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试卷代号：1080中央广播电视大学20112012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2012年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设，为三阶可逆矩阵，且，则下列（ ）成立A B C D 2 设是n阶方阵，当条件（ ）成立时，n元线性方程组有惟一解AE3设矩阵的特征值为0，2，则的特征值为（ ）。A0，2 B0，6C0，0 D2，64若随机变量，则随机变量 ( )5 对正态总体方差的检验用( )二、填空题(每小题3分，共15分)6 设均为二阶可逆矩阵，则 8 设 A， B 为两个事件，若,则称A与B9若随机变量，则 10若都是的无偏估计，且满足_，则称比更有效。三、计算题(每小题16分，共64分)11 设矩阵，那么可逆吗？若可逆，求逆矩阵12在线性方程组中取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解。13. 设随机变量,求和。 (已知，)14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4, 10.6, 10.1, 10.4问：该机工作是否正常（）？四、证明题（本题6分）15. 设n阶矩阵A满足,试证A为对称矩阵。参考解答一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、B 2、A 3、B 4、D 5、C 二、填空题(每小题3分，共15分)三、计算题(每小题16分，共64分)试卷代号：1080中央广播电视大学20102011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2011年7月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设，都是n阶方阵，则等式（ ）成立A B C D2 已知2维向量组则至多是 AS（ ）。AE A、1 B、2 C、3 D、43线性方程组解的情况是（ ）。A无解 B有惟一非零解C只有零解 D有无穷多解4对任意两个事件 A，B，等式( )成立A B C D5 设是来自正态总体的样本，则 ( ) 是统计量A B C D二、填空题(每小题3分，共15分)1 设A,B是3阶方阵，其中则2 设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称为A的_。3 若，则 4设随机变量，若,则 5若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更_三、计算题(每小题16分，共64分)1 设矩阵，,求2设齐次线性方程组，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解。3. 设,求(1)；（2）。4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格？（检验显著性水平）四、证明题（本题6分）设A是可逆的对称矩阵，试证：也是对称矩阵。参考答案一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、C 2、B 3、A 4、D 5、B 二、填空题(每小题3分，共15分)1122特征值30.343 5. 有效三、计算题(每小题16分，共64分)四、证明题（本题6分）试卷代号：1080中央广播电视大学20102011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2011年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设，都是n阶方阵，则下列等式成立的是（ ）A B C D 2 方程组相容的充分必要条件是 AS（ ），其中AE3下列命题中不正确的是（ ）。A有相同的特征多项式 B若是 A 的特征值，则的非零解向量必是 A 对应于的特征向量C若是A的一个特征值，则AX=O 必有非零解 DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量4若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是( )5 设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量 ( )二、填空题(每小题3分，共15分)6 设，则的根是7设4 元钱性方程提 AX=B 有解且，那么的相应齐次方程程的基础解系含有_个解向量。8 设 A， B 互不相容，且 P(A)O ，则 9设随机变量，则 10若样本来自总体，且，则_三、计算题(每小题16分，共64分)11 设矩阵，求12求下列线性方程组的通解。13. 设随机变量,试求(1)；（2）使成立的常数。 (已知，)14. 从正态总体中抽取容量为625的样本，计算样本均值得，求的置信区间度为，99%的置信区间。（已知）四、证明题（本题6分）15. 设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵。参考解答一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、A 2、B 3、D 4、A 5、C 二、填空题(每小题3分，共15分)11,-1,2.,-223304np 5.三、计算题(每小题16分，共64分)试卷代号：1080中央广播电视大学20092010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2010年7月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设，B都是n阶方阵，则下列命题正确的是（ ）A B C D 2 向量组的秩是 AS（ ）AEA1 B3C 2 D43 n元线性方程组，有解的充分必要条件是（ ）。A BA不是行满秩矩阵C D4 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )A B C D 5 设是来自正态总体的样本，则 ( )是无偏估计A BC D二、填空题(每小题3分，共15分)1 设均为3阶方阵，且2设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得_，则称为的特征值3设随机变量，则4设为随机变量，已知，此时 5设是未知参数的一个无偏估计量，则有_三、计算题(每小题16分，共64分)1 设矩阵，且有，求2求线性方程组的全部解。3. 设,试求（1）；（2）。 (已知，)4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格？四、证明题（本题6分） 设是n阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵。参考解答一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、A 2、B 3、A 4、D 5、C 二、填空题(每小题3分，共15分)1-18230.3427 5.三、计算题(每小题16分，共64分)1解：利用初等行变换得2解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形试卷代号：1080中央广播电视大学20092010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2010年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设为对称矩阵，则条件（ ）成立A B C D 2 AS（ ）AEA BC D3 若 ( )成立，则元方程组有唯一解。A BC D的行向量组线性无关4 若条件 ( )成立，则随机事件互为对立事件A B C D 5 对来自正态总体的一组样本，记，则下列各式中 ( )不是统计量ABCD二、填空题(每小题3分，共15分)6 设均为3阶方阵，且7设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得_，则称为相应于特征值的特征向量8若，则9如果随机变量的期望且，那么 10不含未知参数的样本函数称为_三、计算题(每小题16分，共32分)11 设矩阵，求12当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求出此方程组的一般解四、计算分析题（每小题16分，共32分）13. 设,试求（1）；（2）。 (已知，)14. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9 个，测得直径平均值为15.1 mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间五、证明题（本题6分）15. 设随机事件相互独立，试证：也相互独立。参考解答一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、B 2、D 3、A 4、C 5、C 二、填空题(每小题3分，共15分)68780.3920 10统计量三、计算题(每小题16分，共64分)11解：利用初等行变换得12解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形四、计算分析题（每小题16分，共32分）工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分） 设 ，则 （D） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 ，则 （A） A. B. 1 C. D. 1 乘积矩阵 中元素 （C） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B） A. B. C. D. 设 均为 阶方阵， 且 ，则下列等式正确的是（D） A. B. C. D. 下列结论正确的是（A） A. 若 是正交矩阵，则 也是正交矩阵 B. 若 均为 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵 C. 若 均为 阶非零矩阵，则 也是非零矩阵 D. 若 均为 阶非零矩阵，则 矩阵 的伴随矩阵为（C） A. B. C. D. 方阵 可逆的充分必要条件是（B） A. B. C. D. 设 均为 阶可逆矩阵，则 （D） A. B. C. D. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D） A. B. C. D. （二）填空题（每小题2分，共20分） 7 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若 为 矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，则 为 54 矩阵 二阶矩阵 第一横排 3 5 第二横排 5 8 设 ，则 设 均为3阶矩阵，且 ，则 72 设 均为3阶矩阵，且 ，则 3 若 为正交矩阵，则 0 矩阵 的秩为 2 设 是两个可逆矩阵，则 （三）解答题（每小题8分，共48分） 设 ，求 ； ； ； ； ； 答案： 设 ，求 解： 已知 ，求满足方程 中的 解： 写出4阶行列式 中元素 的代数余子式，并求其值答案： 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 解：（1） （2） (过程略) (3) 求矩阵 的秩解： （四）证明题（每小题4分，共12分） 对任意方阵 ，试证 是对称矩阵证明： 是对称矩阵 若 是 阶方阵，且 ，试证 或 证明： 是 阶方阵，且 或 若 是正交矩阵，试证 也是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分) 用消元法得 的解 为（C） A. B. C. D. 线性方程组 （B） A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组 的秩为（A） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为 ，则（B）是极大无关组 A. B. C. D. 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D） A. 秩 秩 B. 秩 秩 C. 秩 秩 D. 秩 秩 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是（D） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9设A，为 阶矩阵， 既是又是的特征值， 既是又是的属于 的特征向量，则结论（）成立 是AB的特征值 是A+B的特征值 是AB的特征值 是A+B的属于 的特征向量10设，为 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 （二）填空题(每小题2分，共16分) 当 时，齐次线性方程组 有非零解 向量组 线性 相关 向量组 的秩是 设齐次线性方程组 的系数行列式 ，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量 是线性 相关 的 向量组 的极大线性无关组是 向量组 的秩与矩阵 的秩 相同 设线性方程组 中有5个未知量，且秩 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且 的基础解系为 ，则 的通解为 9若 是的特征值，则 是方程 的根10若矩阵满足 ，则称为正交矩阵（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1用消元法解线性方程组 解： 方程组解为 设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解： 当 且 时， ，方程组有唯一解当 时， ，方程组有无穷多解 判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解这里 方程组无解 不能由向量 线性表出 计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解： 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 的一个基础解系解： 方程组的一般解为 令 ，得基础解系 求下列线性方程组的全部解 解： 方程组一般解为 令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解 试证：任一维向量 都可由向量组 ， ， ， 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明： 任一维向量可唯一表示为 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设 为含 个未知量的线性方程组该方程组有解，即 从而 有唯一解当且仅当 而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解9设 是可逆矩阵的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值证明： 是可逆矩阵的特征值 存在向量 ，使 即 是矩阵 的特征值10用配方法将二次型 化为标准型解： 令 ， ， ， 即 则将二次型化为标准型 工程数学作业（第三次）(满分100分)第4章 随机事件与概率（一）单项选择题 为两个事件，则（B）成立 A. B. C. D. 如果（C）成立，则事件 与 互为对立事件 A. B. C. 且 D. 与 互为对立事件 C4. 对于事件 ，命题（D）是正确的 A. 如果 互不相容，则 互不相容 B. 如果 ，则 C. 如果 对立，则 对立 D. 如果 相容，则 相容某随机试验的成功率为 ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D） A. B. C. D. 6.设随机变量 ，且 ，则参数 与 分别是（A） A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设 为连续型随机变量 的密度函数，则对任意的 ， （A） A. B. C. D. 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） A. B. C. D. 9.设连续型随机变量 的密度函数为 ，分布函数为 ，则对任意的区间 ，则 （D） A. B. C. D. 10.设 为随机变量， ，当（C）时，有 A. B. C. D. （二）填空题从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2.已知 ，则当事件 互不相容时， 0.8 ， 0.3 3. 为两个事件，且 ，则 4. 已知 ，则 5. 若事件 相互独立，且 ，则 6. 已知 ，则当事件 相互独立时， 0.65 ， 0.3 7.设随机变量 ，则 的分布函数 8.若 ，则 6 9.若 ，则 10. 称为二维随机变量 的 协方差 （三）解答题1.设 为三个事件，试用 的运算分别表示下列事件： 中至少有一个发生； 中只有一个发生； 中至多有一个发生； 中至少有两个发生； 中不多于两个发生； 中只有 发生解:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： 2球恰好同色； 2球中至少有1红球解:设 =“2球恰好同色”， =“2球中至少有1红球” 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解：设 “第i道工序出正品”（i=1,2） 4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解：设 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 ，求所需设计次数 的概率分布解： 故X的概率分布是 6.设随机变量 的概率分布为 试求 解： 7.设随机变量 具有概率密度 试求 解： 8. 设 ，求 解： 9. 设 ，计算 ； 解： 10.设 是独立同分布的随机变量，已知 ，设 ，求 解： 工程数学作业（第四次）第6章 统计推断（一）单项选择题 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则（A）是统计量 A. B. C. D. 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则统计量（D）不是 的无偏估计 A. B. C. D. （二）填空题 1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法 3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4设 是来自正态总体 （ 已知）的样本值，按给定的显著性水平 检验 ，需选取统计量 5假设检验中的显著性水平 为事件 （u为临界值）发生的概率 （三）解答题 1设对总体 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值 和样本方差 解： 2设总体 的概率密度函数为 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第214页例3矩估计： 最大似然估计： ， 3测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布 的，求 与 的估计值并在 ； 未知的情况下，分别求 的置信度为0.95的置信区间解： （1）当 时，由10.95， 查表得： 故所求置信区间为： （2）当 未知时，用 替代 ，查t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为： 4设某产品的性能指标服从正态分布 ，从历史资料已知 ，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平 ，问原假设 是否成立 解： ，由 ，查表得： 因为 1.96 ，所以拒绝 5某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ ）解：由已知条件可求得： | T | 2.62 接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。第 26 页 共 26 页
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