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江汉大学 20122013 学年第 一 学期 考 试 试 卷 一、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1. 设 、 A B为两个事件， , ()0 . 5 PA () 0 PA B. 2 ，则() PA B 2. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别为 3 21 5 32 , , ，则 3 人中恰好有 2 人合格的概率 为 2 31 21 2 3 () xx Xfx e 3. 设 ， ，且 (0,6) YU X Y 、 相互独立，则 () E XY _， _， _. 2 () EX (6) DY X 4. 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验， p 时，成功次数的标 准差最大，最大值为_. 5. 设由来自正态总体 X N( , )，容量为 9 的简单随机样本计算得样本值 2 0.9 5 x ，则 未 知参数 的置信度为 0.95的置信区间是_ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1 若事件 、 A B同时发生的概率为 ， 则 ( ) ()0 PA B = () A , A B 不相容； () B AB是不可能事件； () C AB f = 未必成立； () D ()0 PA 或 ()0 PB X , )的联合密度函数为 2. 设随机变量( Y , 0 1 ,0 1 (,) Cxy x y fxy 0, 其他 ， 则下列叙述正确 的是 () A 2, CP 1 2 XY ； () B 0 PX Y ； ( ) () C 2, 1 4 CP XY ； () D 4, 1 2 CP XY 3. 设随机变量 X 的方差为 25， 则根据 Chebyshev不等式有 | ( ) | 10 PXEX ( ) () A 0.25 ； () B 0.25 ； () C 0.75 ； () D 0.75 4. 设 12 (,) n XXX 是取自总体 2 (0, ) N 的样本， 则可作为 2 无偏估计量的是 ( ) () A 1 1 n i i X n ； () B 1 1 1 n i i X n ； () C 2 1 1 1 n i i X n ； () D 2 1 1 n i i X n 5. 在假设检验问题中， 如果检验方法选择正确， 计算也没有错误， 则 ( ) () A 仍有可能作出错误判断； () B 不可能作出错误判断； () C 计算更精确些就可避免做出错误判断； () D 增加样本容量就不会作出错误判断 三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1. 某地气象预报表明， 在一年中有 1 5 的日子预报下雨， 有 4 5 的日子预报不下雨. 某位王先生， 若预报下雨必带伞；若预报不下雨带伞的概率为 1 8 ，求： (1)这位王先生带伞的概率；(2) 某日发现这位王先生带伞，则这天预报下雨的概率是多少？ X 的密度函数为： ，试求： (1) ,0 () 0, x X ex fx 其他 X 的分布函数 () F x ； 2. 随机变量 (2) 的概率密度 2 YX () Y f y 3. 设( X ,Y )服从单位圆 上的均匀分布. 求： 22 1 xy (1) X 与Y 的边缘密度函数；(2) X 与 是否相互独立；(3)求 . Y PX Y 1 2 4. 设随机变量 X 的密度函数为 2 ,0 1 () 0, X ax bx c x fx 其他 ，已知 ， ，求系数 ()0 . 5 EX ()0 . 1 5 DX , , . abc 5. 炮火轰击敌方防御工事 100 次，每次攻击命中的炮弹数服从同一分布，其数学期望为 2， 均方差为 1.5. 若多次轰击命中的炮弹数是相互独立的，试用中心极限定理 求 100 次轰击至 少命中 180发但不超过 220 发的概率. ( (1.33) 0.9082 ) 6设总体 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 2 2( 1 ) 2 (1 ) 其中 (0 1) 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值： 123 1, 2, 1 xxx ，求参数 的 矩估计值 和最大似然估计值 7. 设某次考试的成绩服从正态分布，随机抽取了 36 位考生的成绩，算得平均分为 66.5 分， 标准差为 ，问：在显著性水平 15 s 0.05 下，是否可以认为这次考试的平均成绩为 70 分？ ( 已知 ， 0.025 (35) 2.0301 t 0.025 (36) 2.0281 t ， 0.05 (35) 1.6869 t ， ) 0.05 (36) 1.6833 t 江汉大学 20122013 学年第 一 学期 试卷评分参考答案（A卷） 一、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1. 0.7 2. 13 30 3. 6, 25 6 ，9 4. 1 2 ， 5 5. (50 0.025 . 3 z ) 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） C D D D A 三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1解：设事件 为“预报下雨”； A B为事件“王先生带伞”。由已知 1 5 () PA ， 4 5 () PA ， (|)1 PBA ， 1 8 (|) PBA 。 (1)由全概率公式得“王先生带伞”的概率为： 3 114 55 81 () (|)() (|)1 PB PBAPA PBA 0 6分 (2)由贝叶斯(Bayes)公式得“某日发现王先生带伞，则这天预报下雨”的概率为： 1 5 2 3 3 10 1 (|)() (|) () PBAPA PAB PB 10分 2解：(1) 由分布函数定义： 0 0 0, 0 0, 0 () () 0, 0 1, 0 x x X t x x x Fx PX x f td t dt e dt x ex 5分 (2) 有 2 YX 2 () ygxx ， 在 时， 0 x () g x 严格单调递增， 具有反函数 () x hy y ， 又有 1 2 1 2 y () hy ，解得Y 的概率密度为： 2 X 1 2 , 0 () 0, 0 y X y y fy y e 1 0分 3解：(1)当11 x 时， 2 2 1 2 1 12 () (,) 1 x X x f x f x y dy dy x ； 而当 1 x 时，因 ，故 (,) 0 fxy () 0 X fx ，综合得 X 的概率密度为： 2 2 1, 1 () 0, X 1 x x fx 其他 ， 同理， 2 2 1, 1 () 0, Y yy fy 1 其他 。 4分 (2) 因 (,) () () XY f xy f xf y ，故 X 与Y 不独立。 (3) 即是(, PX Y ) X Y 落入区域 22 ( , ) | , 1 Gx yxy xy 的概率，有 1 2 G PX Y d x d y 1 。 10分 4解：由密度函数性质有 1 2 0 32 () ( ) 1 X ab f xd x a x b x cd x c 由 有 () 0 . 5 Ex 1 2 0 432 () ( ) 0 . 5 X abc x f xd x xa x b x cd x 由 1 22 22 2 0 5 43 ( ) ()() ) () ( ) 0 . 4 X abc Ex Dx Ex xf xd x xa x b x cd x 联立，解得 1 0分 12, 12, 3 abc 5解：设 k X 表示第 次轰击命中的炮弹数，则 k 1 2 100 , XXX 相互独立。依题意， ；设 2 ( , ( 1.5 ( 1,2, ,100) EX D k ) 2 ) kk X X 表示 100 次轰击命中的炮弹数，则 ，由中心极限定理有 100 1 XX , ( 200, ( ) 225 k k D X ) E X () 2 0 0 ( 0 , 1 ) () 225 XEXX N DX （近似地服从）， 5分 所求概率为 180 200 200 220 200 180 220 225 225 225 (1.33) ( 1.33) 2 (1.33) 1 0.8164. X PXP 1 0分 6解：(1) 总体一阶矩 22 1 () 22( 1)3( 1)32 aE X ，解得 1 1 2 (3 ) a ，用样本一阶矩 X A 代替 得 1 a 的矩估计量为 1 2 (3 ) X 。 由已知 123 114 3 33 () ( 1 2 1 ) xxxx ，故 的矩估计值为 5 6 . 4分 (2) 由给定样本值得似然函数： 3 22 123 1 () 1 2 1 2( 1) ( 1)2( 1) ii i L PX x PX PX PX 5 两边取对数： ln ( ) ln 2 5ln ln(1 ) L 令 ln ( ) 5 1 0 1 dL d ，解得 5 6 即为参数 的极大似然估计值。 1 0分 7解：已知 0.05 ， ， 36 n 66.5, 15 x s ，方差 2 未知； 假设检验为 00 :7 H 0 ， 10 : H ，用T 检验。 选用检验统计量 ( 1 ) X tt sn n ， 4分 拒绝域为 0.025 2 (1 ) ( 3 5 )2 . 0 3 0 ttn t 1 计算 0 66.5 70 36 1.5 2.0301 15 x t sn ，不在拒绝域内。 故在显著性水平 05 . 0 下接受 0 H ，即可以认为这次考试的平均成绩为 70 分。 10 分 学院 数 计 出卷教师 王 岑 系主任签名 制卷份数 专 业 班级编号 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 考 试 试 卷 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 试卷类型：A 、B 卷 考试形式：开 、闭 卷 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 总分人 得 分 得分 评分人 一、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1. 设 、 A B 为两个事件， ， , ，则 A B 2 . 6 ()0 . PA ()0 PB ( A ) PB ， ( PAB) 2. 每次试验的成功率为 ， 则 3次独立重复试验中至少失败一次的概率为 (0 1) pp 3. 设 2 44 4 1 () 2 xx Xfx e ，YU ，且 (0,6) X Y 、 相互独立，则 () E XY ， 2 () EX ， ( DY X 1 ) . X 1 2 3 P 0.2 k 0.4 k 4. 设离散型随机变量X 的分布律如右表，则 ，且 1 3 PX ， () F x . 5. 设正态总体X N( , 2 0 )，其中 未知， 2 0 已知， 12 , n XXX 为其样本， 的置信度 为1 的双侧置信区间为 0 () n 2 Xz ，则 0 2 z n PX (其中 2 z 为 标准正态分布的上 2 分位点) 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 得分 评分人 1若任意两事件 和 A B ( ) () A 若AB ，则 、 A B一定独立； () B 若AB ，则 、 A B有可能独立； () C 若AB =，则 、 A B一定独立； () D 若AB =，则 、 A B一定不独立 设随机变量的概率密度为 2 , 1 () 0, 1 bx x fx x ， 则b B ) ( () A 3 2 () B 1； () C 1 ； () D 1 2 3. 设随机变量X 的方差为 45， 则根据 Chebyshev不等式有 | ( ) | 10 PXEX ( ) () A 0.45 ； () ； () B 0.45 C 0.55 ； () D 0.55 1 4. 设 12 (,) n XXX 是取自总体X 的一个样本， () EX ， 2 () DX ，X 和 是样本 均值和样本方差， 若 2 S 22 () X cS 是 2 的无偏估计， 则c _ _ _ _ ( ) () A 1； ( ) B 2 1 n ； () C 1 n ； . () D n 5. 在假设检验问题中， 若 1 H 为备择假设， 则称_为犯第二类错误。 ( ) () A 1 H 为真，接受 1 H ； () B 1 H 不为真，接受 1 H ； () C 1 H 为真，不接受 1 H ； () D 1 H 不为真，不接受 1 H 三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1. 设 8 支枪中已有 5 支经试射校正，有 3 支未试射校正。一射手用校 正过的枪射击时，中靶概率为 0.8，而用未试射校正的枪射击，中靶的 概率为 0.3。今从 8 支枪中任选一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的枪的概 率。 得分 评分人 2. 设随机变量X 的概率密度为 2 2 , 0 (1 ) () 0, 0 X x x fx x ， 试求随机变量Y 的概率密 度。 lnX 2 3. 设随机变量(,) Y 的概率密度为 2 , 0 1 , 0 2 (,) 3 0, xy xx fxy y 其他 ，试求(1) X X ,Y 的 边缘概率密度；(2)判断 , X Y 是否相互独立；(3)求概率1 PX Y 。 X 具有概率密度 1 cos , | | ()2 0, xx fx 2 其他 ，试求X 的期望及方差. 4. 随机变量 5. 一学校有 100 名住校生，每人都以 80%的概率去图书馆自习，试问图书馆至少应设多少 个座位， 才能以 99%的概率保证去上自习的同学都有座位。 ( ) (2.33) 0.99 3 4 6. 设 1 X ， 2 X ， n X 为来自总体X 的一个样本，X 的概率密度为 , 0 1 (; 1 1 x 2 0, , ) x fx 其他 ，其中 是未知参数 (0 1) k 1 ，记 为样本值x ， 2 x ， n x 中小于 1 的个数，试求：(1) 的矩估计量；(2) 的极大似然估计量。 7. 已知某厂生产一批某种型号的汽车蓄电池，由以往的经验知其寿命X (单位：年)近似服 从正态分布 。现从中任意取出 13 个蓄电池，计算得样本均方差为 ，取显 著性水平 2 (, 0 . 8) N 0.10 0.92 s ，试问这批蓄电池寿命的方差是否有明显改变？ ( 2 0.1 2 (12) 21.026 ， 2 10 . 12 (12) 5.226 ) 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 试卷评分参考答案（A卷） 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 一、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1. 0.4，0.2 2. 1 3 p 3. 6，6，5 4. 0.4，0.8， 0, 1 0.2, 1 2 0.6, 2 3 1, 3 x x x x 5. 1 2 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） B B D C C 三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1 解 设 选出的枪是经试射校正过的， A B 射击中靶 ， 则由题设条件知 ()58 PA ， ()38 PA ， ， (|)0 . 8 PBA (|)0 . 3 PBA .故由 Bayes公式可所求概率为 5分 5 0.8 ()() 8 (|) 0 . 8 1 6 3 53 ()(|) ()(|) 0.8 0.3 88 PAPB PAB PAPBA PAPBA X y 1 0分 2解 因为 的分布函数为 ln Y () l n () y Y X F yP YyPXyP XeFe 5分 故Y 的概率密度为 lnX 2 2 () ( ) , (1 ) y yy YX y e fyfee y e 10分 3解 (1) X 的边缘概率密度为 2 2 0 1 () 2 ( ) , 0 () (,) 33 0, X xy 1 x dy x x x fx fxy d y 其他 Y 的边缘概率密度为 1 2 0 1 () ( 1 ) , 0 () (,) 332 0, Y xy y xd x y fy fxyd x 2 其他 4分 (2)因为 (,) () () XY f xy f xf y ，故 , X Y 不是相互独立的. 5分 (3)所求的概率为： 12 1 22 1 01 0 1 01 02 1 22 0 1 ( , ) ()() | 33 111 16 5 (1 ) 4 (1 ) (2 ) 63 4 6 1 2 x x xy x y xy xy P X Y f x y dxdy dx x dy x dx x xx xd x 2 7 2 10分 4解： 2 2 1 () () c o s 0 2 EX x fxd x x x d x 3分 22 2 22 222 2 0 00 2 1 () () c o s c o s s i n|2s i n 2 E X x f x dx x xdx x xdx x x x xdx 2 22 22 2 0 0 ( ) 2 cos | 2 cos ( ) 2sin | 2 22 xx x d x x 0 4 7分 22 22 () ()() 20 2 44 DX EX EX 10分 5解 设需设 个座位，令 ，则有 n 1 0 0 X 名住校生中去图书馆自习的人数 (100,0.8) XB ，且 ， ()1 0 00 . 8 EX ( ) 100 0.8 0.2 DX . 3分 利用隶莫佛拉普拉斯中心极限定理得 100 0.8 100 0.8 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2 100 0.8 80 ( ) ( ) 0.99 4 100 0.8 0.2 Xn PX n P nn 7分 查表得 80 2.33 4 n ，即 ，所以该图书馆至少应设 90 个座位. 10分 89.32 n 6解 (1)由总体 X 的概率密度计算可得其数学期望为 12 01 33 () () ( 1) ( 1) 22 2 EX x fxd x xd x x d x 设 1 X ， 2 X ， n X 为来自总体 X 的一个样本，其样本均值为 X ，则令 3 () 的矩估计量为 1 33 1 22 n i i X X n . 4分 2 EXX ，解之得 ( 2) 由已知，k 为样本值 1 x ， 2 x ， n x 小于 1 的 个数，由概率密度建立似然函数 () L 1 () (;) ( 1)( 1)( 1) n kn i k i nk Lf x k 取对数得 ln ( ) ln( ) ( ) ln(1 ) Lkn k 对 求导数，并令其为 0，得对数似然方程 ln ( ) 0 1 dL knk d 解得 的极大似然估计值为 k n 若记 为 K 1 X ， 2 X ， n X 中小于 1 的个数，则 K n 为 的极大似然估计量.10分 7解 这是正态总体 2 (, ) N 均值 未知时，关于方差 2 的双边检验问题： (1) 根据实际问题提出假设： 222 01 :0 . 8 ;:0 . HH 2 8 (2)显著水平 0.10 ，确定样本容量 13 n 4分 (3)选择统计量： 2 2 2 (1 ) nS ，在 0 H 为真时，检验统计量 2 22 2 (1 ) (1 nS n ) (4)查表可得 2 0.1 2 (12) 21.026 ， 2 10 . 12 (12) 5.226 确定 0 H 的拒绝域为 2 2 (1 ) 21.026 nS 或 2 2 (1 ) 5.226 nS (5)根据题设 ，由样本值计算 ，及检验统计量的观测值 2 0.8 2 2 2 0.92 s 22 22 (1 )1 20 . 9 2 15.87 (5.226,21.026) 0.8 ns 落在接受域内，所以应接受 0 H ，即在显著性水平 0.10 下，可以认为这批蓄电池寿 命的方差没有明显改变. 10 分