C） （D） 例题 9：根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式 （1）抛物线过（1，0） ， （3，0） ， （1，5）三点. （2）当 x=3 时，y 最小值 =-1，且图像 过（0，7）. （3）与 x 轴交点的横坐标分别是 x1=-3，x 2=1 时，且与 y 轴交点为（0，-2）. （4）抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4，且顶点坐标是（3，2）. （5)二次函数的图像经过点（1，0） ， （3，0） ，且最大值是 3. 例题 10：如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m） ，围成中间隔有一 道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2 （1）求 S 与 x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为 45 m2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请 说明理由 15 例题 11：水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克. 经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克. （1）现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 例题 12：某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件） 之间的关系如下表 x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 例题 13：有一座抛物线桥洞，已知桥下水面离桥拱顶部 3m 时，水面宽 为 6m，当水位上升AB 0.5m 时： （1）求水面的宽度 为多少米？CD （2）有一艘游船，它左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船能否通过上述桥洞。 16 若游船宽（船的最大宽度）为 2m，从水面到棚顶的高度为 1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ 若从水面到棚顶的高度为 m 的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最大宽度是多少米？74 O CA E DB y x 3 2 1 1 2 3-3 -2 -1 例题 14：如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针 旋转 120，得到线段 OB. （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标； 若不存在，请说明理由. （4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么 PAB 是否有最大面积？若 有，求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. B A O y x
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