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第二节函数的定义域和值域,2.偶次根式函数被开方式.,3.一次函数、二次函数的定义域均为.,一、常见基本初等函数的定义域.1.分式函数中分母.,不等于零,大于或等于0,R,4.yax，ysinx，ycosx，定义域均为.,5.ytanx的定义域为.,6.函数f(x)x0的定义域为.,7.实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.,R,x|xk，kZ,x|x0,二、基本初等函数的值域1.ykxb(k0)的值域是.,2.yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是.,5.ylogax(a0且a1)的值域是.,6.ysinx，ycosx的值域是.,7.ytanx的值域是.,y|y0,R,R,1,1,函数的最值与值域有何联系？,提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.,1.下列函数中，与函数y有相同定义域的是()A.f(x)lnxB.f(x)C.f(x)|x|D.f(x)ex,解析：y定义域为(0，)，f(x)lnx定义域为(0，).f(x)定义域为x|x0.f(x)|x|定义域为R.f(x)ex定义域为R.,答案：A,2.函数y的值域为()A.RB.y|yC.y|yD.y|0y,解析：x222，00y.,答案：D,3.下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的图象是(),解析：由题意知，自变量的取值范围是0,1，函数值的取值范围也是0,1，故可排除A、B；再结合函数的性质，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.,答案：C,4.为实数，则函数yx23x5的值域是.,解析：由已知可得x0，则当x0时，ymin5，y5.,答案：5，),5.函数f(x)lg(3x1)的定义域是.,解析：要使函数有意义，自变量x必须满足得解得x1.即函数的值域为(，1).,答案：(，1),1.求函数定义域的步骤对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数yf(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义.,2.抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系，进而求解，如已知函数yf(x)的定义域为a，b，求yf(x2)的定义域，其实质是求ax2b中x的范围，即其定义域为a2，b2.反之，若yf(x2)的定义域为a，b，求f(x)的定义域，则应求x2的范围，即axb，a2x2b2，即f(x)的定义域为a2，b2，即f(x)与f(x2)中的x含义不同.,(1)求函数f(x)的定义域；(2)已知f(x)的定义域是2,4，求f(x23x)的定义域.,(1)只给出解析式求定义域：只需要使解析式的意义，列不等式组求解.（2）抽象函数定义域：看清X2-3x与f(x)中的x含义相同,【解】(1)要使函数有意义，则只需要：解得3x0或2x3.故函数的定义域是(3,0)(2,3).,即,(2)依题意，只需2x23x4，解得1x1或2x4.故f(x23x)的定义域是1,12,4.,即即,1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(1)的定义域是，求f(x)的定义域.,解：(1)由(2x4)0知2x40，即x2，又由|x|30知x3.所以函数定义域为x|xR且x2，x3.(2)x9，3，12，f(x)的定义域是,函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的.函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的.在函数的定义域受到限制时，一定要注意定义域对值域的影响.,1.数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键.2.配方法：求二次函数或可化为二次函数形式的函数的值域，可使用该方法.,3.换元法：对于形如yaxb(a，b，cR，ac0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域.4.单调性法：若函数在给定区间上是单调函数，可利用单调性求值域.,【注意】不论用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域.,求下列函数的值域，并指出函数有无最值.,（1）y=（2）y=（3）y=,（1）分离常数，（2）利用函数的单调性或基本不等式，（3）换元法.,【解】(1)y1，1x21，02，111，即y(1,1.函数有最大值为1，无最小值.,(2)法一：任取x1，x2(x1x20)，且x1x2，f(x1)f(x2)x1(x2)当x1x22或2x1x2时，f(x)递增；当2x1x20或0x1x20时，x24，当且仅当x2时“”成立；当x0时，x(x)4，当且仅当x2时“”成立.y(，44，)，函数无最值.,(3)法一：设函数有最大值，无最小值.,y=-t=(t+1)2+1(t0),法二：,定义域为,此函数有最大值为无最小值.,函数上均单调递增,y=x,y=-在,1-2x0,x,2.求下列函数的值域：(1)yx22x(x0,3)；(2)y(3)理yx文yx4,解：(1)y(x1)21，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是3,1.,故值域为,(3)理先考虑函数定义域，由1x20，得1x1，设xcos(0，)，则ysincossin()，易知当时，y最大值为，当时，y最小值为1，原函数的值域是1，.,文设t，则x1t2，原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)，y5，原函数值域为(，5.,已知二次函数f(x)ax2bx(a、b是常数，且a0)满足条件：f(2)0，且方程f(x)x有两个相等实根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m,2n？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由.,(1)由f(x)x有两个相等实根，则0；(2)求二次函数的值域，要注意二次函数的对称轴，再利用其单调性求最值.,【解】(1)方程f(x)x，即ax2bxx，亦即ax2(b1)x0，由方程有两个相等实根，得(b1)24a00，b1.由f(2)0，得4a2b0由、得，a，b1，故f(x)x2x.,(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，f(x)x2x(x1)2，则2n，即n.f(x)(x1)2的对称轴为x1，当n时，f(x)在m，n上为增函数.,于是有故存在实数m2，n0，使f(x)的定义域为m，n，值域为2m,2n.,3.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xx2.(1)求x0时，f(x)的解析式；(2)问是否存在这样的非负数a，b，当xa，b时，f(x)的值域为4a2,6b6？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由.,解：(1)设x0，于是f(x)xx2，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)xx2.,(2)假设存在这样的数a，b.a0，且f(x)xx2在x0时为增函数，xa，b时，f(x)f(a)，f(b)4a2,6b6，,考虑到为0ab,且4a-26b-6可得符合条件的a,b值分别为,对函数的定义域和值域的考查在高考中经常出现，定义域多以选择题和填空题出现，而值域多与函数性质结合命题，2009年江西卷单独考查函数定义域的求法是高考的热点.,(2009江西高考)函数y的定义域为()A.(4，1)B.(4,1)C.(1,1)D.(1,1,解析由解得1x1.,答案C,求函数定义域的题目看似简单，但却往往有一些易错“陷阱”，如求函数ylgx2的定义域时易得出错误答案为x|x1，将函数f(x)的定义域误写为x|1x3.,
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