资源描述
3.3反比例函数,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一反比例函数的图象与性质,1.(2018湖南衡阳,11,3分)对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x10时,y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式:.,答案y=(答案不唯一),解析只要使比例系数大于0即可,如y=,答案不唯一.,评析本题主要考查了反比例函数y=(k0)的性质:k0时,函数图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小;k0)的图象交于A、B两点,利用函数图象直接写出不等式kx+b的解集是.,答案1x4,解析由图象可知A(1,4),B(4,1),不等式kx+b的解集为1x4,故答案为1y2?(根据图象直接写出结果)(2)求反比例函数的表达式.,评析此题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题,待定系数法求函数解析式以及反比例函数的图象与性质.,解析(1)x1.(3分)(2)ON=1,MNx轴,M点的横坐标为1,把x=1代入y1=x+1,得y1=1+1=2.M点的坐标为(1,2).(4分)把M点的坐标(1,2)代入y2=,得k=2.(5分)反比例函数的表达式为y2=.(6分),5.(2015湖南郴州,19,6分)如图,已知点A(1,2)是直线y1=kx(k0)与反比例函数y2=(m0)的图象的一个交点.(1)求直线及反比例函数的表达式;(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1y2.,解析(1)把点A(1,2)代入y1=kx,得k=2,(1分)所以直线的表达式为y1=2x.(2分)把点A(1,2)代入y2=,得m=2,(3分)所以反比例函数的表达式为y2=.(4分)(2)00)的图象上一点A作ABx轴于点B,连接AO,若SAOB=2,则k的值为()A.2B.3C.4D.5,答案C由题意得k0,SAOB=k=2,故k=4.故选C.,3.(2015天津,9,3分)已知反比例函数y=,当16,答案C由反比例函数的性质可得,当1x3时,y随x的增大而减小,故2y0)的图象过点A(4,1),得k=14=4.(2)整点个数为3.,若b0,当直线过点(1,2)时,b=,当直线过点(1,3)时,b=,b;若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1,如图,当直线过点(5,0)时,b=-,-b-1.综上,-b0).(4分)(2)由(1)知,CM是ABO的中位线,CM=1,AB=2,点D在AB上,点D的横坐标为2,把x=2代入y=,得y=,AD=,(6分)S四边形CDBO=SABO-SCAD=OBAB-AD(OB-OM)=22-=.(8分),评析本题是反比例函数与直角三角形的综合题,考查直角三角形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式等,属中档题.,6.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a0)的图象与反比例函数y=(k0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过点A作AHy轴,垂足为H,OH=3,tanAOH=,点B的坐标为(m,-2).(1)求AHO的周长;(2)求反比例函数和一次函数的解析式.,解析(1)AHy轴于H,AHO=90.tanAOH=,OH=3,AH=4.(2分)在RtAHO中,OA=5.(4分)AHO的周长为3+4+5=12.(5分)(2)由(1)知,点A的坐标为(-4,3),点A在反比例函数y=(k0)的图象上,3=,k=-12.反比例函数的解析式为y=-.(7分)点B(m,-2)在反比例函数y=-的图象上,-=-2,m=6.点B的坐标为(6,-2).(8分)点A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a0)的图象上,解这个方程组,得一次函数的解析式为y=-x+1.(10分),C组教师专用题组,考点一反比例函数的图象与性质,1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是()A.-6B.-C.-1D.6,答案A把代入y=,得2=,k=-6.,2.(2014内蒙古呼和浩特,10,3分)已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,判断正确的是()A.x1+x21,x1x20B.x1+x20C.00D.x1+x2与x1x2的符号都不确定,答案C点A(a,c)在第一象限的一支曲线上,a0,c0.点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,b0,即c-1,c0,x1x2=0.点A、B都在y=的图象上,x1+x2=-=.c0,01,即0x1+x21,故选C.,评析本题考查一元二次方程根与系数的关系,属难题.,3.(2014湖南益阳,6,3分)正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一、三象限,答案D解方程组得或所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为(1,6),(-1,-6).故选D.,4.(2014甘肃兰州,9,4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是()A.0B.2C.3D.4,答案A反比例函数y=的图象位于第二、四象限,k-10,即k0时,反比例函数图象在第一、三象限内;当k0时,反比例函数图象在第二、四象限内,属容易题.,5.(2014广西南宁,12,3分)已知点A在双曲线y=-上,点B在直线y=x-4上,且A,B两点关于y轴对称,设点A的坐标为(m,n),则+的值是()A.-10B.-8C.6D.4,答案A因为点A(m,n)在双曲线y=-上,所以mn=-2;由于A,B关于y轴对称,所以点B的坐标为(-m,n),因为点B在直线y=x-4上,所以-m-4=n,即m+n=-4.+=-10,故选A.,评析本题主要考查点的坐标、解析式与函数图象之间的关系,关于y轴对称的点的坐标特征和利用整体代入的思想求值的综合运用,解题关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征,得到m、n之间的关系,属较难题.,6.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是.,答案y=x-3,解析将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3.,思路分析先把点A的坐标代入y=得m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平移及直线l过点B得直线l对应的函数表达式.,7.(2017内蒙古包头,19,3分)如图,一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A,与x轴相交于点B,点C在y轴上.若AC=BC,则点C的坐标为.,解析过点A向y轴引垂线,垂足为D.由解得或A在第一象限,A(2,1).在y=x-1中,令y=0,得x=1.B(1,0).在RtOBC中,CB2=OC2+OB2,在RtCAD中,CA2=CD2+AD2,设C(0,m),CB=CA,m2+12=(m-1)2+22,解得m=2.C(0,2).,答案(0,2),8.(2017四川成都,24,4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P称为点P的“倒影点”.直线y=-x+1上有两点A,B,它们的倒影点A,B均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k=.,答案-,解析因为点A在直线y=-x+1上,所以设A(m,-m+1),由AB=2可知B点可以为B1(m-2,-m+3)或B2(m+2,-m-1),则A,B1,B2,当A,B1在y=的图象上时,=,m=,经检验,m=是分式方程的解,则k=-.当A,B2在y=的图象上时,同理可得k=-,所以k=-.,9.(2017江苏南京,16,2分)函数y1=x与y2=的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:函数的图象关于原点中心对称;当x0时,函数的图象最低点的坐标是(2,4).其中所有正确结论的序号是.,解析y=y1+y2,y=x+.若点(a,b)在函数y=x+的图象上,则b=a+.当x=-a时,y=-a-=-=-b.点(-a,-b)在函数y=x+的图象上.函数y=x+的图象关于原点中心对称,故正确.当00时,y=x+=+2,答案,=+4,当=,即x=2时,y取得最小值,ymin=4.函数的图象最低点的坐标是(2,4).故正确.,解后反思(1)函数图象关于某点中心对称,其实质是图象上的点关于某点中心对称,所以判定函数图象关于某点中心对称时,只需在图象上任取一点,证明该点关于对称中心对称的点也在该函数的图象上即可;(2)函数图象的最低点就是函数取得最小值的点,将问题转化为求函数最值即可.,10.(2017河南,13,3分)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=-的图象上,则m与n的大小关系为.,答案mn,解析解法一:把点A(1,m),B(2,n)分别代入y=-,可得m=-2,n=-1,所以mn.解法二:k=-20,双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,010)的图象上,S矩形OAPB=6.点C是OB的中点,BC=OC.PBC=DOC,BCP=OCD,CODCBP.SAPD=S矩形OAPB=6.,答案6,评析本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义,全等三角形的应用以及对中点的认识.本题中的点P是不确定的,但是由点C为BO的中点,可以借助全等三角形的知识将要求的面积转化为易知的矩形面积.本题属中档题.,13.(2016湖南邵阳,14,3分)已知反比例函数y=(k0)的图象如图所示,则k的值可能是.,答案-1(填写负数即可),解析根据反比例函数的图象及性质可知,图象在二、四象限时,k0,此反比例函数的图象在第一、三象限,且在每一个象限内,y随x的增大而减小,故正确,错误.,15.(2018广西南宁,18,3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,且关于y轴对称,反比例函数y=(x0)的图象经过点C,反比例函数y=(x0),则点A的坐标为(-a,0),k1+3k2=0,k1=-3k2,根据题意得C,E,D,F,S矩形ABCD=2a=2k1,SDEF=-k2,SBCF=k1,SABE=-k2,把k2=-k1代入上式,得到k1+=7,解得k1=9.,思路分析设点B的坐标为(a,0)(a0),利用对称性可知点A的坐标为(-a,0),用a,k1,k2分别表示出C,D,E,F的坐标,从而表示出DEF,ABE,BCF的面积,由S矩形ABCD-SDEF-SBCF-SABE=SBEF及k1+3k2=0即可求解.,疑难突破解决此类问题的难点在于大胆设未知数,根据反比例函数解析式和矩形的几何性质来巧妙表示相关坐标、线段和面积,再建立关于k1的等式,思路不难但需要一定的计算能力.,SBEF=7,2k1+k2-k1+k2=7,即k1+k2=7,16.(2018贵州贵阳,12,4分)如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x0),y=-(x0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为.,解析解法一:设点P(m,0),可得点A,B,AB=+=,SABC=m=.解法二:如图,连接OA,OB,ABy轴,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=.解法三:特殊点法,当点C在原点时,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=.,答案,17.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y=(x0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;矩形的面积等于k的值.,解析(1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,=2,即k=4.反比例函数的解析式为y=.(3分)(2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)(9分)举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.,18.(2018山东潍坊,19,7分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y=的图象相交于A(2,m),B(n,-6)两点,连接OA,OB.(1)求k和n的值;(2)求AOB的面积.,解析(1)点B(n,-6)在直线y=3x-5上,-6=3n-5,解得n=-,(1分)B,反比例函数y=的图象也经过点B,k-1=-6=2,解得k=3.(3分)(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,当y=0,即3x-5=0时,x=,OC=,(4分),当x=0时,y=30-5=-5,OD=5,(5分)点A(2,m)在直线y=3x-5上,m=32-5=1,即A(2,1),(6分)SAOB=SAOC+SCOD+SBOD=.(7分),思路分析(1)把B点坐标代入直线解析式可求出n的值,再将B点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值.(2)AOB被坐标轴分成三部分,分别计算三部分的面积,求和即可.,19.(2018甘肃兰州,25,8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)请直接写出y1y2时,x的取值范围;(3)过点B作BEx轴,ADBE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.,解析(1)把A(1,2)代入y2=得k=2.反比例函数的表达式为y2=.把B(-2,m)代入y2=得-2m=2,m=-1.把A(1,2),B(-2,-1)代入y1=ax+b得解得一次函数的表达式为y1=x+1.(2)x的取值范围为-21.(3)A(1,2),B(-2,-1),BEx轴,ADBE,D(1,-1),AD=3.当点C在点D的右侧时,思路分析(1)把点A的坐标代入y2=,求出k的值,进而求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出一次函数的表达式;(2)结合函数图象可写出y1y2时,x的取值范围;(3)分两种情形:点C在点D的右侧;点C在点D的左侧.根据30角的三角函数值求出CD的长度,进而得出点C的坐标.,点C的坐标为(1+,-1).当点C在点D的左侧时,点C的坐标为(1-,-1).,ADBE,AC=2CD,DAC=30,CD=ADtan30=3=.,2.利用函数图象确定不等式ax+b或ax+b的解集,从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分,即过点A的虚线的右侧及过点B的虚线与y轴之间的部分(尤其注意y轴的取舍),从而可得其解集为xxA或xBx0;(2)ax+b的解集,从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分,即过B点虚线的左侧及y轴与过A点虚线之间的部分,从而可得其解集为xxB或02或xy2时,x的取值范围是x0.,思路分析(1)分类讨论y1=|x|即可;(2)对k的范围分类讨论,把A的纵坐标根据情况代入分段函数中,求出A点坐标,将A点坐标代入反比例函数解析式求出k;正确画出图象,结合图象可得到x的范围.,解题关键正确画出两函数的图象,分类讨论的结果才会不重复不遗漏.,21.(2018贵州贵阳,25,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A是反比例函数y=(x0,m1)图象上一点,点A的横坐标为m,点B(0,-m)是y轴负半轴上的一点,连接AB,ACAB,交y轴于点C,延长CA到点D,使得AD=AC.过点A作AE平行于x轴,过点D作y轴的平行线交AE于点E.(1)当m=3时,求点A的坐标;(2)DE=;设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围;(3)连接BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形?,解析(1)点A在反比例函数y=(x0,m1)的图象上,且点A的横坐标为m,点A的坐标为(m,m2-m).当m=3时,A(3,6).(2)1;由(1)知A(m,m2-m),已知B(0,-m),延长EA交y轴于点N,如图.AEx轴,DEy轴,DEA=CNA=90.又CAN=DAE,AD=AC,CANDAE,AN=AE,E(2m,m2-m).DE=1,点D的坐标为(2m,m2-m-1).又D(x,y),x=2m,y=m2-m-1,即m=,把m=代入y=m2-m-1,得y=x2-x-1.m1,x=2m,x2,所求函数关系式为y=x2-x-1(x2).(3)x2,直线AF与二次函数y=x2-x-1(x2)只有一个交点,如图所示,连接DF,直线AF交y轴于点M,过点F作FQy轴,交AE的延长线于点Q,过点D作DHx轴,交y轴于点H,则FQA=BHD=90.当四边形ABDF是平行四边形时,AF=DB,FQy轴,HMF=AFQ.AFBD,HMF=HBD,AFQ=DBH,RtFQARtBHD,AQ=DH=2m,FQ=BH,点F的横坐标为3m,纵坐标为m2-m-1,FQ=m2-m-1-(m2-m)=m2-m-1.D(2m,m2-m-1),B(0,-m),BH=m2-m-1-(-m)=m2-1,m2-m-1=m2-1,解得m=2或m=0(舍去),当m=2时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形.,方法指导在第(3)问中,利用平行四边形的性质证明RtFQARtBHD,得到FQ=BH,用含m的代数式表示线段FQ和BH的长度,列方程求出m的值.,22.(2018内蒙古呼和浩特,22,6分)已知变量x,y对应关系如下表已知值呈现的对应规律.,(1)依据表中给出的对应关系写出函数解析式,并在给出的坐标系中画出大致图象;(2)在这个函数图象上有一点P(x,y)(x0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.,解析(1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),-2+b=0,b=2,一次函数的表达式为y=x+2,一次函数的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4),a+2=4,a=2,B(2,4),反比例函数的表达式为y=.(2)设M(m-2,m),N,m0.当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.故=2且m0,解得m=2或m=2+2,M的坐标为(2-2,2)或(2,2+2).,24.(2017贵州贵阳,23,10分)如图,直线y=2x+6与反比例函数y=(x0)的图象交于点A(1,m),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0n6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式;(2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,BMN的面积最大?,解析(1)直线y=2x+6经过点A(1,m),m=21+6=8,A(1,8),反比例函数y=的图象过点A(1,8),8=,k=8,反比例函数的表达式为y=.(6分)(2)由题意知,点M,N的坐标可表示为M,N,0n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=(x0)的图象于点N.当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.,解析(1)直线y=x-2经过点A(3,m),m=1.又函数y=(x0)的图象经过点A(3,1),k=3.(2)PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1),点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3),PM=PN=2.n的取值范围是00)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作ABx轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.(1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.,解析(1)A(1,3),OB=1,AB=3.又AB=3BD,BD=1,即D(1,1),k=11=1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=(x0).解方程组得或(舍去)点C的坐标为.(3)作点D关于y轴的对称点E,则E(-1,1),连接CE交y轴于点M,点M即为所求.设直线CE的解析式为y=kx+b(k0),则解得直线CE的解析式为y=(2-3)x+2-2.当x=0时,y=2-2,点M的坐标为(0,2-2).,考点二反比例函数的应用,1.(2018浙江温州,9,4分)如图,点A,B在反比例函数y=(x0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,ACBDy轴.已知点A,B的横坐标分别为1,2,OAC与ABD的面积之和为,则k的值为()A.4B.3C.2D.,答案B点A,B在反比例函数y=(x0)的图象上,且点A,B的横坐标分别是1,2,A(1,1),B.ACBDy轴,点C与点A的横坐标相同,点D与点B的横坐标相同,点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,C(1,k),D,延长CA、DB分别与x轴交于点E、点F,则SOAC=SOCE-SOAE=-.易知SABD=(2-1)=-,SOAC+SABD=-+-=-=,k=3.,2.(2018重庆,11,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为()A.B.C.4D.5,答案D连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E、F.,已知A、B的横坐标分别为1,4,BE=3,BD=6.四边形ABCD为菱形,S菱形ABCD=ACBD=,AC=,AE=.设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为.点A、B都在函数y=的图象上,4m=1,m=.,B点坐标为,k=5,故选D.,思路分析根据A、B的横坐标求出BD的长,利用菱形的面积公式求出AC的长,设点B的坐标为(4,m),用m表示出点A的坐标.利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为k构造方程求出m,进而求出k.,3.(2018广东广州,9,3分)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(),思路分析分别根据各选项中的一次函数图象,对a、b的正负情况进行判断,再取x=-1,从图象判断此时一次函数值与0的大小关系,由此得到a-b的正负情况,从而知道反比例函数图象所处象限,作出正确判断.,答案A(1)由题图A、B可知一次函数图象经过第一、二、三象限,则a0,b0,当x=-1时,y=-a+b,此时y0.所以反比例函数图象经过第一、三象限.A正确,B错误.(2)由题图C、D可知一次函数图象经过第一、二、四象限,则a0,当x=-1时,y=-a+b,此时y0,所以-a+b0,即a-b0)的图象过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标;(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.,解析(1)反比例函数y=(x0)的图象过点A(3,4),=4,k=12,反比例函数的解析式为y=.由题意易知点B的横坐标为6,点B在反比例函数y=(x0)的图象上,y=2,即点B的纵坐标为2.点B的坐标为(6,2).(2)如图,以A,B,C,D四点为顶点的平行四边形有3种情况,分别是ABCD1,ACBD2和ABD3C,根据平行四边形的性质易得D1(3,2),D2(3,6),由(1)知线段BC的中点坐标为(6,1),该点是线段AD3的中点,所以点D3的坐标为(9,-2).故D点的坐标为(3,2)或(3,6)或(9,-2).,6.(2017吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=OC,且ACD的面积是6,连接BC.(1)求m,k,n的值;(2)求ABC的面积.,解析(1)点A的坐标为(m,2),AC平行于x轴,OC=2,ACy轴,OD=OC,OD=1.CD=3.ACD的面积是6,CDAC=6.AC=4.(2分)m=4.(3分)点A(4,2)在y=的图象上,k=42=8.(4分)点B(2,n)在y=的图象上,n=4.(5分)(2)如图,过点B作BEAC于点E,则BE=2.(6分),SABC=ACBE=42=4.ABC的面积为4.(7分),7.(2016湖南湘西,22,8分)如图,已知反比例函数y=的图象与直线y=-x+b都经过点A(1,4),且该直线与x轴的交点为B.(1)求反比例函数和直线的解析式;(2)求AOB的面积.,解析(1)把A(1,4)代入y=得k=14=4,所以反比例函数的解析式为y=.把A(1,4)代入y=-x+b得-1+b=4,解得b=5,所以直线的解析式为y=-x+5.(2)当y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B(5,0),所以AOB的面积=54=10.,思路分析(1)把A点坐标分别代入y=和y=-x+b中求出k和b,即可得到两函数解析式.(2)利用一次函数解析式求出B点坐标,然后根据三角形面积公式求解.,8.(2016湖南株洲,24,8分)平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=(k0)的图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点.(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C的坐标;(2)若APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.,解析(1)点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=(k0)的图象上,k的值是6,C点的坐标是(-2,-3).(2)APO的面积为2,点A的坐标是(2,3),2=,得OP=2,设过点P(0,2)、点A(2,3)的直线的解析式为y=ax+b(a0),则解得即直线PA的解析式为y=x+2,将y=0代入y=x+2,得x=-4,OD=4,A(2,3),C(-2,-3),AC=2,设点D到直线AC的距离为m,SACD=SODA+SODC,=+,解得m=,即点D到直线AC的距离是.,9.(2015北京,23,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与双曲线y=的一个交点为P(2,m),与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求m的值;(2)若PA=2AB,求k的值.,解析(1)双曲线y=过点P(2,m),m=4.(2)由题意可知,k0.当直线经过第一、二、三象限时,如图1.图1过点P作PHx轴于点H,可得PHABOA,PA=2AB,=2.PH=4,OB=2.,点B的坐标为(0,2).由直线经过点P,B,可得k=1.当直线经过第一、三、四象限时,如图2.图2同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2).由直线经过点P,B,可得k=3.综上所述,k=1或k=3.,10.(2015安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).(1)求k1、k2、b的值;(2)求AOB的面积;(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1x2,y1y2,指出点M、N各位于哪个象限,并简要说明理由.,解析(1)把A(1,8),B(-4,m)分别代入y=,得k1=8,m=-2.A(1,8),B(-4,-2)在y=k2x+b图象上,解得(5分)(2)设直线y=2x+6与x轴交于点C,当y=0时,x=-3,OC=3.SAOB=SAOC+SBOC=38+32=15.(8分)(3)点M在第三象限,点N在第一象限.(9分)理由如下:若x1y2,不合题意;若0y2,不合题意;若x10x2,点M在第三象限,点N在第一象限,则y1y2y3B.y1y3y2C.y3y1y2D.y2y3y1,答案B反比例函数y=的图象在第二、四象限,反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大.-20,y2y3y2.故选B.,3.(2018湖南湘西一模,7)对于反比例函数y=,下列说法正确的是()A.图象经过点(2,-1)B.图象位于第二、四象限C.图象是中心对称图形D.当x0,图象位于第一、三象限,B错误;图象关于原点成中心对称,C正确;例如,-2=-2,D错误,故选C.,4.(2016湖南娄底新化模拟,5)对于函数y=,下列说法错误的是()A.这个函数的图象位于第一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x0时,y随x的增大而增大D.当x0时,y随x的增大而减小,C错误;当x0D.y10y2,答案D由y=-,x10,y20,y2S2B.S1=S2C.S10),得k=xy,则S1=S2=xy=k,故选B.,7.(2016湖南株洲模拟,7)若点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6,答案B点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,b=,即ab=2,原式=2-4=-2.,8.(2018湖南岳阳十二校联考,13)从点A(2,-3)、B(-2,-3)、C(2,3)、D(1,-6)、E(3,-2)中随机取一点,恰好在函数y=-的图象上的概率是.,答案,解析根据反比例函数的性质知,点P(x,y)在y=-的图象上,则xy=-6,因此点A、D、E在函数图象上,B、C不在函数图象上,故所求概率为.,考点二反比例函数的应用,1.(2017湖南长沙模拟,18)如图,A、B是双曲线y=上的两点,分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2cm2,则两个空白矩形面积的和为cm2.,答案8,解析由题意可知,S两个空白矩形+2S阴影=26,即S两个空白矩形+22=12,S两个空白矩形=8cm2.,2.(2016湖南湘潭一模,11)如图,直线y=kx与反比例函数y=(x0)的图象交于点A(1,a),则k=.,答案2,解析直线y=kx与双曲线y=(x0)交于点A(1,a),a=2,k=2,故答案为2.,3.(2018湖南岳阳一模,21)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于A(2,-1)、B两点.直线y=2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求ABC的面积;(3)直接写出不等式kx+b在x0范围内的解集.,解析(1)把A(2,-1)代入反比例函数解析式,得-1=,即m=-2,反比例函数的解析式为y=-,把B代入反比例函数的解析式,得n=-4,即B,把点A与B的坐标代入y=kx+b中,得解得k=2,b=-5,则一次函数的解析式为y=2x-5.(2)如图,过点A作AEy轴,交y轴于点E,交BC于点D.,B,C(0,2),直线BC的解析式为y=-12x+2,将y=-1代入直线BC的解析式得x=,则AD=2-=,yC-yB=2-(-4)=6,SABC=AD(yC-yB)=6=.(3)由题图可知,当02时,kx+b.,解题关键此题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.,B组20162018年模拟提升题组(时间:30分钟分值:50分),一、选择题(每小题3分,共9分),1.(2018湖南长沙三模,5)若函数y=的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是()A.m-2D.m0,答案A函数y=的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,m+20,解得m2B.-22或b2或b0)的图象上,斜边OA1,A1A2,A2A3,An-1An都在x轴上.则点A2018的坐标为.,二、填空题(每小题4分,共8分),答案(4,0),解析过P1作P1B1x轴于B1,点P1在y=(x0)的图象上,P1OA1为等腰直角三角形,点P1的坐标为(2,2),直线P1O的解析式为y=x,易知B1(2,0)是OA1的中点,A1(4,0),P1OA1P2,可设直线A1P2的表达式为y=x+b,将A1(4,0)代入y=x+b,得b=-4,直线A1P2的表达式是y=x-4,与y=(x0)联立,解得P2(2+2,-2+2),同理,A2(4,0),P3(2+2,-2+2),A3(4,0).依此类推,点An的坐标为(4,0),故A2018(4,0).,5.(2017湖南长沙模拟,18)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A、B两点的纵坐标分别为3、1,反比例函数y=的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积为.,答案4,解析A、B两点在y=的图象上,且A、B两点的纵坐标分别为3、1,A(1,3),B(3,1),AB=2,四边形ABCD为菱形,BC=AB=2,又菱形ABCD的高h为3-1=2,S菱形ABCD=BCh=4.,三、解答题(共33分),6.(2018湖南湘西一模,22)如图,已知A(3,m),B(-2,-3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点.(1)求直线AB和反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出当x满足什么条件时,直线AB在双曲线的下方;(3)在反比例函数的图象上是否存在点C,使得OBC的面积等于OAB的面积?若不存在,请说明理由;若存在,求出满足条件的所有点C的坐标.,解析(1)设反比例函数的解析式为y=(k0),把B(-2,-3)代入,可得k=-2(-3)=6,反比例函数的解析式为y=.把A(3,m)代入y=,可得3m=6,即m=2,A(3,2).设直线AB的解析式为y=ax+b(a0),把A(3,2),B(-2,-3)代入,可得解得直线AB的解析式为y=x-1.(2)由题图可得,当x-2或0x3时,直线AB在双曲线的下方.(3)存在.如图所示,延长AO交双曲线于点C1,点A与点C1关于原点对称,AO=C1O,OBC1的面积等于OAB的面积,此时,点C1的坐标为(-3,-2).如图,过点C1作BO的平行线,交双曲线于点C2,则OBC2的面积等于OBC1的面积,OBC2的面积等于OAB的面积,由B(-2,-3)可得直线OB的解析式为y=x,可设直线C1C2的解析式为y=x+b,把C1(-3,-2)代入,可得-2=(-3)+b,解得b=,直线C1C2的解析式为y=x+,解方程组可得C2.,如图,过点A作OB的平行线,交双曲线于点C3,则OBC3的面积等于OBA的面积,设直线AC3的解析式为y=x+b,把A(3,2)代入,可得2=3+b,解得b=-,直线AC3的解析式为y=x-,解方程组可得C3.综上所述,点C的坐标为(-3,-2)或或.,思路分析(1)设反比例函数的解析式为y=(k0),将B点坐标代入,求出反比例函数的解析式,将A点坐标代入反比例函数解析式求出m的值,确定点A的坐标,设直线AB的解析式为y=ax+b(a0),将点A与B的坐标代入,求出a与b的值,即可确定一次函数解析式;(2)根据图象直接写出答案即可;(3)分情况讨论.,7.(2016福建厦门一模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a0)的图象与反比例函数y=(k0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(2,m),点B的坐标为(n,-2),tanBOC=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在x轴上有一点E(O点除外),使得BCE与BCO的面积相等,求出点E的坐标.,解析(1)如图,过点B作BDx轴,垂足为D点,B(n,-2),BD=2.在RtOBD中,tanBOC=,解得OD=5.又点B在第三象限,B(-5,-2),将点B(-5,-2)代入y=中,得k=xy=10,反比例函数的解析式为y=.将A(2,m)代入y=中,得m=5,A(2,5).将A(2,5),B(-5,-2)代入y=ax+b中,得解得故一次函数的解析式为y=x+3.,(2)由y=x+3,得C(-3,0),即OC=3.SBCE=SBCO,CE=OC=3,OE=6,即E(-6,0).,8.(2016安徽江淮名校模拟)给出下列命题:命题1:点(1,1)是直线y=x与双曲线y=的一个交点;命题2:点(2,4)是直线y=2x与双曲线y=的一个交点;命题3:点(3,9)是直线y=3x与双曲线y=的一个交点.(1)请观察上面命题,猜想出命题n(n是正整数);(2)证明你猜想的命题n是正确的.,解析(1)命题n:点(n,n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点(n是正整数).(2)证明:把代入y=nx中,左边=n2,右边=nn=n2,左边=右边,点(n,n2)在直线y=nx上.同理可证:点(n,n2)在双曲线y=上,点(n,n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点,命题n正确.,评析对于这类寻找规律的题目,首先要仔细研究已知条件,找到它们的共同点,发现它们变化的内容及变化的规律,才能由特殊推到一般,从而得到正确结论.注意总结出的一般规律应满足题目给出的特殊例子,此法也常用来检验总结出的一般规律是否正确.本题考查了学生分析问题、解决问题的能力.,
展开阅读全文