一次函数知识点总结和常见题型归类.doc

- 1 - 一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式 中, 表示速度, 表示时间, 表示在时间 内所走的路程,则变量是_,常vtstst 量是_。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是_，常量是_. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量， y 是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候， Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1） y=x (2)y=2x1 (3) y= (4)y= 3 x (5)y=x21 中，是一次函数的有（ ） 1x 2 （ A）4 个 （ B）3 个 （ C）2 个 （ D）1 个 P116 1 P87 2 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ） A y= B y= C y= D y= 2x12242x 函数 中自变量 x 的取值范围是_.5 已知函数 ，当 时， y 的取值范围是 （ ）21y1 A. B. C. D.325y253253y 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由 这些点组成的图形，就是这个函数的图象例题:P117 5 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的 各点） ；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。 （画 3 个图像） 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的 函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 (1)解析式： y=kx（ k 是常数， k0） (2)必过点：（0，0）、（1， k） (3)走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x 的增大而增大； k0 b0 图象从左到右上升， y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k0， y 随 x 的增大而增大； k0 或 ax+b0（ a， b 为常数， a0）的形式，所以解一元一次不 等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围. 17、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= 的图象相同.bcx （2）二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数 y= 和 y= 的图象交点.2211ybxa 1a2bcxa 18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数 y=kx b 的图象与两条坐标轴的交点：与 y 轴的交点（0， b），与 x 轴的交点（ ，0）.k 直线 （ b0）与两坐标轴围成的三角形面积为 s= k2 1 常见题型 - 4 - 1、考察一次函数定义 1、若函数 213myx 是 y 关于 x 的一次函数，则 m的值为 ；解析式为 . 2、要使 y=(m2) xn1 +n 是关于 x 的一次函数, n,m 应满足 , . 2、考查图像性质 1、已知一次函数 y=（ m2） x+m3 的图像经过第一，第三，第四象限，则 m 的取值范围是_ 2、已知 是整数，且一次函数 的图象不过第二象限，则 为 .(4)2yx 3、 直线 经过一、二、四象限，ykxb 则直 线 的图象只能是图 4 中的 （ ） 4、如图 6，两直线 和 在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）1ykxb2yxk 5. 为 时，直线 与直线 的交点在 轴上.b2yxb34yxx 6.要得到 y= x4 的图像，可把直线 y= x（ ）322 （ A）向左平移 4 个单位（ B）向右平移 4 个单位 （ C）向上平移 4 个单位 （ D）向下平移 4 个单位 7、已知一次函数 y= kx+5，如果点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）都在函数的图像上，且当 x1x2时，有 y1y2 （ B） y1 =y2 （ C） y1 y2 （ D）不能比较 三、交点问题 1、若直线 y=3x1 与 y=x k 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（ ） （ A） k （ B） 1 或 k3 3 2、若直线 和直线 的交点坐标为 ，则 .ab(,8)mab 3、一次函数 的图象过点 和 两点，且 ，则 ， 的取值范围是 .ykxb(,1),1kb 4、直线 经过点 ， ，则必有（ ）AmB() - 5 - A. 0,kb.0,Bkb.0,CkbD 5、如图所示，已知正比例函数 xy21 和一次函数 bxy，它们的图像都 经过点 P（ a，1），且一次函数图像与 y 轴交于 Q 点。 （1）求 a、 b 的值；（2）求 PQO 的面积。 4、面积问题 1、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S，则 S 等于（ ） A6 B12 C3 D24 2、若一次函数 y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9，则 b=_ 3、已知一次函数 与 的图像都经过 ，且与 轴分别交于点 B， ，则 的面积为2ayxb(2,0)AycAC （ ） A4 B5 C6 D7 4、已知一次函数 y kx b 的图像经过点（1，5），且与正比例函数 的图像相交于点（2， a），求1=x （1） a 的值；（2） k、 b 的值；（3）这两个函数图像与 x 轴所围成的三角形面积。 五、一次函数解析式的求法 （1） 定义型 例 1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。ymx()328 （2）点斜型 例 2. 已知一次函数 的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。k （3）两点型 例 3.已知某个 一次函数的图像与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函 数的解析式为_。 （4）图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 y 2 O 1 x （5）斜截型 例 5. 已知直线 与直线 平行，且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解析式为 ykxbyx2 。 （6）平移型 例 6. 把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为 。21 （7） 实际应用型 例 7. 某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为 。 - 6 - （8）面积型 例 8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为 ykx4 。 （9）对称型 例 9. 若直线 l 与直线 关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为_。21 知识归纳： 若直线 与直线 关于lykxb （1） x 轴对称，则直线 l 的解析式为 （2） y 轴对称，则直线 l 的解析式为 ykxb （3）直线 y x 对称，则直线 l 的解析式为 ykxb1 （4）直线 对称，则直线 l 的解析式为 （5）原点对称，则直线 l 的解析式为 yxb （10）开放型 例 10.一次函数的图像经过 (1,2)且函数 y 的值随 x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件 的函数关系式 . （11）比例型 例 11.已知 y 与 x+2 成正比例，且 x1 时 y6求 y 与 x 之间的函数关系式 - 7 - 练习题： 1. 已知直线 y=3x2, 当 x=1 时， y= 2. 已知直线经过点 A（2,3）， B（1，3），则直线解析式为_ 3. 点（1，2）在直线 y=2x4 上吗？ （填在或不在） 4. 当 m 时，函数 y=(m2) 3 2 +5 是一次函数，此时函数解析式为 。 5. 已知直线 y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6，则函数的解析式为 . 6. 已知变量 y 和 x 成正比例，且 x=2 时， y= ,则 y 和 x 的函数关系式为 。1 7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于 x 轴对称的点的坐标为 ；关于 y 轴对称的点的坐标 为 。 8. 直线 y=kx2 与 x 轴交于点（1，0），则 k= 。 9. 直线 y=2x1 与 x 轴的交点坐标为 与 y 轴的交点坐标 。 10. 若直线 y=kx b 平行直线 y=3x4，且过点（1，2），则 k= . 11. 已知 A(1,2), B(1,1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线 y= x+6 上的点有_,在直线 y=3x4 上的点有_ 12. 某人用充值 50 元的 IC 卡从 A 地向 B 地打长途电话，按通话时间收费，3 分钟内收费 2.4 元，以后每超过 1 分 钟加收 1 元，若此人第一次通话 t 分钟（3 t45），则 IC 卡上所余的费用 y（元）与 t（分）之间的关系 式是 . 13. 某商店出售一种瓜子，其售价 y（元）与瓜子质量 x（千克）之间的关系如下表 质量 x（千克） 1 2 3 4 售价 y（元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 由上表得 y 与 x 之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数 Y= X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点3 M(8, m)和 N(n,5)在一次函数的图象上,求 m,n 的值 15. 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(1, 5),且与正比例函数 y= x 的图象相交于点(2, a),求 12 (1)a 的值 (2)k,b 的值 (3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积. 16. 有两条直线 ， ，学生甲解出它们的交点坐标为（3，2），学生乙因把 c 抄错了而baxy1cxy52 解出它们的交点坐标为 ，求这两条直线解析式)4,3( 17. 已知正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 P（3，6）xky192xky - 8 - （1）求 的值。（2）如果一次函数 与 x 轴交于点 A，求 A 点坐标1,k 92ky 18. 某种拖拉机的油箱可储油 40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量 y（ L）与工作时间 x（ h）之间为一次 函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 的函数解析式 （2）一箱油可供拖位机工作几小时？ - 9 - 一、分段函数 1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费 （元）与用水量y （吨）的函数关系如图所示。x （1）写出 与 的函数关系式；yx （2）若某户该月用水 21 吨，则应交水费多少元？ 2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨 数 和他收入的钱数 （万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问xy 题： （1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？ （2）若降价后每千克菠萝的价格是 1.6 元，他这次卖菠萝的总收入是 2 万 元，问他一共卖了多少吨菠萝？ 3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过 100 度时，按每度 0.57 元计费； 每月用电超过 100 度时，其中的 100 度按原标准收费；超过部分按每度 0.50 元计费. （1）设用电 度时，应交电费 元，当 100 和 100 时，分别写出 关于 的函数关系式.xyxyx （2）小王家第一季度交纳电费情况如下： 月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76 元 63 元 45 元 6 角 184 元 6 角 问小王家第一季度共用电多少度？ 4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要 8 元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机 需 120 元外每张还需成本费 4 元（含空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少？还是自刻费 用少？说明你的理由 二、一次函数应用 0 y x15 20 27 39.5 8 2 1.92 ()y万 元 ()x吨 - 10 - 1、甲、乙二人在如图所示的斜坡 AB 上作往返跑训练已知：甲上山的速度是 a 米/分，下山的速度是 b 米/分， （ a0），且所建的两 种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？