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概率统计基本知识点测试 （ 120分钟，每小题 5分） 1、 已知 ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 3 ,P A P B P A B 则 ( | )P A B ( ) ， ()P AB ( )。 2、就考试成绩而论，目前的现状是女生优于男生，假设女生合格率 90%，男生合格率 80%； 一个班中有 20名男生， 10名女生，从该班随机抽取一份试卷，发现成绩合格，抽到的试卷 是女生卷的概率是： （ ） 3、设随机变量 X 的可能取值范围是 0到 2 之间的一个区间， sin( )x 是其概率密度，则该 区间是 （ ） 。 4、已知 X的分布函数 ( ) , ( ) F x A B a r c tg x x 。 则常数 A=（ ） 、 B=（ ） 、 ()fx （ ） 。 5、设 ( 2,1)XU , 2YX ，通过以下工作，体会 ()yfy的求法： （ 1） 0 2PY ( ), （ 2） ()YFy ( ), （ 3） ()Yfy ( ). 6、 设 X、 Y 为独立同分布的两个随机变量， (0XU， 1) ,按照以下步骤求 Z X Y的 密度函数。 （ 1） 写出联合密度函数 ( , )f x y （ ）； （ 2） 写出 ()ZFz （ ） （ 3）求出 Z的密度函数 ()zfz （ ） 7、 设 (X、 Y)在区域 D= 0 1, 0 x y x 内服从均匀分布，完成以下工作： （ 1） 写出联合密度函数 （ ）； （ 2） 写出边缘密度函数的计算式 ()xfx=（ ） ()yfy （ ） （ 3） 写出独立性判断的依据。 （ ） 8、 设 X 表示 10次独立重复射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为 0.4， 则 X （ ） ， EX （ ） DX （ ） 。 假设 (0,1)iX ，则 X 同 iX 的关系为： （ ） 9、 ( 3 , 4 ) ( 1 ) 0 . 5 , ( 2 3 )XYX N Y E D X Y 设 ， ， 则（ ） 10、已知 XY、 独 立 ，均服从 U(0， 1) 则 ()DXY ( ), (| |)E X Y （ ）（写出算式即可） 11、 设 2 (20)X , 利用切比雪夫不等式计算（写出表达式即可） 15 25=PX （ ） 12、 设 ( 1, 2 , , 2 0 )iXi 为总体 (0,1)XU 的一组样本， Y 为取值大于 0.5 的样本值 个数。 注：用 值表示即可】 （ 1） 利用中心极限定理计算 20 1(8 12)iiPX =（ ） （ 2） ( 12PY ） =（ ） 13、假设 ( ) 0 )xX f x e x (，通过以下工作，求 的矩估计量。 （ 1） ()EX （ ） （ 2）令 （ ） ， （ 3）从以上方程，解出 即得出 的矩估计量 = （ ） 14、 设 11 ( ) 0 )xX f x e x (， 12, , , nx x x 为一组样本，通过以下步骤求 的 极大似然估计。 第一步，写出似然方程 （ ） 第二步，写出对数似然函数 （ ） 第三步，写出似然方程 （ ） 第四步，求出 的极大似然估计值， （ ） 第五步，写出 的极大似然估计量 （ ） 另外，如果 （ ） ，则称 为 的无偏估计量。 15、 设 2 ( , )XN ,写出 置信水平为 1 0.05 的 （ 1） 的置信区间 （ ） （ 2） 的置信区间 （ ）。 16、如果 设 ( ,1)XN ,写出 的置信水平为 1 0.05 的置信区间 （ ） 17、一公司声称某种类型的电池平均寿命至少为 21.5 小时，有一实验室检验了该公司制造 的 6套电池，测得 220, 10 xs， 试问：这些实验结果是否表明，这种类型的电池低于该 公司所声称的寿命？ ( 0.05) ，通过填写一下空格，完成假设检验。 （ 1）设定原假设和备选假设： （ ） （ 2）选定检验统计量 （ ） （ 3）写出否定域： （ ） 18、对于正态总体 2( , )N ,原假设为 2 2 2 20 0 1 0: , :HH , 完成以下工作： （ 1）写出检验统计量 （ ） （ 2）写出否定域的表达式 （ ） 19、改进某种金属的热处理方法，要检验抗拉强度（单位： 2/kg cm ）有无显著提高。在 改进前取 12个试样，测 量并计算得 212 8 .6 7 , 6 .0 5 8 2 ;xS在改进后又取 12个试样，测量 并计算得 223 1 .7 5, 1 0 .2 0 4 5 .yS假定热处理前后金属的抗拉强度都服从正态分布，且总 体方差相等。问热处理后抗拉强度有无显著性提高。（ 5% ）。完成以下工作。 （ 1）设定原假设和备选假设： （ ） （ 2）选定检验统 计量 （ ） （ 3）写出否定域的表达式（不需要计算）： （ ） 20、假设 22 12 ( ) ( , )T t n F F n n (n) 、 、写出 2 TF、 、 的表达式。 2= （ ）； T ( ); F ( ) 答案 第 1题 (1) ( ) ( ) ( ) 0 .4 0 .2 1 ( ) ( ) 0 .4 2P B A P B P B AP B P B (2) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 . 5 0 . 4 0 . 2 0 . 3P A B P A B P A B P A P B P A B 第 2题 利用贝叶斯公式 10 .9 * 312 0 .9 * 0 .8 *33 P 第 3题 利用密度函数的非负性、归一性 , 0 22（ ， ） 或 （ ， ） 第 4题 利用分布函数的性质 ( ) 0 ( ) 1FF ， 112AB， 211( ) ( ) )1f x F x xx （ 第 5题 （ 1） 12 0 2 ( 2 1 ) 3P Y P x （ 2） 00 2 3() 1 3 Y y y Fy y 0 y 1 1 y 4 1 （ 3） 1 3 1 () 6y y fy y 0 y 1 y1 0 其 他 第 6题 （ 1） 1 0 1 , 0 1( , ) 0 xyf x y 其 他 （ 2） 2 2 0 1 2() 2 - )1 1 2 2 1 Z zo z 0z Fz z z （ 其 他 （ 3） ( ) 2 0 z z fz 0z 1 2-z 1z 其 他 第 7题 （ 1） 2( , ) 0 x, y ) Df x y （ 其 他 （ 2） 0( ) ( , ) 1 )xxf x f x y d y x （ 0 1( ) ( , ) 1 ) y yf x f x y d x x （ 0 （ 3）判断 ( , ) ( ) ( )xyf x y f x f y 是否成立，成立则独立，否则不独立 第 8题（ 1） (10,0.4)XB (2) 4, 2.4EX DX (3) 10 1 iiXX 第 9题 ( 2 3 ) 4 9 1 2 ( , )D X Y D X D Y C o v X Y = 4 * 4 9 * 1 1 2 * 0 . 5 * 2 * 1 1 1 第 10题（ 1） 利用独立性 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D X Y E X Y E X Y E X E Y E X E Y （ 2） 1 0 1 , 0 1( , ) 0 xyf x y 其 他 11 0 0 0 0( | | ) | | ( , ) ( ) ( )xyE X Y x y f x y d x d y d x x y d y d y y x d x 第 11 题 对于 2 2 0 , 4 0E X D X 分 布 ， 2 2 40( 1 5 2 5 ) ( | 2 0 | 5 ) 1 1 25P X P X (说明，本题目数字凑得不恰当，写出不等式即可） 第 12题 （ 1） 11( ) ,2 1 2 iiE X D X 20 20 1 1 20 * 0. 58 20 * 0. 5 12 20 * 0. 5 ( 8 12 ) ( )1 1 1 20 * 20 * 20 *12 12 12 i i i i X P X P 1 2 2 0 * 0 . 5 8 2 0 * 0 . 5( ) ( ) 112 0 * 2 0 * 1 2 1 2 （ 2） 2 0 2 0 * 0 . 5 1 2 2 0 * 0 . 5( 1 2) ( ) ( ) 2 0 * 0 . 5 * 0 . 5 2 0 * 0 . 5 * 0 . 5PY 第 13题 1EX 令 1EX X 1 X 第 14题 似然函数 11( ) ( ) ( ii xxiL f x e e n 1 )= 对数似然函数 ln ( ) ln ixLn 似然方程 2 0 ixn 极大似然估计值 x 极大似然估计量 X 是否无偏估计 检查 E 是否成立 第 15题 的置信区间 0 .0 2 5( ( 1 )sX t nn 的置信区间 22 22 1 ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) n S n S nn 第 16题 的置信区间 0.025()Xzn 第 17题 (说明，该题目漏掉寿命服从正态分布的说明 ） （ 1） 原假设及备选假设 01: 2 1 . 5 , : 2 1 . 5HH （ 2） 检验统计量 0XT Sn （ 3） 否定域 ( 1)T t n 0 1 2:,H 第 18题 检验统计量 22 2( 1)ns 否定域 220 ( 1)n 第 19题 原假设及备选假设 0 1 2:H 1 1 2:H 检验统计量 22 1 1 2 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 1() 2 xyt n S n S n n n n 否定域 0 1 2( 2 )T t n n 第 20题 2 2 2 212 nX X X XT Yn 其中 2 ( )Yn 2 2 2 21 1 1 2 1 1 122 2 2 22 2 1 2 2 2( ) ( ) / ( , ) ( ) ( ) /nnn n X X X nF F n nn n X X X n
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