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第七节立体几何中的向量方法,1.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线(2)直线l的方向向量为,基础梳理,(3)平面的法向量为,2.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.范围:两异面直线所成角的取值范围是向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,a、b夹角为,则有(2)直线与平面所成的角定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.范围:直线和平面所成角的取值范围是.向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有,(3)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,在二面角的棱上任取一点O,以O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是0,.二面角的向量求法:()若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角(如图1).()设分别是二面角-l-的两个面、的法向量,则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图2、3).,典例分析,【例1】如图,已知直三棱柱中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且,D、E、F分别为的中点.求证：(1)DE平面ABC;(2)平面AEF.,题型一利用空间向量证明平行垂直问题,分析由题可知,题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何法，利用线面垂直、线面平行的判定定理来解决.,，,证明如图建立空间直角坐标系,令则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),(1)取AB中点N,连接NC,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),学后反思(1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行.可用传统法，也可用向量法，用向量法更为普遍.(2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明，也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.(3)证明面面垂直通常转化为证明线面垂直,也可用两平面的法向量垂直来证明.,举一反三1.如图，在正方体中，E、F、M分别为棱的中点.求证：,解析：（1）以D为原点，向量的方向分别为x轴，y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则令c=2,得m=(0,-1,2).,（2）设平面的法向量为n=(x,y,z)，则令y=2,则n=(0,2,1).mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0,mn,平面ADE平面.,题型二两条异面直线所成的角,【例2】长方体中,点,P在线段BC上,且CP=2,Q是的中点,求异面直线AM与PQ所成角的余弦值.,分析本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决.欲求异面直线所成的角，一般可以从公式入手，先求得所需向量，代入即可.,解如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为.,学后反思求异面直线所成角的主要方法:(1)定义法(平移法);(2)向量法:建系求相关向量的坐标通过向量坐标运算求角,有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.,举一反三2.在正三棱柱所成角的大小为.,解析:方法一：如图1，以A为原点，射线AC、分别为y轴、z轴，过A垂直于AC、的射线为x轴，建立空间直角坐标系，取=1，则,方法二：利用平移法作出异面直线所成的角.如图2，连接,方法三：如图3，取BC的中点D，连接由正三棱柱知，面ABC面BC，又ADBC,答案:90,题型三直线与平面所成的角,【例3】如图所示,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC=PA.点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB;(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.,分析（1）根据线面平行的判定定理.（2）几何法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解.,解方法一:(1)证明:O、D分别为AC、PC的中点,ODPA.又PA平面PAB且ODPAB,OD平面PAB.,(2)ABBC,OA=OC,OA=OB=OC.又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE,平面PBC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角.在RtOFD中,OD与平面PBC所成角的正弦值为.,方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设AB=a,则设OP=h,则P(0,0,h).,(1)证明:D为PC的中点,OD平面PAB.,设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则即,设OD与平面PBC所成的角为,学后反思几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行.在用向量法求直线OP与平面所成的角时一般有两种途径：直接求，其中为斜线OP在内的射影；通过求进而转化求解，其中n为平面的法向量，此时应注意OP与平面所成角与的关系，它们互为余角，注意最后完成转化.,举一反三,3.在正方体成角的正弦值.,解析：如图，建立以D为原点,DA,DC,分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1,平面的法向量n=(x,y,z),则与平面所成角的正弦值为.,题型四二面角【例4】如图,在长方体中,点E在棱AB上移动.(1)求证:(2)AE等于何值时,二面角的大小为?,分析(1)的求解方法有线面垂直的性质;二面角的逆用;三棱锥等积法.(2)可以用向量法.,解方法一:(1)AE平面又是正方形,(2)如图，过D作DHCE于H,设AE=x,则BE=2-x.,方法二:以D为坐标原点,直线DA,DC,D分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AE=x,则D(0,0,0),(1,0,1),(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).,(2)设平面EC的法向量n=(a,b,c),=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1),由令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2).依题意，得,学后反思确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角,此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.(4)向量法:求出两个平面的法向量的夹角,然后结合图形,求二面角的平面角.,举一反三4.（2009陕西改编）如图，在直三棱柱中，AB=1，ABC=60.（1）求证：AB;(2)求二面角A-B的余弦值.,解析：（1）三棱柱为直棱柱，在ABC中，AB=1,AC=,ABC=60,由正弦定理得ACB=30，BAC=90,即ABAC.如图，建立空间直角坐标系A-xyz,则,（2）如图,可取的法向量,设平面的法向量为n=(l,m,n),则,题型五利用空间向量求距离,【例5】(12分)如图，在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点，求点B到平面CMN的距离.,分析由面SAC面ABC,SA=SC,BA=BC,知本题可以取AC中点O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.,解取AC中点O,连接OS、OB1SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.2平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC,.3SOBO.4,如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz,.5.7设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,8则取z=1,则.10点B到平面CMN的距离.12,学后反思(1)本例求点到面的距离，采用了向量法,比几何法要简便得多，减少了运算量.(2)作辅助线证明垂直,创造条件建立空间直角坐标系，利用法向量是求点到面距离常用的方法.(3)关于异面直线、点面、线面、面面距离问题是高考考查的重点的内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.,举一反三5.如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，D、N分别是BC、AB的中点，求A到平面SND的距离.,解析：以A为原点，为y轴、z轴，过A垂直于的射线为x轴，建立如图空间直角坐标系，则设平面SND的法向量为n=(x,y,1),A到平面SND的距离为,【例】在正方体中，E是棱的中点，求截面与半平面ACD所成二面角的余弦值.,易错警示,错解如图，建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1，则设n=(x,y,z)是平面EB1C的法向量，则令z=1得.,易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所求二面角的余弦值为.,错解分析通过建立空间直角坐标系，把二面角的平面角转化为法向量的夹角时，要注意平面的法向量有两种指向，必须结合图形确定法向量的夹角与所求二面角的平面角是相等的，还是互补的.本例中，如求截面与半平面ACB所成的二面角的大小就正确了.,正解接“错解”得到cosm,n=后，应指出,由于所求的二面角是钝角，因此其余弦值为-.,考点演练,10.如图,在棱长为1的正方体中,M和N分别是和的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为.,解析:以D为坐标原点,为z轴建立空间直角坐标系,答案:,11.（2010北京海淀区模拟）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，ACB=90，点在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=A.（1）求证：（2）求证：（3）求二面角的余弦值.,解析：（1）设BC的中点为M，连接，如图所示.在斜三棱柱中，点在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，平面ABC.AC平面ABC，AC.ACB=90,BCAC.BC=M,AC平面AC平面,（2）因为点在底面ABC上的射影是BC的中点，设BC的中点为O，则O垂直于平面ABC.以O为原点，过O平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，O所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.,(3)设平面的法向量为则设平面的法向量为,12.(2009莱芜模拟)如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,ACB=90,直线AM与直线SC所成的角为60.(1)求证:平面MAP平面SAC;(2)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值;(3)求AP和CM所成角的余弦值.,解析：(1)SC平面ABC,SCBC.又ACB=90,ACBC,且ACSC=C,BC平面SAC.又P、M是SC、SB的中点,PMBC,PM面SAC,面MAP面SAC.,(2)以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.过M作MDSC交BC于D，则MD平面ABC，PM=CD，且AMD为SC与AM所成的角，即AMD=60，在RtADM中，,设平面MAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),则由图知二面角M-AB-C为锐二面角,故二面角M-AB-C的平面角的余弦值为.,所以AP与CM所成角的余弦值为.,
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