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第六章线性系统频率法校正,6.1系统的设计与校正问题6.2常用校正装置及其特性6.3串联校正,6.1系统的设计与校正问题,当被控对象给定后,按照被控对象的工作条件,被控信号应具有的最大速度和加速度要求等,可以初步选定执行元件的型式、特性和参数.然后,根据测量精度、抗扰能力、被测信号的物理性质、测量过程中的惯性及非线性度等因素,选择合适的测量元件.在此基础上,设计增益可调的前置放大器和功率放大器.这些初步选定的元件以及被控对象构成系统中的不可变部分.,设计控制系统的目的,是将构成控制系统的各元件和被控对象组合起来,使之满足表征控制精度、阻尼程度和响应速度的性能指标要求.如果通过调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标,就需要在系统中增加一些参数及特性可按需要改变的校正装置,使系统性能全面满足设计要求.这就是控制系统设计中的校正问题.,6.1.1性能指标,不同的控制系统,对性能指标的要求应有不同的侧重.,性能指标的提出,应符合实际系统的需要与可能.,在控制系统设计中,采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定,一般有根轨迹法和频率法两种.目前,工程技术界多习惯采用频率法,故通常通过近似公式进行两种指标的互换.,二阶系统频域指标与时域指标的关系,高阶系统频域指标与时域指标的关系,6.1.2系统带宽的选择,无论采用哪种校正方式,都要求校正后的系统既能以所需精度跟踪输入信号,又能抑制噪声扰动信号.显然,为了使系统能够准确复现输入信号,要求系统具有较大的带宽;然而,从抑制噪声的角度来看,又不希望带宽过大.因此在系统设计时,必须选择切合实际的系统带宽.,具体选择系统带宽时,应从以下两个方面来考虑:,一个设计良好的实际运行系统,其相角裕度通常具有450左右的数值.要实现450左右的相角裕度要求,开环对数幅频特性在中频区的斜率应为-20dB/dec,同时要求中频区占据一定的频率范围,以保证在系统参数变化时,相角裕度变化不大.过此中频区后,要求系统幅频特性迅速衰减,以削弱噪声对系统的影响.这是选择系统带宽应该考虑的一个方面.,另一方面,进入系统输入端的信号既有输入信号r(t),又有噪声信号n(t).如果输入信号的带宽为0M,噪声信号集中起作用的频带为1n,则控制系统的带宽频率通常取为,且使1n处于(0b)之外,如图6-1所示.,(6-11),6.1.3校正方式,按照校正装置在系统中的连接方式,控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种.,串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前,串接于系统前向通道之中;反馈校正装置接在系统局部反馈通道之中.串联校正与反馈校正连接方式如图6-2所示.,前馈校正又称顺馈校正,是在系统主反馈回路之外采用的校正方式.前馈校正装置接在系统给定值(或指令、参考输入信号)之后,主反馈作用点之前的前向通道上,如图6-3(a)所示;另一种前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间,对扰动信号进行直接或间接测量,并经变换后接入系统,形成一条附加的对扰动影响进行曲补偿的通道,如图6-3(b)所示.,复合校正方式是在反馈控制回路中,加入前馈校正通路组成一个有机整体,如图6-4所示.其中(a)为按扰动补偿的复合控制形式,(b)为按输入补偿的复合控制形式.,一般说来,串联校正设计比反馈校正设计简单,也比较容易对信号进行各种必要形式的变换.串联校正装置又分无源和有源两类.在有源串联校正装置中,经常采用PID控制器.,在实际控制系统中,还广泛采用反馈校正装置.一般来说,反馈校正所需元件数比串联校正少,且一般无需附加放大器,还可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响.,在性能指标要求较高的控制系统设计中,常常兼用串联校正与反馈校正两种方式.,6.2常用校正装置及其特性,本节集中介绍常用无源及有源校正网络的电路形式、传递函数、对数频率特性及零、极点分布图.本节还将对PID控制器的一般结构及原理电路进行简要介绍.,无源校正网络,无源超前网络电路图及其零、极点分布如图6-12所示.,式中,通常,称为分度系数,T叫做时间常数.由式(6-18)可见,采用无源超前网络进行串联校正时,整个系统的开环增益要下降倍,因此需要提高放大器增益加以补偿.,对数频率特性如图6-13(a)所示.最大超前角频率m处于频率1/T和1/T的几何中心.,26,42,与m及10lg的关系曲线如图6-13(b)所示.,无源迟后网络电路图如图6-14(a)所示.,式中,通常,b称为迟后网络的分度系数,表示迟后深度.,对数频率特性如图6-14(b)所示.最大迟后角m发生在最大迟后角频率m处,且正好是1/T与1/bT的几何中心.计算m及m的公式分别为,采用无源迟后网络进行串联校正时,主要是利用其高频幅值衰减的特性,以降低系统的开环截止频率,提高系统的相角裕度.因此,力求避免最大迟后角发生在已校正系统开环截止频率附近.选择迟后网络参数时,通常使网络的交接频率1/bT远小于,一般取,(6-26),(6-24),(6-25),b与和的关系曲线如图6-15所示.考虑到使用方便图曲线画在对数坐标上.,无源迟后-超前网络电路图如图6-16(a)所示.其传递函数为,式中,(6-28),其中,等式右边的前半部分为网络的迟后部分,后半部分为网络的超前部分.无源迟后-超前网络的对数幅频渐近特性如图6-16(b)所示,其低频部分和高频部分均起始于零分贝线.由图可见,只要确定a、b和,或者确定Ta、Tb和三个独立变量,图6-16(b)的形状即可确定.,比较式(6-28)及(6-29),可得,设,其中1,则有,6.3串联校正,如果系统设计要求满足的性能指标属频域特征量,则通常采用频域校正方法.本节介绍在开环系统对数频率特性基础上,以满足稳态误差、开环系统截止频率和相角裕度等要求为出发点,进行串联校正的方法.,6.3.1频率响应法校正设计,在线性控制系统中,常用的校正装置设计方法有分析法和综合法两种.,分析法又称试探法.它要求设计者有一定的工程设计经验,设计过程带有试探性.以前工程技术界大多采用分析法.,综合法又称期望特性法.它根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状,然后与系统原有开环特性相比较,从而确定校正方式、校正装置的形式和参数.,不论是分析法还是综合法,其设计过程一般仅适用于最小相位系统,在频域内进行系统设计,是一种间接设计方法,又是一种简便的方法.这是由于开环系统的频率特性与闭环系统的时间响应有关.一般的说,开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能;开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能;开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声的抑制性能.,因此,用频域法设计控制系统的实质,就是在系统中加入频率特性形状合适的校正装置,使开环系统频率特性形状变成所期望的形状:低频段增益充分大,以保证稳态误差要求;中频段对数幅频特性斜率一般为-20dB/dec,并占据充分宽的频带,以保证具备适当的相角裕度;高频段增益尽快减小,以削弱噪声影响.若系统原有部分高频段已符合这种要求,则校正时可保持高频段形状不变,以简化校正装置的形式.,6.3.2串联超前校正,利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理,是利用超前网络或PD控制器的相角超前特性.只要正确地将超前网络的交接频率1/T和1/T选在待校正系统截止频率的两旁,并适当选择参数和T,就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求,从而改善闭环系统的动态性能.闭环系统的稳态性能要求,可通过选择已校正系统的开环增益来保证.,用频域法设计无源超前网络的步骤如下:,根据稳态误差要求,确定开环增益K;,利用已确定的开环增益,计算未校正系统的相角裕度;,根据截止频率的要求,计算超前网络参数和T;,本步骤的关键,是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率,即,以保证系统的响应速度,并充分利用网络的相角,验算已校正系统的相角裕度;,验算时,由已知值查图6-13(b),或由式(6-21)求得m值,再由已知的算出未校正系统在时的相角裕度.如果未校正系统为非最小相位系统,则由作图法确定.最后,按下式算出,(6-34),如果不满足指标要求,可使值增大,再重复以上步骤.,例6-3设控制系统如图6-22所示.若要求系统在单位斜坡输入信号作用时,位置输出稳态误差,开环系统截止频率(rad/s),相角裕度,幅值裕度.试设计串联无源超前网络.,解：设计时,首先调整开环增益.因为,故取K=10,则未校正系统开环传递函数为,上式代表最小相位系统,因此只需画出其对数幅频渐近特性,如图6-23中所示.由图得未校正系统的算出未校正系统的相角裕度,为了补偿无源超前网络产生的增益衰减,放大器的增益需提高4倍,否则不能保证稳态误差要求.,下面计算超前网络参数.试选,由图6-23查得,于是算得,因此,超前网络传递函数为,超前网络参数确定后,已校正系统的开环传递函数为,其对数幅频特性如图6-23中所示.显然,已校正系统,算得未校正系统的,而由式(6-21)算出的,故已校正系统的相角裕度,串联超前校正受以下两个因素的限制,闭环带宽要求.若未校正系统不稳定,为了得到规定的相角裕度,需要超前网络提供很大的相角超前量.这样,超前网络的值必须选得很大,从而造成已校正系统带宽过大,使得通过系统的高频噪声电平很高,很可能使系统失控.,在截止频率附近相角迅速减小的未校正系统,一般不宜采用串联超前校正.因为随着截止频率的增大,未校正系统的相角迅速减小,使已校正系统的相角裕度改善不大,很难得到足够的相角超前量.产生这种相角迅速减小的原因是:在未校正系统截止频率的附近,有两个交接频率彼此靠近的惯性环节;或有两个交接频率彼此相等的惯性环节;或有一个振荡环节.,6.3.3串联迟后校正,利用迟后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理,是利用迟后网络或PI控制器的高频幅值衰减特性,使已校正系统截止频率下降,从而使系统获得足够的相角裕度.因此,迟后网络的最大迟后角应力求避免发生在系统截止频率附近.在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下,可考虑采用串联迟后校正.此外,如果未校正系统已具备满意的动态性能,仅稳态性能不满足要求,也可以采用串联迟后校正,以提高系统的稳态精度,同时保持其动态性能基本不变.,如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统,则应用频域法设计串联无源迟后网络的步骤如下:,根据稳态误差要求,确定开环增益K;,利用已确定的开环增益,画出未校正系统的对数频率特性,确定未校正系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度h(dB);,根据下述关系式确定迟后网络参数b和T,选择不同的,计算或查出不同的值,在Bode图上绘制曲线;,根据相角裕度要求,选择已校正系统的截止频率;,式中,是指标要求值,在确定前可取为-60,于是,根据式(6-35)的计算结果在曲线上可查出相应的值.,式(6-36)要求迟后网络的衰减量20lgb在数值上等于未校正系统在新截止频率上的对数幅频值,该值在未校正系统对数幅频曲线上可以查出,该式可算出b值.,(6-36),(6-37),验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度.,由已算出的b值再根据式(6-37)即可算出迟后网络的T值.如果T值过大难以实现,则可将式(6-37)中的系数0.1适当加大,例如在0.10.25范围内选取,而的估计值相应在-60-140范围内确定.,例6-4设控制系统如图6-24所示.若要求校正后系统的静态速度误差系数等于30(s-1),相角裕度不低于400,幅值裕度不小于10dB,截止频率不小于2.3(rad/s),试设计串联校正装置.,故未校正系统开环传递函数应取,解:首先确定开环增益K,由于,然后画出未校正系统的对数幅频渐近特性,如图6-25所示.由图得,再算出,现在作如下计算:,并将曲线绘制在图6-25中.根据要求和估值,按式(6-35)求得.,于是,由曲线查得.由于指标要求,故值可在2.32.7范围内任取.考虑到取值较大时,已校正系统响应速度较快,且迟后网络时间常数T值较小,便于实现,故选取.,然后,在图6-25上查出当时,有,故可由式(6-36)求出b=0.09,再由式(6-37)算出T=41(s).则迟后网络的传递函数,校正网络的和已校正系统的已绘于图6-25之中.,采用串联迟后校正,既能提高系统稳态精度,又基本不改变系统动态性能.以图6-25为例,如果将已校正系统对数幅频特性向上平移21dB,则校正前后的相角裕度和截止频率基本相同,但开环增益却增大11倍.,串联迟后校正与串联超前校正两种方法,在完成系统校正任务方面是相同的,但有以下不同之处:,超前校正是利用超前网络的相角超前特性,而迟后校正则是利用迟后网络的高频幅值衰减特性;,最后校验相角裕度和幅值裕度.由式(6-27)及b=0.09算得,于是求出,满足指标要求.然后用试算法可得已校正系统对数相频特性为-1800时的频率为6.8(rad/s),求出已校正系统的幅值裕度为10.5dB,完全符合要求.,为了满足严格的稳态性能要求,当采用无源网络校正时,超前校正要求一定的附加增益,而迟后校正一般不需要附加增益;,对于同一系统,采用超前校正的系统带宽大于采用迟后校正的系统带宽.从提高系统响应速度的观点来看,希望系统带宽越大越好;与此同时,带宽越大则系统越易受噪声干扰的影响.因此如果系统输入端噪声电平较高,一般不宜选用超前校正.,注意:有时采用迟后校正可能会得出时间常数大到不能实现的结果.产生这种情况的原因,是由于需要在足够小的频率值上安置第一个交接频率1/T,以保证在需要的频率范围内产生有效的高频幅值衰减特性所致.在这种情况下,最好采用串联迟后-超前校正.,6.3.4串联迟后-超前校正,这种校正方法兼有迟后校正和超前校正的优点,即已校正系统响应速度较快,超调量较小,抑制高频噪声的性能也较好.当未校正系统不稳定,且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时,以采用串联迟后-超前校正为宜.其基本原理是利用迟后-超前网络的超前部分来增大系统的相角裕度,同时利用迟后部分来改善系统的稳态性能.,根据稳态性能要求确定开环增益K;,在未校正系统对数幅频特性上,选择斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率b;,绘制未校正系统的对数幅频特性,求出未校正系统的截止频率、相角裕度及幅值裕度h(dB);,串联迟后-超前校正的设计步骤如下:,b的这种选法,可以降低已校正系统的阶次,且可保证中频区斜率为期望的-20dB/dec,并占据较宽的频带.,根据相角裕度要求,估算校正网络迟后部分的交接频率a;,校验已校正系统的各项性能指标.,根据响应速度要求,选择系统的截止频率和校正网络衰减因子1/;,式中,可由未校正系统对数幅频特性的-20dB/dec延长线在处的数值确定.因此,由式(6-38)可以求出值.,要求设计校正装置,使系统满足下列性能指标:,在最大指令速度为180(0)/s时,位置迟后误差不超过10;,幅值裕度不低于10dB;,过渡过程调节时间不超过3(s).,作未校正系统对数幅频渐近特性,如图6-26所示.,例6-5设未校正系统开环传递函数为,相角裕度为;,解:首先确定开环增益.由题意,取,图中,最低频段为-20dB/dec斜率直线,其延长线交轴于180(rad/s),该值即Kv的数值.由图得未校正系统截止频率,算出未校正系统的相角裕度,幅值裕度h=-30(dB),表明未校正系统不稳定.,60,58,为了利用迟后-超前网络的超前部分微分段的特性,研究图6-26可以发现,可取,于是未校正系统对数幅频特性在区间,其斜率均为-20dB/dec.,根据和的指标要求,算得,考虑到要求中频区斜率为-20dB/dec,故应在3.26范围内选取.由于-20dB/dec的中频区应占据一定宽度,故选,相应的.由式(6-38)可算出.此时,迟后-超前校正网络的频率特性可写为,相应的已校正系统的频率特性为,根据上式,利用相角裕度指标要求,可以确定校正网络参数a.已校正系统的相角裕度,考虑到,故可取.因为要求,所以上式可简化为,从而求得.这样,已校正系统-20dB/dec斜率的中频区宽度H=6-0.78=5.22,与中频区宽度近似关系式,相近.,其对数幅频特性和已分别表示在图6-26之中.,于是,校正网络和已校正系统的传递函数分别为,最后,用计算的方法验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度指标,求得,完全满足要求.,
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