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2018年青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，则A B C D2设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则A B C D 3若，则的值为A B C D4已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为A B C. D俯视图正视图侧视图5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D开始结束输出是否输入6中国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果A B C D 7已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的表面积为A B C D8函数的大致图像为BCDA9已知，其中，为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是ABCD10已知函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的图像关于轴对称，则A B C D11已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若的面积为，则的值为A B C D12若函数（，为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质给出下列函数：；以上函数中具有性质的个数为A B C D 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13已知向量，向量，若，则的值为 ； 14已知实数满足，则的最小值为 ； 15已知定义在上的偶函数在上单调递减，在上随机地取一个数，则事件“不等式”发生的概率是 ； 16如图所示，在四边形中，则的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求解答（一）必考题：共60分17（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且（1）求数列和的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，试比较与的大小18（12分）如图，圆柱横放在底面边长为的正六棱锥的顶点上， 和分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥底面中心为，分别是圆柱的底面的最高点和最低点，是圆柱的底面的最低点，为中点，点共面，点共线，四边形为矩形（1）证明：平面；（2）求二面角大小注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥19（12分）某校高三年级的名学生参加了一次数学测试，已知这名学生的成绩全部介于分到分之间（满分分），为统计学生的这次考试情况，从这名学生中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，第八组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）估计该校高三年级的这 名学生的这次考试成绩的中位数；（3）若从样本成绩属于第一组和 第六组的所有学生中随机抽取名，记这名学生中属于第一组的人数为，令，求的分布 列及20（12分）已知为坐标原点，点在椭圆上，点在圆上，的中点为，满足三点共线（1）求直线的斜率；（2）若直线与圆相交于两点，记的面积为，的面积为，求的最大值21（12分）已知函数（，为自然对数的底数），若对于恒成立（1）求实数的值；（2）证明：存在唯一极大值点，且（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分 22选修：坐标系与参数方程（10分）已知曲线为参数，为参数，在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）求曲线的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数，为上的点，求的中点到直线距离的最小值23选修：不等式选讲（10分）设函数（1）解不等式；（2）若对一切实数都成立，求的取值范围2018年青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分 C C A C D C C B B A D B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13 14 15 16 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求解答（一）必考题：共60分17. （本题满分12分）解：（1）,解之得: 4分所以5分6分（2）， 8分 12分18（本题满分12分）（1）证明：因为为中点，为中点，所以，1分又因为共线，所以，3分面，面，所以平面 5分（2）正六棱锥底面中心，底面取中点，连接,，则分别以为轴建立空间直角坐标系. 6分为中点, 四边形为矩形，为的中点，从而底面，分别是圆柱的底面的最高点和最低点，底面，从而共线正六棱锥的底面边长为，四边形为矩形，且为中点，且在中，为的中位线，从而为中点，所以7分故,，设平面的法向量为由令，则，所以 10分平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，因此12分19（本题满分12分）解：（1）由频率分布直方图知第七组的频率.2分直方图如图 3分（2）成绩落在第一组的频率为；成绩落在第二组的频率为；成绩落在第三组的频率为；成绩落在第四组的频率为；由于；设该校的名学生这次考试成绩的中位数为，则5分，7分（3）第六组有学生：人；第一组有学生：人可能的取值为，的分布列为 10分，12分20（本题满分12分）解：（1）设,的中点点在椭圆上， 3分，又因为三点共线 ，所以5分（2）点在圆上圆的方程为6分设直线的方程：，由得所以则8分设到直线的距离为， 9分 10分当时，即时，12分21（本题满分12分）解：（1）由可得：1分因为，所以,从而是的一个极小值点，由于,所以 4分当时,在上单调递减；在上单调递增；，故5分（2）当时，.令，则 ，在上为减函数；，在上为增函数由于,所以在上存在满足在上为减函数，时，即，在上为增函数；时，即，在上为减函数因此在上只有一个极大值点， 7分由于，且在上为增函数时，即，在上为减函数；时，即，在上为增函数因此在上只有一个极小值点，综上可知：存在唯一的极大值点，且8 分，所以， 时，；10分，；综上知：12分（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分22（本题满分10分）选修：坐标系与参数方程解：（1）由题曲线的普通方程为 是以为圆心，半径为的圆 2分曲线的普通方程为是以原点为中心，焦点在轴上长轴为短轴为的椭圆4分（2）当时，点坐标为5分设，所以中点的坐标为又直线的直角坐标方程为6分 当时，取最小值10分23（本题满分10分）选修：不等式选讲解：（1）由可得：当时，原不等式可化为，1分解得：，不等式无解；当时，原不等式可化为解得：，不等式解为3分当时，原不等式可化为解得：，不等式解为4分综上，原不等式解集为5分（2）令为使对一切实数都成立必须有6分 8分解得： 10分青岛市高三统一质量检测 数学（理科）试题 第13页（共13页）
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