资源描述
导数的应用,一、复习目标,了解可导函数的单调性与其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.,二、重点解析,对于可导函数f(x),先求出f(x),利用f(x)0(或0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为极值.,是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0),2.函数极值的定义,设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)0,右侧f(x)0.,f(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+),典型例题2,已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-,-2和2,+)上都是递增的,求a的取值范围.,解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3)f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),由题设得f(-2)0且f(2)0.,8+4a0且8-4a0.,-2a2.,故a的取值范围是-2,2.,典型例题3,解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+).,令f(x)=0得x=0.,当-10;,当x0时,f(x)0.,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值为0.,(2)由题设g(x)=lnx+1.,当0x0,F(x)在(a,+)上为增函数.,从而当x=a时,F(x)取极小值F(a)=0.,ba,F(b)0.,又设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G(x)=lnx-ln(a+x).,当x0时,G(x)a,G(a)=0,G(b)0.,F(b)(b-a)ln2.,典型例题4,设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(t,0),f(t)=0t3+at=0.,t0,a=-t2.,又函数g(x)的图象也过点P(t,0),g(t)=0bt2+c=0.,c=ab.,两函数的图象在点P处有相同的切线,f(t)=g(t).,而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,3t2+a=2bt.,将a=-t2代入上式得b=t.,c=ab=-t3.,综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.,(2)方法一,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).,当y=(3x+t)(x-t)0时,y=f(x)-g(x)为减函数.,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,(2)方法二,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=(3x+t)(x-t).,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0对于x(-1,3)恒成立.,则y|x=-10且y|x=30.,即(-3+t)(-1-t)0且(9+t)(3-t)0.,解得t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,典型例题5,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(1)解:函数f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当x=1时,f(x)取得极值-2,f(1)=-2且f(1)=0.,a+c=-2且3a+c=0.,a=1,c=-3.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-1x0得x1.,f(x)在(-,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在,(1,+)上是增函数.,当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2.,故函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是,(-,-1)和(1,+);,f(x)的极大值为2.,典型例题5,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(2)证:由(1)知f(x)=x3-3x在-1,1上是减函数,且f(x)在-1,1上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在-1,1上的最小值m=f(1)=-2,对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|0,u(x)是0,1上的增函数.,0ue.,f(u)=(u-1)2-4,g(x)在0,1上的值域是,-4,e2-2e-3.,(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(ex)上任两点,不妨x1x2.,解得a0.,x1-x20,f(x)=2x-2,故a的取值范围是(-,0).,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得,f(-1)=f(1)=0.,解得a=1,b=0.,3a-2b-3=0且3a+2b-3=0.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-10,故t的取值范围是5,+).,即f(x)在(-1,1)是增函数,课后练习3,已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(0,2),f(0)=2d=2.,f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.,f(x)图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,且f(-1)=6.,3-2b+c=6,且-1+b-c+2=1.,即2b-c=-3,且b-c=0.,b=c=-3.,f(x)=x3-3x2-3x+2.,(2)由(1)知f(x)=3x2-6x-3.,课后练习4,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-2,函数f(x)在x=-2,x=1处取得极值,12a-4b-2=0且3a+2b-2=0.,由f(x)0得-2b,点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,另解:当a=1时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在0,2上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,(2)证:x=2是方程f(x)=0的一个根,f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a.,又f(x)=-3x2+2ax,函数f(x)在0,2上是增函数,a3.,f(1)=-1+a+b=7-3a-2,即f(1)-2.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,(3)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x2,x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立.,a2-30.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,另解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,不妨x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x1-x2.,f(x1)-x1f(x2)-x2.,记g(x)=f(x)-x,则g(x1)g(x2).,g(x)为R上的减函数.,g(x)0即-3x2+2ax-10对xR恒成立.,a2-30.,
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