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第15章 傅里叶级数15.1 傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中，可视为经函数系线性表出而得不妨称为基，则不同的基就有不同的级数今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数1 三角函数系函数列称为三角函数系其有下面两个重要性质(1) 周期性 每一个函数都是以为周期的周期函数；(2) 正交性 任意两个不同函数的积在上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零对于一个在可积的函数系，定义两个函数的内积为，如果，则称函数系为正交系由于 ；，所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中为常数2 以为周期的傅里叶级数定义1 设函数在上可积， ； ，称为函数的傅里叶系数，而三角级数称为的傅里叶级数，记作这里之所以不用等号，是因为函数按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以为周期的函数在上按段光滑，则，其中为的傅里叶系数定义2 如果，则称在上光滑若存在；，存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称在上按段光滑几何解释如图按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点推论 如果是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则，有 定义3 设在上有定义，函数称为的周期延拓二习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1) ；解：、，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求、，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求(2) ；解：、，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求解：、，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求(3) 解：函数，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求2 设是以为周期的可积函数，证明对任何实数，有，证：因为，都是以为周期的可积函数，所以令有从而同理可得3 把函数展开成傅里叶级数，并由它推出(1) ；(2) ；(3) 解：函数，作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，故为所求(1) 取，则；(2) 由得，于是；(3) 取，则，所以4 设函数满足条件，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性解：因为满足条件，所以，即是以为周期的函数于是由系数公式得当时，故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，5 设函数满足条件：，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性解：因为满足条件，所以，即是以为周期的函数于是由系数公式得当时，故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，6 试证函数系和都是上的正交函数系，但他们合起来的却不是上的正交函数系证：就函数系，因为，又；，时，所以在上是正交系就函数系，因为，又，时，所以在上是正交系但不是 上的正交系实因：7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ；解：作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时，所以，为所求(2) ；解：作周期延拓的图象如下其按段光滑，故可展开为傅里叶级数因为，所以由系数公式得当时，所以， 而时，故，为所求(3) ；解：由系数公式得当时，故为所求由系数公式得当时，故为所求(4) ；解：由系数公式得当时，所以，所以，故，为所求 (5) 解：由系数公式得当时，所以，故，为所求8 求函数的傅里叶级数展开式并应用它推出解：由得 ，而，故由收敛定理得9 设为上光滑函数，且为的傅里叶系数，为的导函数的傅里叶系数证明证：因为为上光滑函数，所以为上的连续函数，故可积由系数公式得当时，故结论成立10 证明：若三角级数中的系数满足关系，为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数证：设，则，在上连续，且，亦在上连续又，而收敛，所以在上一致收敛故设，则且在上连续15. 2 以为周期的函数的展开一基本内容一、以为周期的函数的傅里叶级数设是以为周期的函数，作替换，则是以为周期的函数，且在上可积在上可积于是 ，其中 令得，从而 其中 上式就是以为周期的函数的傅里叶系数在按段光滑的条件下，亦有其只含余弦项，故称为余弦级数同理，设是以为周期的奇函数，则奇，偶于是 ，从而其只含正弦项，故称为正弦级数由此可知，函数要展开为余弦级数必须作偶延拓偶延拓，函数要展开为正弦级数必须作奇延拓奇延拓二习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式(1) (周期)；解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，故，为所求(2) (周期1)；解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数因，所以由系数公式得当时，故，为所求(3) (周期)； 解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，故，为所求(4) (周期)解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，故，2 求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，故，为所求3 将函数在上展开成余弦级数解：函数，作偶延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数由系数公式得当时，故4 将函数在上展开成正弦级数解：函数，作偶延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是奇函数，故其展开式为正弦级数由系数公式得故在上为所求5 把函数在上展开成余弦级数解：函数，延拓后的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，所以为所求6 把函数在上展开成余弦级数，并推出解：函数，延拓为以为周期的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数因，所以由系数公式得当时，所以令得，即7 求下列函数的傅里叶级数展开式(1) ；解：函数是以为周期的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是奇函数，故其展开式为正弦级数由系数公式得所以，(2) 解：函数是以为周期的函数如下图由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数由系数公式得，当时，所以，8 试问如何把定义在上的可积函数延拓到区间内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1) ； (2) 解：(1)先把延拓到上，方法如下：；再把延拓到上，方法如下：其图象如下 由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数由系数公式得，当时，所以(2) 先把延拓到上，方法如下；再把延拓到上，方法如下其图象如下 由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数由系数公式得，当时，所以15. 3 收敛定理的证明一基本内容一、贝塞尔不等式定理1设在上可积，则,其中为的傅里叶系数推论1 设在上可积，则,推论2 设在上可积，则，定理2 设以为周期的函数在上可积，则，此称为的傅里叶级数的部分和的积分表达式二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理)设以为周期的函数在上按段光滑，则 ，定理4 如果在上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则定理5 如果在按段单调，则二习题解答1 设以为周期且具有二阶连续的导函数，证明的傅里叶级数在上一致收敛于证：由题目设知与是以为周期的函数，且光滑，故，且当时，于是由贝塞尔不等式得收敛，又收敛，从而收敛，故在上一致收敛2 设为上可积函数，证明：若的傅里叶级数在上一致收敛于，则成立贝塞尔(Parseval)等式，这里为的傅里叶系数证：设，因为的傅里叶级数在上一致收敛于，所以，于是而所以时，故 3 由于贝塞尔等式对于在上满足收敛定理条件的函数也成立请应用这个结果证明下列各式(1) ；(2) ； (3) 解：(1)取，由1习题3得由贝塞尔等式得，即 (2)取，由1习题1 (1)得由贝塞尔等式得，故(3) 取，由1习题1 (2)得由贝塞尔等式得，故4 证明：若均为上可积函数，且他们的傅里叶级数在上分别一致收敛于和，则其中为的傅里叶系数，为的傅里叶系数证：由题设知，于是而，所以5 证明若及其导函数均在上可积,，且成立贝塞尔等式，则证：因为、在上可积，设，由系数公式得当时，于是由贝塞尔等式得总练习题151 试求三角多项式 的傅里叶级数展开式解：因为是以为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得，当时，故在，的傅里叶级数就是其本身2 设为上可积函数，为的傅里叶系数，试证明，当时，积分取最小值，且最小值为上述是第1题中的三角多项式,为它的傅里叶系数证：设，且，因为，而，所以故当时，积分取最小值，且最小值为3 设为以周期，且具有二阶连续可微的函数，若级数绝对收敛，则证：因为为以周期，且具有二阶连续可微的函数，所以即，从而又绝对收敛，收敛，所以收敛，且故结论成立4 设周期为的可积函数与满足以下关系式(1) ； (2) 试问的傅里叶系数与的傅里叶系数有什么关系？解：设，(1) 则当时， ，(2) 当时，5 设定义在上的连续函数列满足关系，对于在上的可积函数，定义，证明收敛，且有不等式证：在上的所有可积函数构成的集合中定义内积为，则函数列为标准正交系令，则，又，而，于是，所以，即有上界故收敛，且
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