运筹学试题含答案.pdf

1 / 8 一、填空题：（每空格 2 分，共 16 分） 1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。 2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为 4，则说明 如果在该空格中增 加一个运量运费将增加 4 。 3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错 4、如果某一整数规划： MaxZ=X1+X2 X1+9/14X2 51/14 -2X1+X2 1/3 X1,X2 0 且均为整数 所对应的线性规划（松 弛问题）的最优解为 X1=3/2， X2=10/3， MaxZ=6/29，我们现在要对 X1进行分枝， 应该分为 X1 1 和 X1 2 。 5、在用逆向解法求动态规划时， fk(sk)的含义是： 从第 k 个阶段到第 n 个阶段的最优解 。 6. 假设某线性规划的可行解的集合为 D，而其所对应的整数规划的可行解集合为 B，那么 D 和 B 的关 系为 D 包含 B 7. 已知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“”型不等 式）其中 X3,X4,X5 为松驰变量。 XB b X1 X2 X3 X4 X5 X4 3 0 0 -2 1 3 X1 4/3 1 0 -1/3 0 2/3 X2 1 0 1 0 0 -1 Cj-Zj 0 0 -5 0 -23 问：（ 1）写出 B-1= 100 3/20.3/1 312 (2)对偶问题的最优解： Y（ 5， 0， 23， 0， 0） T 8. 线性规划问题如果 有无穷多最优 解，则单纯形计算表的终表中必然有 _某一个非基变量的检验数 为 0_； 9. 极大化的线性规划问题 为 无界解 时 ，则对偶 问题 _ 无解 _； 10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设 Xi=bi不符合整数要求， INT（ bi）是不超 过 bi的最大整数，则构造两个约束条件： Xi INT（ bi） 1 和 Xi INT（ bi） ，分别 将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。 11. 知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“”型不等式） 其中 X4,X5,X6 为松驰变量。 XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 2 1 1 0 2 0 1 X3 2/3 0 0 1 1 0 4 X5 1 0 -2 0 1 1 6 2 / 8 Cj-Zj 0 0 0 -4 0 -9 问： (1)对偶问题的最优解： Y (4,0,9,0,0,0)T （ 2）写出 B-1= 611 401 102 二、计算题（ 60 分） 1、 已知线性规划（ 20 分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2 5 2X1+4X2 12 3X1+2X2 8 X1,X2 0 其最优解为： 基变量 X1 X2 X3 X4 X5 X3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 j 0 0 0 -3/4 -1/2 1） 写出该线性规划的对偶问题。 2） 若 C2从 4 变成 5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3） 若 b2的量从 12 上升到 15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4） 如果增加一种产品 X6，其 P6=(2,3,1)T， C6=4 该产品是否应该投产？为什么？ 解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3 3 y1+4y2+2y3 4 y1,y2 0 2)当 C2从 4 变成 5 时， 4=-9/8 5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于 0 的，所以最优解不变。 3）当若 b2的量从 12 上升到 15 X 9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于 0 的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6 =(11/8,7/8， 1/4)T 3 / 8 6=3/80 所以对最优解有影响 ,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和 最小总费用。（共 15 分）。 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量 18 12 16 解：初始解为 计算检验数 由于 存在非基变量的检验数小于 0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于 0，所以得到最优解 B1 B2 B3 产量 /t A1 15 15 A2 11 11 A3 18 1 1 20 销量 /t 18 12 16 B1 B2 B3 产量 /t A1 5 13 0 15 A2 2 0 0 11 A3 0 0 0 20 销量 /t 18 12 16 B1 B2 B3 产量 /t A1 15 15 A2 11 11 A3 7 12 1 20 销量 /t 18 12 16 B1 B2 B3 产量 /t A1 5 13 0 15 A2 0 2 2 11 A3 0 0 0 20 销量 /t 18 12 16 4 / 8 3、某公司要把 4 个有关能源工程项目承包给 4 个互不相关的外商投标者，规定每个承包 商只能且必须 承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的 报价如表 2 所示： （ 15 分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为 50 4. 考虑如下线性规划问题（ 24 分） Max z=-5x1+5x2+13x3 s.t. -x1+x2+3x3 20 12x1+4x2+10 x3 90 x1， x2， x3 0 回答以下问题： 1）求最优解 2）求对偶问题的最优解 3）当 b1由 20 变为 45，最优解是否发生变化。 4）求新解增加一个变量 x6， c6=10， a16=3， a26=5，对最优解是否有影响 5） c2有 5 变为 6，是否影响最优解。 答：最优解为 1) Cj -5 5 13 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 20 -1 1 3 1 0 20/3 0 X5 90 12 4 10 0 1 9 Cj-Zj -5 5 13 0 0 13 X3 20/3 -1/3 1/3 1 1/3 0 20 0 X5 70/3 46/3 22/3 0 -10/3 1 70/22 Cj-Zj -2/3 2/3 0 -13/3 0 13 X3 185/33 -34/33 0 1 2/11 -1/22 5 X2 35/11 23/11 1 0 -5/11 3/22 -68/33 0 0 -1/11 -1/11 最优解为 X1=185/33, X3=35/11 2)对偶问题最优解为 Y（ 1/22,1/11,68/33,0,0） T 5 / 8 3) 当 b1=45 时 X= 45/11 -11/90 由于 X2的值小于 0，所以最优解将发生变化 4） P6 =(3/11,-3/4)T 6=217/200 所以对最优解有影响。 5）当 C2=6 1=-137/33 4=4/11 5=-17/22 由于 4大于 0 所以对最优解有影响 5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集 (割集 )，每弧旁的数字是（ cij , fij ）。（ 15 分） V1 (5,0) (3,3) (3,3) VS （ 4,1） V2 (4,0) (9,3) (8,4) V3 Vt (6,0) 最大流为： 14 V1 (5,3) (3,3) (3,0) V2 Vs (4,4) (4,1) (9,7) (8,8) Vt V3 (6,6) 6. 考虑如下线性规划问题（ 20 分） Max z=3x1+x2+4x3 s.t. 6x1+3x2+5x3 9 3x1+4x2+5x3 8 x1， x2， x3 0 回答以下问题： 1）求最优解； 2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解； 3）若问题中 x2列的系数变为（ 3， 2） T，问最优解是否有变化； 6 / 8 4） c2由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj 3 1 4 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 9 6 3 5 1 0 0 X5 8 3 4 5 0 1 Cj-Zj 3 1 4 0 0 0 X4 1 3 -1 0 1 -1 4 X3 8/5 3/5 4/5 1 0 1/5 Cj-Zj 3/5 -11/5 0 0 -4/5 3 X1 1/3 1 -1/3 0 1/3 -1/3 4 X3 7/5 0 1 1 -1/5 2/5 Cj-Zj 0 -2 0 -1/5 -3/5 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2)对偶问题为 Minw=9y1+8y2 6y1+3y2 3 3y1+4y2 1 5y1+5y2 4 y1,y2 0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3) 若问题中 x2列的系数变为（ 3， 2） T 则 P2 =(1/3,1/5)T 2=-4/5 0 所以对最优解没有影响 4） c2由 1 变为 2 2=-1 0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集 (割集 )，每弧旁的数字是（ cij , fij ）。（ 10 分） V1 (4,4 ) V3 (9,5) (6,3) VS (3,1) (3,0) (4,1) Vt (5,3) (7,5) V2 (5,4) V4 解： V1 (4,4) V3 (9,7) (6,4) (3,2) (4,0) Vs Vt (5,4) (7,7) 7 / 8 V2 (5,5) V4 最大流 11 8. 某厂、三种产品分别经过 A、 B、 C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设 备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表： 设备能力 (台 .h) A B C 1 1 1 10 4 5 2 2 6 100 600 300 单位产品利润 (元 ) 10 6 4 1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。 (15 分 ) 2)产品每件的利润到多大时才值得 安排生产？如产品每件利润增加到 50/6 元，求最优计划的 变化。 (4 分 ) 3)产品的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。 (2 分 ) 4)设备 A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。 (3 分 ) 5)如有一种新产品，加工一件需设备 A、 B、 C 的台时各为 1、 4、 3h，预期每件为 8 元，是否值得 生产。 (3 分 ) 6)如合同规定该厂至少生产 10 件产品，试确定最优计划的变化。 (3分 ) 解： 1）建立线性规划模型为： MaxZ=10 x1+6x2+4x3 x1+x2+x3 100 10 x1+4x2+5x3 600 2x1+2x2+6x3 300 xj 0,j=1,2,3 获利最大的产品生产计划为： X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =(100/3,200/3,0,0,0,100) Z*=2200/3 2）产品每件利润到 20/3 才值得生产。如果产品每件利润增加到 50/6 元，最优计划的变化为： X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =(175/6,275/6,25,0,0,0) Z*=775 3）产品的利润在 6,15变化时，原最优计划保持不变。 4）设备 A 的能力在 60,150变化时，最优基变量 不变。 5）新产品值得生产。 6）最优计划的变化为： X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =(190/6,350/6,10,0,0,60 ) Z*=706.7 9. 给出成性规划问题： (15 分 ) Min z=2x1+3x2+6x3 x1+2x2+x3 2 -2x1+x2+3x3 -3 xj 0 j=1,， 4 要求： 8 / 8 (1)写出其对偶问题。 (5 分 ) (2)利用图解法求解对偶问题。 (5 分 ) (3)利用 (2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。 (5 分 ) 解： 1）该问题的 LD 为： MaxW=2y1-3y2 y1-2y2 2 2y1+y2 3 y1+3y2 6 y1 0,y2 0 2)用图解法求得 LD 的最优解为： Y*=(y1,y2) =(8/5,-1/5) W*=19/5 3)由互补松弛定理： 原问题的最优解为： X*=(x1,x2,x3) =(8/5,1/5,0) 10. 某部门有 3 个生产同类产品的工厂 (产地 )，生产的产品由 4 个销售点 (销地 )出售，各工厂的 生产量，各销售点的销售量 (单位 .t)以及各工厂到各销售点的单位运价 (元 /t)示于下表中，要求研究 产品如何调运才能使总运量 最小？ (10 分 ) B1 B2 B3 B4 产量 A1 4 12 4 11 32 A2 2 10 3 9 20 A3 8 5 11 6 44 销量 16 28 28 24 96 96 解：最优调运方案为： A1-B3 和 B4 28t 和 4t A2-B1 和 B4 16t 和 4t A3-B2 和 B4 28t 和 16t 最小总运费为： 460 元 11. 求解下列 0-1 规划问题 maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5 x1+x2+x3+2x4+x5 4 7x1+3x3-4x4+3x5 8 11x1-6x2+3x4-3x5 3 xj=0 或 1 (j=1,， 5) 解：最优解为： x1=x2=1，其他为 0 ，最优目标函数值为 5 销 产