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线性代数,数学与信息学院柏钦玺baiqinxi98,第4章矩阵的特征值,工程技术中的一些问题如振动问题和稳定性问题以及一些离散的动态系统问题（可以参阅4.5）可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论与矩阵之间的等价关系类似，我们要讨论了矩阵之间的相似关系以及把一个方阵化为对角阵的问题,4.1向量的内积、长度及正交性4.2方阵的特征值与特征向量4.3相似矩阵4.4实对称矩阵的对角化第4章习题课,第4章矩阵的特征值,4.2方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的性质,线性变换,线性变换,P37:,提示：,定义设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量x使Axx那么数称为方阵A的特征值非零列向量x称为方阵A的对应于特征值的特征向量,Axx(AE)x0齐次线性方程组(AE)x0有非零解|AE|0,一、特征值与特征向量的概念,注(1)特征向量x0,特征值问题是针对方阵而言的.(2)由Axx知,A作用非零向量x后xx,即x变为原来的倍.,伸缩变换y=Ax，对向量x的伸缩量就是A的特征值。,特征值的求法|AE|0的根，就是方阵A的特征值.,特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的特征多项式称|AE|0为方阵A的特征方程,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次线性方程组(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量,提示：,Axx(AE)x0齐次线性方程组(AE)x0有非零解|AE|0,特征值的求法|AE|0的根，就是方阵A的特征值.,特征值与特征向量的求解步骤设A为n阶方阵(1)|AE|0=A的特征值i.,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次线性方程组(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量,(2)(AiE)x0=非零解x=pi就是A的对应于特征值i的特征向量.,特征值的求法|AE|0的根，就是方阵A的特征值.,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次线性方程组(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量,特征值的求法|EA|0的根，就是方阵A的特征值.,|EA|,|AE|,(1)n,设A为n阶方阵,例4.2.1求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12231,得基础解系p1(001)T,对于12解方程(A2E)x0即,所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12231,得基础解系p2(121)T,得基础解系p1(001)T,对于12解方程(A2E)x0,所以k1p1(k10)是对应于12的全部特征向量,对于231解方程(AE)x0,所以k2p2(k20)是对应于231的全部特征向量,例4.2.1求矩阵的特征值和特征向量,例4.2.2求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为11232,得基础解系,得基础解系p1(101)T,对于11解方程(AE)x0,所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0),对于232解方程(A2E)x0,所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0),p2(011)Tp3(104)T,性质4.2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，自然有相同的特征值.,三、特征值与特征向量的性质,性质4.2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n|A|,证|ATE|,=|AE|.,=|(AE)T|,=|AT(E)T|,性质4.2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，自然有相同的特征值.证|ATE|=|AT(E)T|=|(AE)T|=|AE|.,三、特征值与特征向量的性质,性质4.2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n|A|,注:A的所有特征值的和,称为A的迹,记作tr(A).,(2008,数学2）设3阶矩阵A的特征值为,2,3,若|2A|=48，则=_.,三、特征值与特征向量的性质,性质4.2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n|A|,注:A的所有特征值的和,称为A的迹,记作tr(A).,例4.2.3方阵A是奇异矩阵方阵A至少有一个特征值是0.,方阵A是可逆矩阵方阵A没有0特征值.,0|A|,|A0E|,1,例4.2.4设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值(2)k+l是kA+lE的特征值,其中k,l为实数(3)若A可逆,则1是A1的特征值,证,因为是A的特征值,故有p0,使App,于是,(1)A2p,2p,(Ap),A(p),A(Ap),所以2是A2的特征值,且p是A2的对应于特征值2的特征向量,因为p0知0,有pA1p,由App,(3)当A可逆时,(2)(kA+lE)p,kAp+lEp,所以k+l是kA+lE的特征值,且p是kA+lE的对应于特征值k+l的特征向量,kp+lp,(k+l)p,有A1p1p,所以1是A1的特征值,且p是A1的对应于特征值1的特征向量,例4.2.4设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值(2)k+l是kA+lE的特征值,其中k,l为实数(3)若A可逆,则1是A1的特征值,按上面的结果类推不难证明若是方阵A的特征值则k是Ak的特征值()是(A)的特征值;其中(A)a0Ea1AamAm是方阵A的多项式()a0a1amm是的多项式,(4)k是Ak的特征值(5)()是(A)的特征值;其中(A)a0Ea1AamAm是方阵A的多项式()a0a1amm是的多项式,性质4.2.3设是方阵A的特征值则(1)2是A2的特征值(2)k+l是kA+lE的特征值,其中k,l为实数(3)若A可逆,则1是A1的特征值,三、特征值与特征向量的性质,(2008,数学2）设3阶矩阵A的特征值为,2,3,若|2A|=48，则=_.,例4.2.5设3阶矩阵A的特征值为112求|3A2E|,解,记(A)=3A2E,故(A)的特征值为,有()=32,(1)312=1,20,1(5)4,于是|3A2E|,若是A的特征值则k是Ak的特征值()是(A)的特征值(其中()是的多项式(A)是方阵A的多项式),(2)322=4,(1)3(1)2=5,性质4.2.4设12m是方阵A的m个不同特征值p1p2pm依次是与之对应的特征向量则p1p2pm线性无关,即方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关,三、特征值与特征向量的性质,例4.2.6设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为a1和a2证明a1a2不是A的特征向量,用反证法假设a1a2是A的特征向量则应存在数使A(a1a2)(a1a2)于是,证,按题设有Aa11a1Aa22a2故,Aa1Aa21a12a2,即(1)a1(2)a20,(a1a2)1a12a2,因此a1a2不是A的特征向量,与题设矛盾,即12,120,故由上式得,则a1a2线性无关,因为12,注:可以证明k1a1k2a2(k1k20)不是A的特征向量.,A(a1a2),例4.2.6设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为a1和a2证明a1a2不是A的特征向量,注:可以证明k1a1k2a2(k1k20)不是A的特征向量.,a1,a2,k1a1,k2a2,k1a1k2a2(k1k20),2011,数学1,2,3,2011,数学1,2,3,特征值与特征向量的定义设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量x使成立Axx那么数称为方阵A的特征值非零向量x称为方阵A的对应于特征值的特征向量,小结,特征值与特征向量的求法设A为n阶方阵(1)|AE|0=A的特征值i.,(2)(AiE)x0=非零解x=pi就是A的对应于特征值i的特征向量.,性质1.1设n阶矩阵A与AT有相同的特征值.,性质1.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n|A|,特征值与特征向量的性质,小结,性质1.3设是方阵A的特征值则(1)2是A2的特征值(2)k+l是kA+lE的特征值,其中k,l为实数(3)若A可逆,则1是A1的特征值,(4)()=a0a1amm是(A)a0Ea1AamAm的特征值;,性质1.4,方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关,思考题设A是n阶方阵,|A|=2,B=AA*,求B的特征值与特征向量P123:4,9,作业P123:5(1),6,10,
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