Matlab在概率统计中的应用.ppt

在概率统计中的应用,MATLAB,一、统计量的数字特征,1平均值,MATLAB中mean(x)命令函数计算数据x的平均值,调用格式为,mean(x)或mean(x,dim),维数dim取值1,2,例如,x=171;280;390;410;520;630;,mean(x)ans=3.50005.00000.1667,mean(x,2)ans=3.00003.33334.00001.66672.33333.0000,2方差和标准差,随机变量x的方差为,标准差,样本方差为,MATLAB的方差函数为Var,调用格式为,var(x),对于向量x，得到x的方差值；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的方差值。,var(x,1),得到向量（或矩阵）x的简单方差，即前置因子为1/n的方差,var(x,w),得到向量（或矩阵）x以w为权的方差,例如,var(x)ans=3.500011.60000.1667,var(x,1)ans=2.91679.66670.1389,w=0.06670.16670.23330.30000.03330.2000var(x,w)ans=2.222511.38190.0623,样本标准差,MATLAB的标准差函数为std,调用格式,std(x),对向量x，得到x的样本标准差（前置因子为1/n-1）；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的标准差,std(x,1),得到向量（或矩阵）x的样本标准差（前置因子为1/n）,std(x,flag,dim),得到向量（或矩阵）中以dim为维数的标准差。其中flag=0时，前置因子为1/n-1，否则前置因子为1/n,例如,std(x)ans=1.87083.40590.4082,std(x,1)ans=1.70783.10910.3727,std(x,0,1)ans=1.87083.40590.4082,std(x,0,2)ans=3.46414.16334.58262.08172.51663.0000,3协方差和相关系数,二维随机变量(X,Y)的协方差为,相关系数为,MATLAB中，协方差和相关系数函数cov和coffcoef实现,协方差,调用格式,cov(x),当x是向量时，返回此向量的协方差；当x是矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量。由Cov(x)的对角元素为构成的向量是x的各列的方差所构成的向量，是标准差向量,cov(x，y),返回向量x、y的协方差矩阵,cov(x)或cov(x，0),返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n-1,cov(x，1),返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n,cov(x，y)，cov(x，y，1)的区别同上,相关系数,corrcoef(x),返回矩阵相关系数矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量,corrcoef(x，y)返回向量x、y的相关系数,例如,X=12345;1112357;24690;36979;109754;,cov(X)ans=22.300017.9500-1.5500-3.50003.500017.950015.8000-0.4500-1.75004.7500-1.5500-0.45006.80002.75001.2500-3.5000-1.75002.75004.0000-3.00003.50004.75001.2500-3.000011.5000,corrcoef(X)ans=1.00000.9563-0.1259-0.37060.21860.95631.0000-0.0434-0.22010.3524-0.1259-0.04341.00000.52730.1414-0.3706-0.22010.52731.0000-0.44230.21860.35240.1414-0.44231.0000,x=1,5,7,9,1,6;y=1,2,1,5,2,1;,cov(x,y,1)ans=8.80562.16672.16672.0000,corrcoef(x,y)ans=1.00000.51630.51631.0000,二、参数估计,当总体分布的数学形式已知，且可以用有限个参数表示时，我们可以利用样本对参数进行估计，这便是参数估计,参数估计一般可分为点估计和区间估计,参数估计的方法：矩估计、最小二乘法和极大似然估计,1二项分布的参数估计,MATLAB中由命令函数binofit来实现,调用格式,p,pci=Binofit(x,N,alpha),其中p为参数，pci为p的区间的端点，置信度为1-alpha,x=6,8,9,4,6,7,9,3,7,5p,pci=binofit(x,10),p=0.60000.80000.90000.40000.60000.70000.90000.30000.70000.5000pci=0.26240.44390.55500.12160.26240.34750.55500.06670.34750.18710.87840.97480.99750.73760.87840.93330.99750.65250.93330.8129,2正态分布的参数估计,MATLAB中由命令函数normfit来实现,调用格式,m,s,mci,sci=normfit(x,alpha),例如,m,s,mci,sci=normfit(x)m=6.4000s=2.0111mci=4.96147.8386sci=1.38333.6714,3指数分布的参数估计,MATLAB中由命令函数expfit来实现,调用格式,mu,mci=expfit(x,alpha),x=0.15864.54071.54842.23690.35670.84222.431112.36830.60992.51211.50480.72310.25240.94095.3809,mu,mci=expfit(x,0.01)mu=2.4271mci=1.11544.3423,例如,4泊松分布的参数估计,MATLAB中由命令函数poissfit来实现,调用格式,Lamd,Lci=poissfit(x,alpha),三、假设检验,假设检验是统计推断的基本问题之一。在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不只参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设,假设检验首先提出假设H0，然后检验这组数据是否支持这个假设。根据这组数据计算检验统计量以及显著性概率（p值）。如果p值很小，则所提出的假设是非常可疑的，并提供否定这个假设的证据。伴随假设H0，总能写出备择假设H1，备择假设也称对立假设,1已知时的检验（z检验）,MATLAB中的z检验由命令函数ztest来实现,调用格式,H,p,ci,zval=ztest(x,m,s,a,t),说明,x是样本值，m是平均值的评判标准，s是已知的标准差，alpha是显著水平，默认值为0.05，t为备择假设选项，只有三个值0，1和1，其中t=0表示“期望值不等于m”,t=1表示“期望值大于m”,t=1表示“期望值小于m”，t的默认值为0。,H=0表示“在显著性水平a的情况下，不能拒绝原假设”。H=1表示“在显著性水平a的情况下，可以拒绝原假设”。P为显著性概率；ci表示置信水平为1a的置信区间。zval是检验统计量。,例如某糖厂用自动包装机将糖果装箱，已知规定每箱的标准重量为100公斤。设每箱重服从正态分布。由以往经验知重量的均方差为0.9公斤。某天开工后检验包装机是否正常，随机抽取该包装机所包装的9箱，称得净重为（公斤）99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，105.1，102.6，100.5。取a=0.05，问机器是否正常？,解可设=0.9，xN（,0.92)，提出假设H0=0=100H1100,x=99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,105.1,102.6,100.5,h,p,ci,t=ztest(x,100,0.9,0.05,0),h=1p=0.0289ci=100.0676101.2435t=2.1852,因此拒绝原假设H0，即自动包装机工作是不正常的,2未知时的检验（t检验）,MATLAB中的t检验由命令函数ttest来实现,调用格式,H,p,ci,tval=ttest(x,m,a,t),例如某电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，均未知。测得16只元件的寿命为159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为电子元件的平均寿命大于225（小时）？,解H00=225H1225,x=159280101212224379179264222362168250149260485170；,h,p,ci,t=ttest(x,225,0.05,1)h=0p=0.2570ci=198.2321Inft=tstat:0.6685检验统计量df:15自由度（n-1）,因此不能拒绝原假设，即可以认为电子元件的平均寿命不大于225小时,3两个正态总体均值差的检验（t检验）,MATLAB中的由命令函数ttest2来实现,调用格式,H,p,ci,zval=ttest2(x,y,a,t),例如在漂白工艺中要考察温度对针制品断裂强力的影响，在70与80下分别作了7次和9次测试，其测试数据如下（单位：公斤）,根据以往经验知两种温度下的断裂强力都服从正态分布，其方差相等且相互独立。试问两种温度下的平均断裂强力有无显著变化？,解H01=2H112,x=20.518.820.921.519.521.621.8；,y=17.719.220.32018.61919.12018.1；,h,p,ci,t=ttest2(x,y,0.05,0)h=1p=0.0085ci=0.46262.6294t=tstat:3.0606df:14,四、回归分析,回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法，即利用统计数据来寻求变量之间关系近似表达式（经验公式），并利用所得公式进行统计描述、分析和推断，以解决预测、优化和控制问题。,线性回归的变量之间的关系为,根据观测数据确定回归系数,MATLAB中提供了多元线性回归函数regress,调用格式,b=regress(y,x,a),b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,a),y为观察得到的随机变量，x为自变量矩阵。若回归系数中包含常数，则x的第一列应全部为1，y与x的行数相等，x的列数等于回归系数的个数。a为输出各种置信区间用的显著性水平。,输出结果有5项：,b是参数的点估计；bint为参数的区间估计；r为残差的点估计；rint为残差的区间估计，当点估计落在区间估计之外时，拒绝无效假设；,stats中包含三个项:,R2是回归方程的相关系数R的平方;F是回归方程的F统计量，;P是拒绝无效假设的概率（显著性概率），当PF0.05(1,15)，P远远小于a=0.05，说明回归方程的线性效果显著。,预测,首先计算1981到1985年我国国民收入。,x1=3372*(1,1,1,1,1*1.045).1,2,3,4,5)x1=3523.73682.33848.04021.24202.1,利用回归方程可以得到相应各年的钢材消费量的预测值,y1=-460.5282+0.9840*x1y1=3006.83162.93325.93496.33674.4,