西南交通大学数理统计考试题.pdf

西南交通大学研究生 20152016 学年第(1)学期考试试卷 课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 得分 阅卷教师签字： 1 设 12 9 ,X XXL 是来自正态总体 X 的简单随机样本，其中 11 6 1 () 6 YX X=+L ， 2789 1 () 3 YXXX=+, 9 22 2 7 1 () 2 i i SXY = = ， 12 2( )YY Z S = 试推断统计量 Z 的分布。 （10 分） 解 ：因为 12 9 ,X XXL 相互独立且服从正态分布 2 (, )N ，则有 26 1 1 1 (, ) 66 i i YXN = = ， 29 2 7 1 (, ) 33 i i YXN = = -（ 2 分） 且相互独立， 22 2 12 (0, ) (0, ) 63 2 YY N N +=， 即 12 (0,1) /2 YY N -（ 3 分） 又因 2 S 为样本方差，所以由定理得 2 2 2 2 (2) S ， -（ 2 分） 且 2 S 与 1 Y 与 2 Y 相互独立，故与 12 YY 也是相互独立的， 于是由 t分布定义知 12 12 22 2( ) /2 (2) 2/2 YY YY Z t S S = -（ 3 分） 即统计量 Z 服从自由度为 2 的 t分布。 2. 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 2( ) 2 (; ) 0 x ex fx x = 其中 0 为未知参数，又设 12 , n x xxL 是 X 的一组样本观测值，(1)试 求参数 的极大似然估计量 极 ；(2)求极大似然估计 极 的方差。 （15 分） 解 ： (1)由 X 的概率密度函数，得似然函数 11 2( ) 11 2( ) 2 2 () ( ;) 2 =2 2 ( 1,2, , ) i nn ii nn x i xxn i Lfx e eexin = = + = L -（ 2 分） 取对数得： 1 ln ( ) ln 2 2 2 ( 1, 2, , ) n ii i Ln xnxi n = = + = L -（ 2 分） 再对 求导得： ln ( ) 20 (1,2,) i dL nxi n d = =L -（ 1 分） 即 ()L 是单调增加的，虽然 越大则 ()L 越大，但 必须满足条件 (1,2,) i x in =L 所以当取 为 12 , n x xxL 中最小值 (1) x 时， ()L 取得满足条件的最大值，所以 的最大似 然估计值为 (1) 1 2 min , , , n x xx x = L -（ 2 分） （ 2） 2( ) 1 () 0 x ex Fx x = -（ 1 分） 2( ) (1) 1 () 1 (1 () 0 nx n ex Fx Fx x = = -（ 1 分） 2( ) (1) (1) () 2 () 0 nx dF x ne x fx dx x = -（ 1 分） 2( ) (1) 1 2 2 nx EX x ne dx n + =+ -（ 2 分） 22()2 (1) 1 2 2 nx EX xne dx n + =+ -（ 2 分） 22 (1) (1) (1) 2 (2 1) 1 1 4 n DX EX EX nnn = +-（ 1 分） 3. 假设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值， 已知 lnYX= 服从正态分布 (,1)N 。 （1）试求 的置信度为 0.95的置信 区间； （2）利用上述结果求 X 的数学期望 ()E X 的置信度为 0.95的置信 区间。 （15 分） 解 ： （ 1）因为 ln ( ,1)YXN= ，则 Y X e= ，其数学期望 ()EX为： 22 () () 11 () () 22 yy y Yy bEX Ee e e dy e dy + + + = = () 1 (1) 1 2222 11 22 yy y ed eedye + + + + + = = （ 2）因为 Y 的方差为已知，即 () 1DY = ，置信度为 0.95时，样本均值 1 (, )YN n ， 则有 0.05/ 2 1 0.05 0.95 1/ Y Pz n = ，即 0.05/ 2 0.05/ 2 0.05/ 2 0.95 zzz PY PY Y nnn = =+ ， 而由总体 X 的简单随机样本值计算 0.50， 1.25， 0.80， 2.00 得 11 ln 0.5 ln1.25 ln 0.8 ln 2 ln1 0 44 y =+=，又上 分位点 0.05/ 2 1.96z = 故得所求 的置信度为 0.95的置信区间为 0.05/ 2 111 ( ) (0 1.96) (0 1.96) ( 0.98,0.98) 2 44 yz= （ 3）由于函数 y e 的严格递增性质，可得 0.05/ 2 0.05/ 2 0.05/ 2 0.95 zzz PY PY Y nnn = =+ 0.05 / 2 0.05 / 2 0.05 / 2 0.05 / 2 11 1 22 2 zzz z YYY Y nnn n Pe e e Pe e e + + = 即得 () () Y bEX Ee=的置信度为 0.95的置信区间为 0.05 / 2 0.05 / 2 11 0.48 1.4822 (,)(,) zz yy nn ee ee + = 4.设总体 12 16 XN , , ,X XX（ ,4）, 为来自总体的样本，考虑检验问题： 01 :0 :0Hu Hu=。取 0 H 的拒绝域分别为： (1) 1 2 1.65WX=； (2) 2 1.5 2 2.12WX= 计算这两种拒绝域下，此检验犯第一类错误的概率。 （10分） 解：(1) X n 由于服从标准正态分布，有由于 =2 =16 =0 2nX，所以 服从标准正态分布 第一类错误的概率= 2 1.65 | 0PX = (1.65) 0.05= = (2) 第一类错误的概率 = 1.5 2 2.12 | 0 (2.12) (1.5) 0.983 0.93319PX = = 5.一家公司产品销售在 30 地区设有销 售分公司，为研究产品 销售（y）与该 公司的销售价格(x 1 )，各地区的年平均收入(x 2 )，广告费用(x 3 )之间的关系，收 集到30个地区的有关数据，得到下列回归结果 方差来源 自由度 平方和 均方 F统计量 显著 性 回归 A B 4008924.7 C 显著 残差 D E F 总的 29 13458586.7 参数估计表 估计值 标准误差 t-统计量 显著性 截距 7589.1025 2445.0213 3.1039 显著 x1的系数 -117.8861 31.8974 G 显著 x 2 的系数 80.6107 14.7676 H 显著 x 3 的系数 0.5021 0.1259 3.9814 显著 （1） 求出方差分析表和参数估计表中的各字母的值。 （2）计算样本复相关系数，和误差方差 2 的无偏估计。 （15 分） （2） 2 12026774.1 = 0.8936 13458586.7 R 样本复相关系数= R= 0.8936 0.957 误差方差 2 的无偏估计 =55069.7 7、已知两正态总体G 1 和G 2 ，而且 1212 24 1 62 19 = ， ， 其先验概率分别为q 1 =q 2 =0.5,误判的代价为 4 (21) , (12)CeCe= = 试用Bayes判别法决定样本 3,5 T X =（） 属于哪一个总体？ （10 分） 1 1 12 1 2 2 1 12 12 33 2 1 () ( ) exp( ) ( ) exp(4 2 4) () 391 242 11 (), ,() 41 62428 3 (1 | 2) , ( ) exp(2) 5(2 |1) 3 5 T Bayes fx Wx x x x fx qC deWx de qC X = + =+= = = = % 3、由 判别知 其中， 2 G 8表中给出了五个样本两两之间的欧氏距离，根据系统聚类法， （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （2）类间用最长距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （10 分） （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图 Step1： （4）与（5）和并为类（6） Step2： （1）与（2）和并为类（7） 欧氏距离 1 2 3 4 5 1 0 8.06 17.81 26.91 30.41 2 8.06 0 25.46 34.67 38.21 3 17.81 25.46 0 9.22 12.82 4 26.91 34.67 9.22 0 3.63 5 30.41 38.21 12.82 3.63 0 1 2 3 6 1 0 8.06 17.81 26.91 2 8.06 0 25.46 34.67 3 17.81 25.46 0 9.22 6 30.41 38.21 9.22 0 7 3 6 7 0 17.81 26.91 3 17.81 0 9.22 6 26.91 9.22 0 Step2： （3）与（7）和并为类（8） 8 6 8 0 9.22 6 9.22 0