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排列及应用,一、基础知识,1。排列的概念,从n个不同元素中，任取m(mn)个不同元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列。,（1）取出的m个元素互不相同，且m，nN*，mn（2）这个元素按一定顺序排成一列，即元素与位置有关，不同的顺序即为不同的排列。（3）相同的排列是指：元素相同且排列顺序相同。,注意：,n个元素全部取出排列叫做全排列,1到n的连续n个自然数的乘积叫做n的阶乘。记作n!,2.排列数的概念,从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数。记作,3。如何判断一个计数问题是否是排列问题？,看取出的元素之间是否有顺序，即看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题。,4。排列数公式,特点：是最大数为n，连续m个自然数的乘积。n!=123n,二、题型与方法,例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有种（用数字作答）,解：（元素分析法）因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有种方法，再安排其余5人，有种方法，故共有=2400种,(位置分析法）因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有种方法，再安排其余5天，有种方法，故共有=2400种,（间接法）安排7人在5月1日至5月7日值班，有种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有种。,题型1限定条件不超过两个的排列问题,不同的安排方法共有=2400种,在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。,(2).位置分析法,在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。,(3).间接法,又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。,(1).元素分析法,方法小结,题型2多个限定条件排列问题,例2已知集合M=a，b，c，N=1，0,-1,在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？,解：满足条件的映射有,所以满足条件的映射有7个,小结：树图法又称框图法，用数图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。,变式1甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不邻),例3（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。,解：先将9个球排成一排有种不同的方法，其中，2个红球有排法，3个黄球有排法，4个白球有排法，因同色球不加以区分，所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这9个球排成一列有=1260种。,题型3若干元素必须按照特定的顺序排列的问题。,（1）逐一插入法，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。,（2）优序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。,小结,（3）消序法，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。,变式练习3（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是。（用数字作答）,解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有种方法，再在这4项工程之间和两端的5个空档安排其余1项工程，有种方法，所以共有,（优序法）先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有种方法，所以共有种方法。,（消序法）先将丙丁看作1项工程，再将5项工程排成一排，有种方法，因甲、乙、丙（丁）3项工程顺序一定，故应消去这3项工程的顺序，这3项工程的排法有种，所以共有种。,例4（05辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有个。（用数字作答）,解：先将1与2、3与4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有种方法，再排1与2、3与4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有,题型4排列中的“相邻”与“不相邻”问题,（1）捆绑法，若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。,（2）插空法，若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。,小结,变式4三个女生和五个男生排成一排，如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？,例5（06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种。,解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有种方法；若不选甲，则必不选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有种方法，再将选出的4人分到4个地区，有方法，所以不同的选派方案共有种。,小结：（1）排列组合综合问题，应先取后排。（2）含“至多”、“至少”排列问题，应先分类法。,题型5排列组合综合问题,变式5（06辽宁）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员。现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛。则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种。(以数作答),解：由至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员知，应分为1名老队员2名新队员，2名老队员1名新队员两类，第一类，先从2名老队员选1人3名新队员选2人，再将这3人排成1、2、3号，有种方法。第二类，先从3名新队员选1人，再从1、2号中选1个安排新队员其余2个号安排老队员，有种方法。所以共有种方法。,例9（04全国）在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（）A.56B.57C.58D.60,解：（查字典法）首位为2的五位数第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2的五位数第二位为3第三位比1大的数有=4个；首位为2第二大于3的数有=12个；首位为3的数有个；首位为4第二位比3小的数有个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。,题型6数的大小排列问题,小结：查字典法，对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。,比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件（一般是对元素或者位置作某些限制）解题时，首先要对这些有限制条件的元素或位置作仔细分析，然后再考虑解法当直接计算比较复杂时，可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数，从而间接求出符合条件的排列的种数无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析，采用直接计算法还是间接计算法，要防止重复或遗漏,解排列应用题的基本思路基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空挡法，构造法等。,某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；,某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；,某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”。,有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优限法”；,2基本的解题方法：,1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：,小结：,1。（06北京）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个,练习,2。（06湖南）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()种。A.16种B.36种C.42种D.60种,
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