概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题经典含答案.pdf

概 率 论 与 数 理 统 计 期 末 考 试 之 计 算 题 、 解 答 题 （ 含 答 案 ） 1. 设 A， B是 两 个 事 件 ， ， 求 。解 ： 2. 有 甲 、 乙 、 丙 三 门 火 炮 同 时 独 立 地 向 某 目 标 射 击 ， 命 中 率 分 别 为 0.2,0.3,0.5,求 （ 1） 至 少 有 一 门 火 炮 命 中 目 标 的 概 率 ； （ 2） 恰 有一 门 火 炮 命 中 目 标 的 概 率 。 解 ： 设 事 件 A,B,C分 别 表 示 甲 、 乙 、 丙 火 炮 命 中 目 标（ 1） （ 2） 3. 盒 中 有 10个 合 格 品 ， 3个 次 品 ， 从 盒 中 一 件 一 件 的 抽 取 产 品 检 验 ，每 件 检 验 后 不 再 放 回 盒 中 ， 以 X表 示 直 到 取 到 第 一 件 合 格 品 为 止 所 需 检 验 次 数 ， 求 ：（ 1） X的 分 布 律 ； （ 2） 求 概 率 。解 ： X的 全 部 可 能 取 值 为 1， 2， 3， 4 (1)， ， ，X的 分 布 律 为 : X 1 2 3 4 (2) 4. 某 汽 车 加 油 站 的 油 库 每 周 需 油 量 X(kg)服 从 N（ 500， 502） 分 布 .为使 该 站 无 油 可 售 的 概 率 小 于 0.01， 这 个 站 的 油 库 容 量 起 码 应 多 大 ？ （ 注 ： ）解 ： 设 这 个 站 油 库 容 量 为 h（ kg） 时 能 满 足 题 目 要 求 ， 则 即 ， 由 已 知 得 ： ， 则 . 5. 从 甲 乙 两 个 蓄 电 池 厂 的 产 品 中 分 别 抽 取 6个 产 品 ,测 得 蓄 电 池 的 容 量(A.h)如 下 : 甲 厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙 厂 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 设 蓄 电 池 的 容 量 服 从 正 态 分 布 ,且 方 差 相 等 ,求 两 个 工 厂 生 产 的 蓄 电 池 的 容 量 均 值 差 的 95%置 信 区 间 。（ ） 解 由 已 知 可 得 可 得 ， 两 工 厂 生 产 的 蓄 电 池 的 容 量 均 值 差 的 0.95的 置 信 区 间 为=-1.47， 5.47 6. 某 卷 烟 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 香 烟 ， 分 别 对 他 们 的 尼 古 丁 含 量 （ 单 位 ： 毫 克 ） 作 了 六 次 测 定 ,得 子 样 观 察 值 为 ：甲 ： 25， 28， 23， 26， 29， 22； 乙 ： 28， 23， 30， 25， 21， 27。假 定 这 两 种 烟 的 尼 古 丁 含 量 都 服 从 正 态 分 布 ， 且 方 差 相 等 ,试 问 这 两 种 香 烟 的 尼 古 丁 平 均 含 量 有 无 显 著 差 异 （ 显 著 水 平 =0.05， ） ？（ 注 ） 解 ： 检 验 统 计 量 为 ， 的 拒 绝 域 为 由 已 知 得 ：于 是 7 . 某 公 司 所 属 8 个 企 业 的 产 品 销 售 资 料 如 下 表 ： 企 业 编 号 产 品 销 售 额 （ 万 元 ） 销 售 利 润 （ 万 元 ） 12 34 56 78 1 7 02 2 0 3 9 04 3 0 4 8 06 5 0 9 5 01 0 0 0 8 .11 2 .5 1 8 .02 2 .0 2 6 .54 0 .0 6 4 .06 9 .0 要 求 ： 计 算 产 品 销 售 额 与 利 润 额 之 间 的 相 关 系 数 。 确 定 利 润 额 对 产 品 销 售 额 的 直 线 回 归 方 程 。 确 定 产 品 销 售 额 为 1 2 0 0 万 元 时 利 润 额 的 估 计 值 。 解 答 ： （ 1 ） r=0 .9 9 3 4（ 2 ） b =0 .0 7 4 2 ， a=-7 .2 7 3 （ 3 ） x =1 2 0 0 时 ， y =-7 .2 7 3 +0 .0 7 4 2 1 2 0 0 =8 1 .7 7 （ 万 元 ） 8 . 在 其 他 条 件 不 变 的 情 况 下 ， 某 种 商 品 的 需 求 量 （ y ） 与 该 商 品 的 价格 （ x ） 有 关 ， 现 对 给 定 时 期 内 的 价 格 与 需 求 量 进 行 观 察 ， 得 到 下 表 所 示 的 一 组 数 据 。 价 格 x （ 元 ） 1 0 6 8 9 1 2 1 1 9 1 0 1 2 7 需 求 量y （ 吨 ） 6 0 7 2 7 0 5 6 5 5 5 7 5 7 5 3 5 4 7 0 要 求 ： 计 算 价 格 与 需 求 量 之 间 的 简 单 相 关 系 数 。 拟 合 需 求 量 对 价 格 的 回 归 直 线 。 确 定 当 价 格 为 1 5 元 时 ， 需 求 量 的 估 计 值解 答 ： （ 1 ） r=-0 .8 5 3 8 （ 2 ） b =-3 .1 2 0 9 a=8 9 .7 4（ 3 ） x =1 5 时 ， y =8 9 .7 4 -3 .1 2 0 9 1 5 =4 2 .9 3 （ 吨 ） 9 . 若 机 床 使 用 年 限 和 维 修 费 用 有 关 ， 有 如 下 资 料 ： 机 床 使 用 年 限（ 年 ） 2 2 3 4 5 5 维 修 费 用（ 元 ） 4 0 5 4 5 2 6 4 6 0 8 0 计 算 相 关 系 数 ， 并 判 断 其 相 关 程 度 。解 ： 说 明 使 用 年 限 与 维 修 费 用 间 存 在 高 度 相 关 。 10. 设 A、 B为 两 个 事 件 且 P(A)=0.6， P(B)=0.7.问 ：（ 1） 在 什 么 条 件 下 P(AB)取 最 大 值 ， 最 大 值 是 多 少 ？ （ 2） 在 什 么 条 件 下 P(AB)取 最 小 值 ， 最 小 值 是 多 少 ？解 ： （ 1） ， 即 ： ， 所 以 （ 1） 当 时 ， 最 大 ， 且 ， （ 2） 当 时 ， 最 小 ， 且 。 11. 袋 中 有 3个 白 球 和 一 个 红 球 ， 逐 次 从 袋 中 摸 球 ， 每 次 摸 出 一 球 ， 如是 红 球 则 把 它 放 回 ， 并 再 放 入 一 只 红 球 ， 如 是 白 球 ， 则 不 放 回 ， 求 第 3次 摸 球 时 摸 到 红 球 的 概 率 ？ 解 :设 第 次 摸 球 时 摸 到 红 球 1 2 . 从 大 批 彩 色 显 像 管 中 随 机 抽 取100只,其 平 均 寿 命 为10000小 时,可以 认 为 显 像 管 的 寿 命 服 从 正 态 分 布.已 知 均 方 差 小 时,在 置 信 度 0.95下 求 出 这 批 显 像 管 平 均 寿 命 的 置 信 区 间 。 （ 注 ： =1 .9 6 ）解 ： 这 批 显 像 管 平 均 寿 命 的 置 信 区 间 为 13. 为 检 验 两 架 光 测 高 温 计 所 确 定 的 温 度 读 数 之 间 有 无 显 著 差 异 ， 设 计 了 一 个 试 验 ， 用 两 架 仪 器 同 时 对 一 组 10只 热 炽 灯 丝 作 观 察 ， 得 数 据如 下 ： X（ ） 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 Y（ ） 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 其 中 X和 Y分 别 表 示 用 第 一 架 和 第 二 架 高 温 计 观 察 的 结 果 ， 假 设 X和 Y都 从正 态 分 布 ， 且 方 差 相 同 ， 试 根 据 这 些 数 据 来 确 定 这 两 只 高 温 计 所 确 定 得 温 度 读 数 之 间 有 无 显 著 差 异 （ =0.05） ?（ 注 ： ）解 ： 根 据 条 件 里 的 问 题 归 结 为 假 设 。 由 于 两 个 总 体 X和 Y的 方 差 未 知 ， 但 根 据 条 件 DX=DY， 所 以 用 t检 验 . 检 验统 计 量 为 . 根 据 条 件 由 已 知 得于 是 ， 由 知 假 设 H 0的 否 定 域 为由 已 知 得 由 于 所 以 不 能 否 定 假 设 H 0.因 此 可 以 认 为 两 架 高 温 计 所 确 定 的 温 度 读 数之 间 无 显 著 差 异 . 14. 设 ， 。 在 下 列 三 种 情 况 下 求 的 值 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） 。解 ： （ 1） 由 ， 得 ， 所 以 。 ； （ 2） 当 时 ， ； （ 3） 。 1 5 . 设 有 甲 乙 两 袋 ， 甲 袋 中 装 有 3 只 白 球 、 2 只 红 球 ， 乙 袋 中 装 有 2 只 白 球 、 3 只 红 球 。 今 从 甲 袋 中 任 取 一 球 放 入 乙 袋 ， 再 从 乙 袋 中 任 取 两球 ， 问 两 球 都 为 白 球 的 概 率 是 多 少 ？ 解 ： 设 事 件 A=“ 从 甲 袋 放 入 乙 袋 的 是 白 球 ” ， 事 件 B=“ 从 乙 袋 中 取 出两 白 球 ” 。 已 知P(B)= P()P()+P()= 16. 从 某 大 学 到 火 车 站 途 中 有 六 个 路 口 ， 假 设 在 各 路 口 遇 到 红 灯 的 事 件 相 互 独 立 ， 且 概 率 都 是 ， 求 ：（ 1） 以 X表 示 途 中 遇 到 的 红 灯 次 数 ， 求 X的 分 布 律 ； （ 2） 以 Y表 示 汽 车 行 驶 途 中 在 停 止 前 所 通 过 的 路 口 数 ， 求 Y的 分 布 律 ；（ 3） 求 从 该 大 学 到 火 车 站 途 中 至 少 遇 到 一 次 红 灯 的 概 率 。 解 ： （ 1）（ 2） ， ， , (3) 17. 产 品 的 某 一 指 标 ， 已 知 ， 未 知 .现 从 这 批 产 品 中 抽 取 只 对 该 指 标 进行 测 定 ,问 需 要 多 大 ,才 能 以 95%的 可 靠 性 保 证 的 置 信 区 间 长 度 不 大 于 0.01?（ ）解 ： 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 为 ： ，则 ， 即 。 18. 某 纺 织 厂 进 行 轻 浆 试 验 ， 根 据 长 期 正 常 生 产 的 累 积 资 料 ， 知 道 该 厂 单 台 布 机 的 经 纱 断 头 率 （ 每 小 时 平 均 断 经 根 数 ） 的 数 学 期 望 为 9.73根 ， 均 方 差 为 1.60根 。 现 在 把 经 纱 上 浆 率 降 低 20%， 抽 取 200台 布 机 进 行 试 验 ， 结 果 平 均 每 台 布 机 的 经 纱 断 头 率 为 9.89根 ， 如 果 认 为 上浆 率 降 低 后 均 方 差 不 变 ， 问 断 头 率 是 否 受 到 显 著 影 响 （ 显 著 水 平 =0.05） ？（ ） 解 ： ： ， ：检 验 统 计 量 为 ， 的 拒 绝 域 为 。 计 算 得 ，对 ， 由 已 知 得 因 为 ， 所 以 不 拒 绝 H 0， 即 可 以 认 为 上 浆 率 降 低 后 对 断 头 率没 有 显 著 影 响 。 19. 将 一 枚 骰 子 重 复 掷 n次 ， 试 求 掷 出 的 最 大 点 数 为 5的 概 率 。 解 ： 设 , n次 掷 出 的 点 数 5， 有 种 不 同 结 果 ， 而 n次 掷 出 的 点 数 4， 有 种 不同 结 果 。 所 以 n次 掷 出 的 最 大 点 数 为 5， 有 种 不 同 结 果 。 故 所 求 概 率 为 。 20. 掷 3颗 骰 子 ， 若 已 知 出 现 的 点 数 没 有 两 个 相 同 ， 求 至 少 有 一 颗 骰 子是 一 点 的 概 率 。 解 ： 设 A:出 现 的 点 数 没 有 两 个 相 同 ,B:至 少 有 一 个 出 现 一 点 21. 某 种 疾 病 的 发 病 率 为 0.01,求 下 列 概 率 的 近 似 值 。(1)100个 人 中 恰 有 一 人 发 病 的 概 率 为 多 少 ？ (2) 100个 人 中 至 少 有 一 人 发 病 的 概 率 为 多 少 ？解 ： 设 X-100人 中 发 病 的 人 数 ， 则 (1)(2) 22. 设 XN(0,1).求 使 ： （ 1） P|X|b=0.05； (3)PXb=0.05。（ 注 ： ,） 解 ： （ 1） 由 ， 则 ， 即, ， 则 ,由 已 知 得 （ 2） 由 ， 则 ， ， 由 已 知 得 ：（ 3） 由 ， 即 ， ， 由 已 知 得 ， 则 2 3 . 生 产 一 个 零 件 所 需 时 间 (单 位 ： 秒 ),观 察 25个 零 件 的 生 产 时 间 得 ,。 试 求 和 的 置 信 区 间 （ ） 。（ ） 解 ： 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 为 ：的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 为 24. 由 累 积 资 料 知 道 甲 、 乙 两 煤 矿 的 含 灰 率 分 别 服 从 及 。 现 从 两 矿 各 抽几 个 试 件 ， 分 析 其 含 灰 率 为 ： 甲 矿 ： 24.3， 20.8， 23.7， 21.3， 17.4（ %） ；乙 矿 ： 18.2， 16.9， 20.2， 16.7（ %） 。 问 甲 、 乙 两 矿 所 采 煤 的 平 均 含 灰 率 是 否 有 显 著 差 异 （ =0.05） ？（ ） 解 ： 首 先 检 验 两 矿 含 灰 率 的 方 差 是 否 相 等 。 检 验 统 计 量 为 ， 的 拒 绝 域 为 ： 经 计 算 ：对 ： 因 为 0.10022.98615.10,所 以 不 拒 绝 H0， 即 可 以 认 为 然 后 检 验 两 矿 的 平 均 含 灰 率 是 否 相 等 。 检 验 统 计 量 为 ， 的 拒 绝 域 为。 经 计 算 ： 。 25. 一 袋 中 有 十 个 质 地 、 形 状 相 同 且 编 号 分 别 为 1、 2、 、 10的 球 .今从 袋 中 任 意 取 出 三 个 球 并 记 录 球 上 的 号 码 ， 求 ： （ 1） 最 小 号 码 为 5的 概 率 ；（ 2） 最 大 号 码 为 5的 概 率 ； （ 3） 一 个 号 码 为 5， 另 外 两 个 号 码 一 个 大 于 5， 一 个 小 于 5的 概 率 。解 ： ， ， (1) 所 求 概 率 ;（ 2） 所 求 概 率 ； （ 3） 所 求 概 率 26. 袋 中 装 有 5枚 正 品 硬 币 、 3枚 次 品 硬 币 （ 次 品 硬 币 两 面 均 印 有 国徽 ） 。 从 袋 中 任 取 一 枚 硬 币 ， 将 它 投 掷 3次 ， 已 知 每 次 均 出 现 国 徽 ， 问 这 枚 硬 币 是 正 品 硬 币 的 概 率 是 多 少 ？解 ： 设 事 件 A=“ 所 取 硬 币 为 正 品 ” ， 事 件 B =“ 所 取 硬 币 掷 3次 均 出 现 国 徽 ” 。所 求 概 率 为 P(A |B)= P(A) = ， P(B |A) = ， P() = ， P()=1。所 以 P(A | B)=。 27. 袋 中 装 有 编 上 号 码 1,2, ,9的 九 个 性 质 相 同 的 球 ， 从 袋 中 任 取 5个 球 ， 以 X表 示 所 取 的 5个 球 中 偶 数 号 球 的 个 数 ， 求 ：（ 1） X的 分 布 律 ； （ 2） 其 中 至 少 有 两 个 偶 数 号 球 的 概 率 。解 ： X的 全 部 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 4 （ 1） ， ， , （ 2） 2 8 . 从 大 批 彩 色 显 像 管 中 随 机 抽 取 100只 ,其 平 均 寿 命 为 10000小 时 ,可 以认 为 显 像 管 的 寿 命 服 从 正 态 分 布 .已 知 均 方 差 小 时 ,在 置 信 度 0.95下 求 出 这 批 显 像 管 平 均 寿 命 的 置 信 区 间 。 （ 注 ： ）解 ： 这 批 显 像 管 平 均 寿 命 的 置 信 区 间 为 29. 某 维 尼 龙 厂 根 据 长 期 正 常 生 产 积 累 的 资 料 知 道 所 生 产 的 维 尼 龙 纤 度 服 从 正 态 分 布 ， 它 的 均 方 差 为 0.048。 某 日 随 机 抽 取 5根 纤 维 ， 测 得其 纤 度 为 1.32， 1.55， 1.36， 1.40， 1.44。 问 该 日 所 生 产 得 维 尼 龙 纤 度 的 均 方 差 是 否 有 显 著 变 化 （ 显 著 水 平 =0.1） ？（ 注 ： ） 解 ： ： ， ： 检 验 统 计 量 为 ， 计 算 得 ， ， 对 ， 自 由 度 n-1=4， 得 因 为 ， 所 以 拒 绝 H0， 即 可 以 认 为 该 日 的 方 差 与 往 常 的 方 差 有 显 著 差 异 。