资源描述
19 习题 1.4 1 某班级学生的考试成绩数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，这两门课都不及格的占 3% （1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设 A =“数学不及格” ，B =“语文不及格” ，有 P (A) = 0.15，P (B) = 0.05，P (AB) = 0.03， （1）所求概率为 2 . 0 15 . 0 03 . 0 ) ( ) ( ) | ( = = = A P AB P A B P ； （2）所求概率为 6 . 0 05 . 0 03 . 0 ) ( ) ( ) | ( = = = B P AB P B A P 2 设一批产品中一、二、三等品各占 60%, 35%, 5%从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是 一等品的概率 解：设 A, B, C 分别表示“取出一、二、三等品” ，有 P (A) = 0.6，P (B) = 0.35，P (C ) = 0.05， 故所求概率为 19 12 05 . 0 1 6 . 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) | ( = = = = C P A P C P C A P C A P 3 掷两颗骰子，以 A 记事件“两颗点数之和为 10” ，以 B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数” ，试求 条件概率 P (A | B ) 和 P (B | A ) 解：样本点总数 n = 6 2 = 36， 则事件 A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数 k A = 3，有 36 3 ) ( = A P ， 事件 B 中所含样本点个数 k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有 36 15 ) ( = B P ， 事件 AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数 k C = 1，有 36 1 ) ( = AB P ， 故 15 1 36 15 36 1 ) ( ) ( ) | ( = = = B P AB P B A P ， 3 1 36 3 36 1 ) ( ) ( ) | ( = = = A P AB P A B P 4 以某种动物由出生活到 10 岁的概率为 0.8，而活到 15 岁的概率为 0.5，问现年为 10 岁的这种动物能 活到 15 岁的概率是多少？ 解：设 A, B分别表示“这种动物能活到 10 岁, 15 岁” ，有 P (A) = 0.8，P (B) = 0.5， 故所求概率为 8 5 8 . 0 5 . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( = = = = A P B P A P AB P A B P 5 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品 的概率 解：设 A =“其中一件是不合格品” ，B =“两件都是不合格品” ，有 AB = B，样本点总数 45 2 10 = = n ， 事件 A 中所含样本点个数 30 6 24 2 4 1 6 1 4 = + = + = A k ，得 45 30 ) ( = A P ， 事件 AB = B中所含样本点个数 6 2 4 = = B k ，得 45 6 ) ( ) ( = = B P AB P ， 20 故所求概率为 2 . 0 45 30 45 6 ) ( ) ( ) | ( = = = A P AB P A B P 6 设 n 件产品中有 m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的 概率 解：设 A =“两件中至少有一件是合格品” ，B =“两件都是合格品” ，有 AB = B， 样本点总数 2 ) 1 ( 2 = = n n n N ， 事件 A 中所含样本点个数 2 ) 1 )( ( 2 ) 1 )( ( ) ( 2 1 1 + = + = + = m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得 ) 1 ( ) 1 )( ( ) ( + = n n m n m n A P ， 事件 AB = B中所含样本点个数 2 ) 1 )( ( 2 = = m n m n m n k B ， 得 ) 1 ( ) 1 )( ( ) ( ) ( = = n n m n m n B P AB P ， 故所求概率为 1 1 ) 1 ( ) 1 )( ( ) 1 ( ) 1 )( ( ) ( ) ( ) | ( + = + = = m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P 7 掷一颗骰子两次，以 x, y 分别表示先后掷出的点数，记 A = x + y y， 求 P (B | A )，P (A | B ) 解：样本点总数 n = 6 2 = 36， 则事件 A 中所含样本点个数 k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有 36 30 ) ( = A P ， 事件 B 中所含样本点个数 k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有 36 15 ) ( = B P ， 事件 AB 中所含样本点个数 k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有 36 13 ) ( = AB P ， 故 30 13 36 30 36 13 ) ( ) ( ) | ( = = = A P AB P A B P ， 15 13 36 15 36 13 ) ( ) ( ) | ( = = = B P AB P B A P 8 已知 P (A) = 1/3，P (B | A) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求 P (A B ) 解：因 12 1 4 1 3 1 ) | ( ) ( ) ( = = = A B P A P AB P ， 2 1 6 1 12 1 ) | ( ) ( ) ( = = = B A P AB P B P ， 故 4 3 12 1 2 1 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( = + = + = AB P B P A P B A P U 9 已知 3 . 0 ) ( = A P ，P (B ) = 0.4， 5 . 0 ) ( = B A P ，求 ) | ( B A B P U 解：因 2 . 0 5 . 0 3 . 0 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( = = = = B A P A P B A P A P AB P ， 21 且 8 . 0 5 . 0 4 . 0 1 3 . 0 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( = + = + = + = B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故 25 . 0 8 . 0 2 . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) | ( = = = = B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U 10设 A, B 为两事件，P (A) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求 ) | ( B A P 解：因 18 1 6 1 3 1 ) | ( ) ( ) ( = = = B A P B P AB P ，有 18 11 18 1 3 1 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( = + = + = AB P B P A P B A P U ， 则 18 7 18 11 1 ) ( 1 ) ( ) ( = = = = B A P B A P B A P U U ，且 3 2 3 1 1 ) ( 1 ) ( = = = B P B P ， 故 12 7 3 2 18 7 ) ( ) ( ) | ( = = = B P B A P B A P 11口袋中有 1 个白球，1 个黑球从中任取 1 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的 黑球放回的同时，再加入 1 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率 （1）取到第 n 次，试验没有结束； （2）取到第 n 次，试验恰好结束 解：设 A k =“第 k 次取出的是黑球” ，k = 1, 2, （1）所求概率为 P (A 1 A 2 A n 1 A n ) = P (A 1 A 2 A n 1 )P (A n | A 1 A 2 A n 1 ) 1 1 1 3 2 2 1 ) | ( ) | ( ) ( 1 2 1 1 2 1 + = + = = n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为 ) | ( ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 1 2 1 = n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L ) 1 ( 1 1 1 3 2 2 1 ) | ( ) | ( ) ( 1 2 1 1 2 1 + = + = = n n n A A A A P A A P A P n n L L L 12一盒晶体管有 8 只合格品，2 只不合格品从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品 的概率 解：设 A 1 , A 2 分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品” ，B 表示“第二次取出的是合格品” ， 故所求概率为 8 . 0 90 72 9 8 10 2 9 7 10 8 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 = = + = + = A B P A P A B P A P B P 13甲口袋有 a个白球、b 个黑球，乙口袋有 n 个白球、m个黑球 （1）从甲口袋任取 1 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率； （2）从甲口袋任取 2 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率 解： （1）设 A 0 , A 1 分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球” ，B 表示“从乙口袋取出的是白球” ， 故所求概率为 P (B) = P (A 0 )P (B | A 0 ) + P (A 1 )P (B | A 1 ) ) 1 )( ( ) 1 ( 1 1 1 + + + + + = + + + + + + + + = n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设 A 0 , A 1 , A 2 分别表示“从甲口袋取出的是 2 个白球、1个白球 1 个黑球、2 个黑球” ， B 表示“从乙口袋取出的是白球” ， 故所求概率为 P (B) = P (A 0 )P (B | A 0 ) + P (A 1 )P (B | A 1 ) + P (A 2 )P (B | A 2 ) 22 2 ) 1 )( ( ) 1 ( 2 1 ) 1 )( ( 2 2 2 ) 1 )( ( ) 1 ( + + + + + + + + + + + + + + + + = m n n b a b a b b m n n b a b a ab m n n b a b a a a ) 2 )( 1 )( ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( + + + + + + + + = m n b a b a n b b n ab n a a 14有 n 个口袋，每个口袋中均有 a 个白球、b 个黑球从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从 第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第 n 1个口袋中任取一球放入第 n 个口袋， 最后再从第 n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率 解：设 A k 表示“从第 k个口袋取出的是白球” ， 当 k = 1 时，有 b a a A P + = ) ( 1 ， 设对于 k 1，有 b a a A P k + = ) ( 1 ， 则 1 1 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 1 1 1 + + + + + + + + = + = b a a b a b b a a b a a A A P A P A A P A P A P k k k k k k k b a a b a b a b a a b a b a ab a a + = + + + + + = + + + + + = ) 1 )( ( ) 1 ( ) 1 )( ( ) 1 ( ， 故由数学归纳法可知，对任意自然数 k， b a a A P k + = ) ( ，即 b a a A P n + = ) ( 15钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 50%、30%和 20%，而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是 0.8、0.3和 0.1试求找到钥匙的概率 解：设 A 1 , A 2 , A 3 分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上” ，B 表示“找到钥匙” ， 故所求概率为 P (B) = P (A 1 )P (B | A 1 ) + P (A 2 )P (B | A 2 ) + P (A 3 )P (B | A 3 ) = 0.5 0.8 + 0.3 0.3 + 0.2 0.1 = 0.51 16两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06， 加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍 （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率 解：设 A 1 , A 2 分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件” ，B表示“取出的是合格品” ， （1）所求概率为 96 . 0 94 . 0 3 1 97 . 0 3 2 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 = + = + = A B P A P A B P A P B P ； （2）所求概率为 5 . 0 04 . 0 06 . 0 3 1 ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) | ( 2 2 2 2 = = = = B P A B P A P B P B A P B A P 17有两箱零件，第一箱装 50 件，其中 20 件是一等品；第二箱装 30 件，其中 18 件是一等品，现从两箱 中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求 （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率 解：设 A 1 , A 2 分别表示“挑出第一箱、第二箱” ，B 1 , B 2 分别表示“第一次、第二次取出的是一等品” ， （1）所求概率为 5 . 0 30 18 2 1 50 20 2 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1 1 = + = + = A B P A P A B P A P B P ； （2）因 14210 3601 29 17 30 18 2 1 49 19 50 20 2 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 = + = + = A B B P A P A B B P A P B B P ， 故所求概率为 5068 . 0 7105 3601 5 . 0 14210 3601 ) ( ) ( ) | ( 1 2 1 1 2 = = = = B P B B P B B P 23 18学生在做一道有 4 个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测现从卷 面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率 （1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2； （2）学生知道正确答案的概率是 0.2 解：设 A 1 , A 2 分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测” ，B表示“题答对了” ， （1）因 P (A 1 ) = 0.5，P (A 2 ) = 0.5， 故所求概率为 8 . 0 625 . 0 5 . 0 25 . 0 5 . 0 1 5 . 0 1 5 . 0 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 2 2 1 1 1 1 1 = = + = + = A B P A P A B P A P A B P A P B A P ， （2）因 P (A 1 ) = 0.2，P (A 2 ) = 0.8， 故所求概率为 5 . 0 4 . 0 2 . 0 25 . 0 8 . 0 1 2 . 0 1 2 . 0 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 2 2 1 1 1 1 1 = = + = + = A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者，今从男女比例为 22:21 的人群中随机地 挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设 A 1 , A 2 分别表示“此人是男性、女性” ，B表示“此人是色盲患者” ， 故所求概率为 9544 . 0 0025 . 0 43 21 05 . 0 43 22 05 . 0 43 22 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 2 2 1 1 1 1 1 = + = + = A B P A P A B P A P A B P A P B A P 20口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意 取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？ 解：设 A 1 , A 2 分别表示“原来那个球是白球、黑球” ，B 表示“取出的是白球” ， 故所求概率为 3 2 75 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 5 . 0 1 5 . 0 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 2 2 1 1 1 1 1 = = + = + = A B P A P A B P A P A B P A P B A P 21将 n 根绳子的 2n 个头任意两两相接，求恰好结成 n 个圈的概率 解：样本点总数为 N = (2n 1) (2n 3)3 1 = (2n 1)!， 事件 A =“恰好结成 n 个圈”所含样本点个数 K = 1， 故所求概率为 ! )! 1 2 ( 1 ) ( = n A P 22m个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余 m 1个人中的 任何一个求第 n 次传球时仍由甲传出的概率 解：设 A k 表示“第 k 次传球时由甲传出” ，k = 1, 2, ，有 P (A 1 ) = 1， 则 ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 0 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 = + = + = k k k k k k k k k A P m m m A P A A P A P A A P A P A P ， 故 = = ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 n n n A P m m m m A P m m A P ) ( 1 1 1 1 1 1 1 2 2 + = n A P m m m ) ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 A P m m m m m n n n n n n + + + + = L 24 = = + + = 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 n n n n m m m m m m m m L 23甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷每当某人掷出 1 点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求 第 n 次由甲掷的概率 解：设 A k 表示“第 k 次由甲掷骰子” ，k = 1, 2, ，有 P (A 1 ) = 1， 则 ) ( 3 2 6 1 6 1 ) ( 1 6 5 ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 + = + = + = k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故 ) ( 3 2 6 1 3 2 6 1 ) ( 3 2 6 1 3 2 6 1 ) ( 3 2 6 1 ) ( 2 2 2 1 + + = + + = + = n n n n A P A P A P A P 1 1 1 1 1 2 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 6 1 ) ( 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 + = + = + + + + = n n n n n A P L 24甲口袋有 1 个黑球、2 个白球，乙口袋有 3 个白球每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口 袋求交换 n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率 解：设 A k 表示“交换 k次后黑球在甲口袋中” ，k = 1, 2, ，有 P (A 0 ) = 1， 则 ) ( 3 1 3 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 + = + = + = k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故 ) ( 3 1 3 1 3 1 ) ( 3 1 3 1 3 1 3 1 ) ( 3 1 3 1 ) ( 2 2 2 2 1 + + = + + = + = n n n n A P A P A P A P n n n n n A P + = + = + + + + = 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 ) ( 3 1 3 1 3 1 3 1 0 2 L 25假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为 p， 变的概率为 1 p设第一天无雨，试求第 n 天也无雨的概率 解：设 A k 表示“第 k 天也无雨” ，k = 1, 2, ，有 P (A 1 ) = 1， 则 ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 p A P p A P A A P A P A A P A P A P k k k k k k k k k + = + = = 1 p + (2p 1) P (A k 1 )， 故 P (A n 1 ) = 1 p + (2p 1) P (A n 1 ) = 1 p + (2p 1)1 p + (2p 1) P (A n 2 ) = 1 p + (2p 1)(1 p) + (2p 1) 2 P (A n 2 ) = 1 p + (2p 1)(1 p) + + (2p 1) n 2 (1 p) + (2p 1) n 1 P (A 1 ) 1 1 1 ) 1 2 ( 2 1 2 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 ( + = + = n n n p p p p p 26设罐中有 b个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入 c（c 0）个同色的 球试证：第 k 次取到黑球的概率为 b/(b + r)，k = 1, 2, 证：设 B k (b, r) 表示“罐中有 b 个黑球、r 个红球时，第 k 次取到黑球” ，k = 1, 2, ， 25 用数学归纳法证明 r b b r b B P k + = ) , ( ( ， 当 k = 1 时， r b b r b B P + = ) , ( ( 1 ，结论成立， 设对于 k 1，结论成立，即 r b b r b B P k + = ) , ( ( 1 ， 对于 k，设 A 1 , A 2 分别表示“第一次取到黑球、红球” ， 有 P (B k (b, r) | A 1 ) = P (B k 1 (b + c, r)，P (B k (b, r) | A 2 ) = P (B k 1 (b, r + c)， 则 P (B k (b, r) = P (A 1 ) P (B k (b, r) | A 1 ) + P (A 2 ) P (B k (b, r) | A 2 ) = P (A 1 ) P (B k 1 (b + c, r) + P (A 2 ) P (B k 1 (b, r + c) r b b c r b r b br c b b c r b b r b r c r b c b r b b + = + + + + + = + + + + + + + + = ) )( ( ) ( ， 故对于 k，结论成立， r b b r b B P k + = ) , ( ( 27口袋中 a 个白球，b 个黑球和 n 个红球，现从中一个一个不返回地取球试证白球比黑球出现得早的 概率为 a/(a + b)，与 n 无关 证：设 B n 表示“口袋中有 n 个红球时白球比黑球出现得早” ，n = 0, 1, 2, ， 用数学归纳法证明 b a a B P n + = ) ( ，与 n 无关， 当 n = 0 时，显然有 b a a B P + = ) ( 0 ，结论成立， 设对于 n 1，结论成立，即 b a a B P n + = ) ( 1 ， 对于 B n ，设 A 1 , A 2 , A 3 分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球” ，有 P (B n | A 3 ) = P (B n 1 )， 则 P (B n ) = P (A 1 ) P (B n | A 1 ) + P (A 2 ) P (B n | A 2 ) + P (A 3 ) P (B n | A 3 ) = P (A 1 ) 1 + P (A 2 ) 0 + P (A 3 ) P (B n 1 ) b a a b a n b a an b a a b a a n b a n n b a a + = + + + + + = + + + + + + = ) )( ( ) ( ， 故对于 n，结论成立， b a a B P n + = ) ( ，与 n 无关 28设 P (A) 0，试证 ) ( ) ( 1 ) | ( A P B P A B P 证： ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( A P B P A P B A P A P B A P A P A P AB P A B P = = = 29若事件 A 与 B 互不相容，且 0 ) ( B P ，证明： ) ( 1 ) ( ) | ( B P A P B A P = 证：因事件 A 与 B 互不相容，有 B A ，故 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( B P A P B P A P B P B A P B A P = = = 30设 A, B 为任意两个事件，且 A B，P (B) 0，则成立 P (A) P (A | B) 证： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( A P B P A P B P AB P B A P = = 26 31若 ) | ( ) | ( B A P B A P ，试证 ) | ( ) | ( A B P A B P 证：因 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P = = = ，有 P (AB)1 P (B) P (B)P (A) P (AB)， 则 P (AB) P (A) P (B)，得 P (AB)1 P (A) P (A)P (B) P (AB)， 故 ) | ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( A B P A P B A P A P AB P B P A P AB P A B P = = = 32设 P (A) = p，P (B) = 1 ，证明： 1 ) | ( 1 p B A P p 证：因 P (AB) P (A) = p，且 P (AB) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) 1 = p + 1 1 = p ， 故 p P (AB) p，即 = = 1 1 ) ( ) ( ) ( ) | ( 1 p AB P B P AB P B A P p 33若 P (A | B) = 1，证明： 1 ) | ( = A B P 证：因 1 ) ( ) ( ) | ( = = B P AB P B A P ，有 P (AB) = P (B)， 则 P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = P (A)，即 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( B A P B A P B A P A P A P = = = = U U ， 故 1 ) ( ) ( ) | ( = = A P B A P A B P
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